第八章剪切和扭转

第八章剪切和扭转1第1页，共71页，2023年，2月20日，星期三第八章剪切和扭转第一节剪切的概念及实例第二节连接接头的强度计算第四节扭矩的计算·扭矩图第三节扭转的概念及实例第五节圆轴扭转时的应力和变形第六节圆轴扭转时的强度条件和刚度条件第2页，共71页，2023年，2月20日，星期三第一节剪切的概念及实例dabcFF剪切受力特征：受一对大小相等，指向相反，作用线相距佷近的横向外力的作用。abFcdFmm剪切面变形特征：两个力作用线之间的各横截面都发生相对错动。剪切面的内力称为剪力,与之相应的应力称为切应力,用符号表示。Fs剪切是杆件的基本变形形式之一第3页，共71页，2023年，2月20日，星期三第一节剪切的概念及实例dabcFF取一小矩形来观察变形前后的情况：变形前：1234abFcdF1234变形后：1234剪切角γ

是对剪切变形的一个度量,称为切应变。实验结果指出：当切应力不超过材料的剪切比例极限τp时,切应力τ与切应变γ之间成正比关系：剪切胡克定律式中的比例常数G称为材料的切变模量。第4页，共71页，2023年，2月20日，星期三第一节剪切的概念及实例工程实例：桥梁桁架结点的铆钉（或高强度螺栓）第5页，共71页，2023年，2月20日，星期三第一节剪切的概念及实例工程实例：钢结构中的焊缝连接第6页，共71页，2023年，2月20日，星期三第一节剪切的概念及实例工程实例：螺栓与套筒第7页，共71页，2023年，2月20日，星期三第一节剪切的概念及实例工程实例：联轴结第8页，共71页，2023年，2月20日，星期三第一节剪切的概念及实例工程实例：南京机场第9页，共71页，2023年，2月20日，星期三第一节剪切的概念及实例剪切变形主要发生在连接构件中！工程实际中常用的连接形式如下图所示：螺栓连接铆钉连接键块连接榫连接这些将两个或多个部件连接起来的连接接头是否安全,对整个连接结构的安全起着重要的作用。第10页，共71页，2023年，2月20日，星期三第二节连接接头的强度计算连接件——在构件连接处起连接作用的部分，如铆钉、螺栓、键等。第11页，共71页，2023年，2月20日，星期三第二节连接接头的强度计算拉伸拉伸剪切剪切挤压

剪断(连接件与连接板)

挤压破坏(铆钉、连接件与连接板)

连接板拉断第12页，共71页，2023年，2月20日，星期三第二节连接接头的强度计算1.剪切的实用计算由平衡方程得:剪力FS分布作用在剪切面上剪切面上剪力FS的分布规律十分复杂！假设均布剪切面上的切应力计算公式为：剪切面上的剪力剪切面的面积切应力这样得到的平均切应力又称作名义切应力。第13页，共71页，2023年，2月20日，星期三第二节连接接头的强度计算为保证连接件在工作时不被剪断，受剪面上的切应力不得超过连接件材料的许用切应力[]，即要求：切应力强度条件：试验表明,对于钢连接件的许用切应力[]

与许用正应力[]

的关系是：极限切应力安全因数[]=(0.6～0.8)[]第14页，共71页，2023年，2月20日，星期三第二节连接接头的强度计算冲压剪切钢板第15页，共71页，2023年，2月20日，星期三第二节连接接头的强度计算2.挤压的实用计算铆钉与钢板相互接触的侧面上，发生的彼此间的局部承压现象，称为挤压。受剪面接触面上的压力，称为挤压力Fbs

挤压产生的应力称为挤压应力bs挤压面（1）铆钉压扁（2）钢板在孔缘压皱挤压破坏的两种形式:第16页，共71页，2023年，2月20日，星期三第二节连接接头的强度计算2.挤压的实用计算第17页，共71页，2023年，2月20日，星期三第二节连接接头的强度计算2.挤压的实用计算挤压应力的分布比较复杂!挤压现象的实际受力在工程计算中,通常假设挤压应力是作用在挤压面的正投影面上,且是均匀分布的。在挤压近似计算中，假设名义挤压应力

的计算式为AbS

——计算挤压面的面积FbS——接触面上的挤压力思考图示挤压面积？第18页，共71页，2023年，2月20日，星期三第二节连接接头的强度计算2.挤压的实用计算（1）挤压面为半圆柱面dh实际接触面直径投影面挤压面积AbS为实际接触面在直径平面上的投影面积第19页，共71页，2023年，2月20日，星期三第二节连接接头的强度计算2.挤压的实用计算（1）挤压面为半圆柱面Abs=·d第20页，共71页，2023年，2月20日，星期三第二节连接接头的强度计算2.挤压的实用计算（2）挤压面为平面AbS为实际接触面面积第21页，共71页，2023年，2月20日，星期三第二节连接接头的强度计算2.挤压的实用计算挤压的强度条件为Fbs——总挤压力[bs]——挤压许用应力Abs——挤压面面积（有效挤压面面积）钢材[bs]=（1.7～2.0）[]第22页，共71页，2023年，2月20日，星期三第二节连接接头的强度计算3.连接板的实用计算假设截面上的正应力均匀分布,则连接板应满足的拉伸强度条件为：式中：

Aj

为被削弱截面的净截面面积；Aj=(b–d)·tFN为被截面上的轴力。第23页，共71页，2023年，2月20日，星期三第二节连接接头的强度计算3.连接板的实用计算思考：（1）板削弱截面上的正应力是均匀分布吗？答：事实上横截面上的拉应力σ并不是均匀分布的！实验表明：当构件截面尺寸有突变时,在截面突变附近的局部小范围应力数值急剧增加。应力集中——这种由于截面尺寸突然改变而在局部区域出现应力急剧增大的现象称为应力集中。思考：（2）应力集中在工程中的影响？答：应力集中对塑性材料影响不很大,但对脆性材料,应力集中将大大降低构件的强度。思考：（3）如何避免应力集中的不良影响？P144第24页，共71页，2023年，2月20日，星期三第二节连接接头的强度计算[例8–1]两块钢板用三个直径相同的铆钉连接,已知钢板宽度b=100mm,厚度t=10mm,铆钉直径d=20mm,铆钉许用切应力[]=100MPa,许用挤压切应力[bs]=300MPa,钢板许用拉应力[]=160MPa。试求许用荷载F解：由于各铆钉的材料和直径均相同,且外力作用线通过铆钉群受剪面的形心,可以假定各铆钉受力相同。(1)按剪切强度条件求F；强度计算分为三部分：(2)按挤压强度条件求F；(3)按连接板抗拉强度条件求F。若有n个铆钉,则第25页，共71页，2023年，2月20日，星期三第二节连接接头的强度计算[例8–1]已知b=100mm,t=10mm,d=20mm,[]=100MPa,[bs]=300MPa,

[]=160MPa。试求许用荷载F解：(1)按剪切强度条件求F由切应力强度条件：得许用剪力：(1)按剪切强度条件求F第26页，共71页，2023年，2月20日，星期三第二节连接接头的强度计算[例8–1]已知b=100mm,t=10mm,d=20mm,[]=100MPa,[bs]=300MPa,

[]=160MPa。试求许用荷载F解：(2)按挤压强度条件求F由挤压强度条件：得许用挤压力：(2)按挤压强度条件求F第27页，共71页，2023年，2月20日，星期三第二节连接接头的强度计算[例8–1]已知b=100mm,t=10mm,d=20mm,[]=100MPa,[bs]=300MPa,

[]=160MPa。试求许用荷载F解：(3)按连接板强度条件求F由拉伸强度条件：得许用轴力：选择上盖板为分离体，画轴力图，首先确定危险截面。ⅠⅠⅠ-Ⅰ第28页，共71页，2023年，2月20日，星期三第二节连接接头的强度计算[例8–1]已知b=100mm,t=10mm,d=20mm,[]=100MPa,[bs]=300MPa,

[]=160MPa。试求许用荷载F解：(3)按连接板强度条件求F(2)按挤压强度条件求F(1)按剪切强度条件求F[F]={Fi}min=94.2kN第29页，共71页，2023年，2月20日，星期三第二节连接接头的强度计算补充题：冲床的最大冲压力F=400kN，冲头材料的许用压应力[]=440MPa，钢板的剪切强度极限b=360MPa。试求:(1)冲头能冲剪的最小孔径d;(2)最大的钢板厚度。d钢板冲模冲头F第30页，共71页，2023年，2月20日，星期三第二节连接接头的强度计算解:(1)冲头能冲剪的最小孔径ddFF剪切面F冲头为轴向压缩变形d=34mm由钢板的剪切破坏条件第31页，共71页，2023年，2月20日，星期三第二节连接接头的强度计算解:(2)最大的钢板厚度

dFF剪切面F由钢板的剪切破坏条件第32页，共71页，2023年，2月20日，星期三第二节连接接头的强度计算DdhF销钉的剪切面面积AS销钉的挤压面面积Abs思考题第33页，共71页，2023年，2月20日，星期三第二节连接接头的强度计算每个铆钉只有一个剪切面,一般称为“单剪”。第34页，共71页，2023年，2月20日，星期三第二节连接接头的强度计算每个铆钉有两个剪切面,称为“双剪”。自学教材147页[例8-2]第35页，共71页，2023年，2月20日，星期三第二节连接接头的强度计算连接接头的三种主要方式a.搭接,铆钉受单剪；c.双盖板对接，铆钉受双剪。b.单盖板对接，铆钉受单剪；第36页，共71页，2023年，2月20日，星期三第三节扭转的概念及实例一、扭转的概念ACDBABCDA‘C’D’B‘MeMeABCDD’

C‘A‘B’‘扭转变形是杆件的基本变形之一研究对象是圆截面杆件——圆轴第37页，共71页，2023年，2月20日，星期三第三节扭转的概念及实例一、扭转的概念受力特点:一对方向相反、等值、作用面垂直于杆件轴线的力偶。变形特点:杆件的相邻横截面绕轴线发生相对转动。外扭矩——使杆件产生扭转变形的力偶矩Me剪切角——杆件表面上的纵向线转动的角度γ

相对扭转角——杆端二截面A

和B的相对转角（记为）第38页，共71页，2023年，2月20日，星期三第三节扭转的概念及实例二、工程实例请判断哪一杆件将发生扭转当两只手用力相等时，拧紧罗母的工具杆将产生扭转。第39页，共71页，2023年，2月20日，星期三第三节扭转的概念及实例二、工程实例请判断哪些零件将发生扭转传动轴将产生扭转传动轴第40页，共71页，2023年，2月20日，星期三第三节扭转的概念及实例二、工程实例请判断哪一杆件将发生扭转连接汽轮机和发电机的传动轴将产生扭转第41页，共71页，2023年，2月20日，星期三第三节扭转的概念及实例二、工程实例电动机轴扭转受力简图第42页，共71页，2023年，2月20日，星期三第三节扭转的概念及实例三、外扭矩与功率、转速之间的关系通常，外扭矩Me不直接给出,由轴的传递功率P和轴的转速n确定。从动轮主动轮从动轮nMe2Me1Me3式中：转速n

转/分钟（r／min），通过某一轮所传递的功率P千瓦（kW)，作用在该轮上的外扭矩Me牛.米（N.m）。第43页，共71页，2023年，2月20日，星期三第四节扭矩的计算·扭矩图一、扭矩的计算截面法确定圆轴横截面上的内力nnMeMe•xMe•x在n—n截面处假想将轴截开取左侧为研究对象分析图示圆轴任一横截面n—n上的内力。T横截面上的内力应是一个力偶，称为该横截面上扭矩扭矩考虑取右侧为研究对象Me•x•T如何保证取不同侧为研究对象时,同一横截面上有一致的内力?答:扭矩的正负号规定!第44页，共71页，2023年，2月20日，星期三第四节扭矩的计算·扭矩图扭矩的正负号规定T＞0Me•xTMe•x•TMe•xTMe•x•TT＜0按照右手螺旋法则，扭矩矢量的指向与截面外法线方向一致为正，反之为负。力矩旋转方向力矩矢方向第45页，共71页，2023年，2月20日，星期三第四节扭矩的计算·扭矩图扭矩的正负号规定按照右手螺旋法则，扭矩矢量的指向与截面外法线方向一致为正，反之为负。力矩旋转方向力矩矢方向Me截面nTMeMe截面外法线第46页，共71页，2023年，2月20日，星期三第四节扭矩的计算·扭矩图二、扭矩图以轴线方向为横坐标，扭矩大小为纵坐标绘出扭矩图。正号的扭矩画在横坐标轴的上侧；负号的扭矩画在横坐标轴的下侧。MeMexABMeMeT第47页，共71页，2023年，2月20日，星期三3kN.m第四节扭矩的计算·扭矩图[例题]试作出图所示圆轴的扭矩图。3kN.m㈩㈠5kN.mTAB3kN.m8kN.m5kN.mABCC5kN.mTBC第48页，共71页，2023年，2月20日，星期三ⅢⅢⅡⅡ第四节扭矩的计算·扭矩图[例8–3]试作出图所示圆轴的扭矩图。解:(1)分3段,计算各段扭矩AB段ⅠⅠABCDBC段CD段第49页，共71页，2023年，2月20日，星期三ⅢⅢⅡⅡ第四节扭矩的计算·扭矩图[例8–3]试作出图所示圆轴的扭矩图。解:(2)绘制扭矩图AB段ⅠⅠABCDBC段CD段T图第50页，共71页，2023年，2月20日，星期三第五节圆轴扭转时的应力和变形

应力分布应力公式变形应变分布平面假定物性关系静力方程物性关系——应力与应变关系推导圆轴扭转时横截面上的应力计算公式步骤：第51页，共71页，2023年，2月20日，星期三第五节圆轴扭转时的应力和变形一、实验现象的观察与分析第52页，共71页，2023年，2月20日，星期三第五节圆轴扭转时的应力和变形一、实验现象的观察与分析1.各圆周线都不同程度地绕杆轴转了一个角度,且大小、形状及各线间距均无改变;2.所有纵向线都倾斜同一个角度，轴表面上的小矩形都变成平行四边形。由上述实验现象可以推断:横截面上无正应力，只有切应力！截面变形前是平面变形后仍为平面（平面假设）第53页，共71页，2023年，2月20日，星期三第五节圆轴扭转时的应力和变形二、圆轴扭转时横截面内的应力计算公式——扭转角沿杆长的变化率

=结论：(2)切应变ρ与ρ成正比,即沿圆轴的半径按直线规律变化。(1)对于同一横截面,θ为一常数；1.几何方面第54页，共71页，2023年，2月20日，星期三第五节圆轴扭转时的应力和变形2.物理方面由剪切胡克定律可知:所以:结论:(1)圆轴横截面上的扭转切应力ρ与ρ成正比;思考:(1)最大切应力发生在何处?(2)与圆心等距离的各点处,切应力值均相同。(3)如何用图表示圆轴横截面上切应力沿半径方向的分布规律?(2)最小切应力发生在何处?由几何方程:第55页，共71页，2023年，2月20日，星期三第五节圆轴扭转时的应力和变形3.静力学方面取:圆轴扭转时横截面上的切应力计算公式：第56页，共71页，2023年，2月20日，星期三第五节圆轴扭转时的应力和变形3.静力学方面横截面的极惯性矩圆轴扭转时横截面上的切应力计算公式：所求应力点至圆心的距离横截面上的扭矩——该切应力计算公式可用于实心、空心圆截面轴！思考：公式中那个参量是体现实心、空心圆截面的？第57页，共71页，2023年，2月20日，星期三第五节圆轴扭转时的应力和变形3.静力学方面——称为横截面的极惯性矩实心圆截面:空心圆截面:横截面极惯性矩的性质：（1）与圆截面形状、尺寸有关，是一个几何量；（2）单位是米4（m4）；（3）大于零的正值。第58页，共71页，2023年，2月20日，星期三第五节圆轴扭转时的应力和变形三、圆轴扭转时的变形计算单位长度的扭转角为：则：式中

GIp

为常量。若在杆长l

范围内T

不变的情况下将上式两边取积分：得：扭转角的计算公式式中：GIp

——称为扭转刚度。扭转角

的单位为弧度。思考：如何将扭转角单位换算成度（°）？第59页，共71页，2023年，2月20日，星期三第五节圆轴扭转时的应力和变形[例8–4]图示空心圆轴,外径D=40mm,内径d=20mm,杆长l=1m,扭矩Me=1kN·m,材料的切变模量G=80GPa。试求:(1)ρ=15mm的K点处的切应力K

(2)横截面上的最大和最小切应力。(3)A截面相对B截面的扭转角AB。解：(1)计算极惯性矩(2)计算各点切应力(3)计算扭转角ABT第60页，共71页，2023年，2月20日，星期三第六节圆轴扭转时的强度条件和刚度条件一、强度条件为了保证圆轴受扭时不破坏,必须使危险截面上的最大切应力不超过材料的许用切应力。根据切应力的分布规律可知,最大切应力发生在距轴心最远处,即要保证不破坏应有：圆轴扭转时的强度条件：由圆轴扭转时的强度条件，可解决工程上三大问题：1.强度校核2.设计轴径3.确定许用荷载第61页，共71页，2023年，2月20日，星期三第六节圆轴扭转时的强度条件和刚度条件——称为扭转截面系数实心圆截面:空心圆截面:第62页，共71页，2023年，2月20日，星期三第六节圆轴扭转时的强度条件和刚度条件思考题8-4:空心圆轴的外径为D,内径为d,则其扭转截面系数为此式对否?为什么?答:不对!因为,由扭转截面系数的定义:式中:所以:第63页，共71页，2023年，2月20日，星期三第六节圆轴扭转时的强度条件和刚度条件[思考题8-5]图示实心圆轴和空心圆轴,横截面面积相同,截面上受相同扭矩T作用,试画出切应力分布规律图,从强度角度出发,试分析那种截面形式合理。解：(1)画出切应力分布规律图(2)从强度角度出发,试分析那种截面形式合理圆心处,切应力等于零;圆心附近,切应力很小。实心轴材料浪费，故空心轴截面形式合理。第64页，共71页，2023年，2月20日，星期三第六节圆轴扭转时的强度条件和刚度条件二、刚度条件在研究圆轴扭转问题时,除考虑强度条件外,有时还需考虑刚度问题。即对扭转变形加以限制,使最大单位长度扭转角不超过许用的范围：——圆轴扭转时的刚度条件式中：[]——单位长度的许用扭转角单位：弧度/米（rad/m）或：度/米（°/m）由圆轴扭转时的刚度条件，可解决工程上三大问题：1.刚度校核2.设计轴径3.确定许用荷载第65页，共71页，2023年，2月20日，星期三第六节圆轴扭转时的强