第八章柱体扭转元件

第八章柱体扭转元件第1页，共22页，2023年，2月20日，星期三目录§8.1扭转问题的基本解法§8.2薄膜比拟法§8.3椭圆截面杆件的扭转§8.4矩形截面杆件的扭转§8.5开口薄壁杆件的扭转第2页，共22页，2023年，2月20日，星期三§8.1扭转问题的基本方程柱体扭转横截面翘曲自由扭转——翘曲不受限制约束扭转——翘曲受到限制弹性力学讨论自由扭转第3页，共22页，2023年，2月20日，星期三柱体自由扭转计算模型自由扭转假设1.刚截面假设2.翘曲假设位移解法基本方程§8.1基本方程2单位长度相对扭转角

调和方程第4页，共22页，2023年，2月20日，星期三柱体扭转边界条件侧面边界条件翘曲函数表达端面边界条件困难端面边界条件T=GDj§8.1基本方程3第5页，共22页，2023年，2月20日，星期三柱体扭转应力解法扭转应力函数y(x,y)——普朗特（Prandtl）扭转应力函数

§8.1基本方程4yc=const

边界条件侧面端面单连域取为0第6页，共22页，2023年，2月20日，星期三§8.2薄膜比拟德国力学家普朗特（Prandtl）

基本思想：作用均匀压力的薄膜与柱体扭转有着相似的微分方程和边界条件通过测试薄膜弯曲的情况，分析柱体扭转时横截面的应力分布

薄膜比拟第7页，共22页，2023年，2月20日，星期三薄膜边界垂度

Z=0

薄膜垂度微分方程薄膜所围的体积调整薄膜的高度，使2V=T，则 Z=y

薄膜垂度Z与扭转应力具有相同的函数形式yc=0

§8.1基本方程4第8页，共22页，2023年，2月20日，星期三薄膜曲面可以形象地描述柱体横截面的扭转应力分布薄膜的等高线

§8.1基本方程4切应力方向沿薄膜等高线切线切应力与等高线法线方向导数成正比切应力与等高线相切切应力线

ts第9页，共22页，2023年，2月20日，星期三§8.3椭圆截面杆件扭转椭圆截面杆件扭转应力函数第10页，共22页，2023年，2月20日，星期三最大切应力横截面翘曲§8.3椭圆截面杆件2扭转应力第11页，共22页，2023年，2月20日，星期三§8.4矩形截面杆件扭转矩形截面杆件扭转应力函数构造困难应力解法基本方程为泊松方程任何泊松方程，只要找到它的一个特解，都可以化成拉普拉斯方程。第12页，共22页，2023年，2月20日，星期三协调方程

特解

协调方程侧面边界条件§8.4矩形截面杆件2第13页，共22页，2023年，2月20日，星期三协调方程侧面边界条件设§8.4矩形截面杆件3第14页，共22页，2023年，2月20日，星期三根据薄膜比拟，应力函数为x和y的偶函数，所以协调方程的特解线性迭加就是方程通解

根据边界条件所以§8.4矩形截面杆件4第15页，共22页，2023年，2月20日，星期三根据边界条件则两边同时乘以并在（-b，b）区间积分，可得应力函数§8.4矩形截面杆件5第16页，共22页，2023年，2月20日，星期三j由端面面力边界条件确定

§8.4矩形截面杆件6第17页，共22页，2023年，2月20日，星期三取n=0一项§8.4矩形截面杆件7tmax第18页，共22页，2023年，2月20日，星期三§8.5开口薄壁杆件狭长矩形杆件a/b≥10和g

→0.333最大切应力

单位长度扭转角第19页，共22页，2023年，2月20日，星期三开口薄壁杆件横截面由等宽度的狭长矩形组成§8.5开口薄壁杆2第20页，共22页，2023年，2月20日，星期三§8.5开口薄壁杆3第21页，共22页，2023年，2月20日，星期三应力集中长边中点切应力给出了