第五章多元函数的微分学

第五章多元函数的微分学第1页，共109页，2023年，2月20日，星期三§5.1多元函数的基本概念一、平面点集例1:例2:yxo第2页，共109页，2023年，2月20日，星期三x-rrr

例3:y-ro第3页，共109页，2023年，2月20日，星期三二、邻域第4页，共109页，2023年，2月20日，星期三内点:外点:界点:第5页，共109页，2023年，2月20日，星期三E

边界点外点内点·

··第6页，共109页，2023年，2月20日，星期三E.开集:开区域:第7页，共109页，2023年，2月20日，星期三注意：开集不一定是开区域yxoooo第8页，共109页，2023年，2月20日，星期三闭区域:区域:第9页，共109页，2023年，2月20日，星期三有界区域与无界区域第10页，共109页，2023年，2月20日，星期三二、空间解析几何简介1.空间直角坐标系O-XYZ(右手法则)坐标轴:坐标原点:坐标平面:卦限:八个卦限空间内的点第11页，共109页，2023年，2月20日，星期三问题：空间任一点的坐标如何确定呢？第12页，共109页，2023年，2月20日，星期三O第13页，共109页，2023年，2月20日，星期三4、空间曲面与曲面方程第14页，共109页，2023年，2月20日，星期三(3)特殊平面的方程第15页，共109页，2023年，2月20日，星期三(4)球面方程第16页，共109页，2023年，2月20日，星期三问题：如何认识空间任一张曲面的图形呢？（有兴趣的同学可阅读相关资料）第17页，共109页，2023年，2月20日，星期三(5)柱面方程第18页，共109页，2023年，2月20日，星期三①②第19页，共109页，2023年，2月20日，星期三③第20页，共109页，2023年，2月20日，星期三圆锥面方程④第21页，共109页，2023年，2月20日，星期三椭球面方程⑤第22页，共109页，2023年，2月20日，星期三椭圆抛物面方程⑥第23页，共109页，2023年，2月20日，星期三双曲抛物面方程⑦第24页，共109页，2023年，2月20日，星期三三、多元函数的极限与连续1、多元函数的定义定义1:第25页，共109页，2023年，2月20日，星期三定义域的求法例1:解:第26页，共109页，2023年，2月20日，星期三yyyyyxooooooo000oOo0oo第27页，共109页，2023年，2月20日，星期三对应关系的求法例2:解:第28页，共109页，2023年，2月20日，星期三二元函数的几何意义第29页，共109页，2023年，2月20日，星期三第30页，共109页，2023年，2月20日，星期三2.二元函数的极限第31页，共109页，2023年，2月20日，星期三例1.第32页，共109页，2023年，2月20日，星期三二元函数的连续性定义3若则称函数在点处连续．若函数在区域Ｄ内每一点都连续，则称函数在Ｄ内连续，或称是Ｄ内的连续函数．若函数在点处不连续，则称点为的间断点．例如，间断点为：第33页，共109页，2023年，2月20日，星期三在有界闭区域上二元连续函数具有性质：性质１（最大值和最小值定理）在有界闭区域Ｄ上的连续函数，一定能够取得最大值和最小值．性质２（介值定理）在有界闭区域Ｄ上的连续函数，一定能够取得介于最大值和最小值之间的任何数值．二元初等函数在其定义区域内连续．结论二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数二元连续函数的复合函数仍为连续函数第34页，共109页，2023年，2月20日，星期三例4第35页，共109页，2023年，2月20日，星期三§5.2多元函数的偏导数定义1设函数在点某邻域内有定义，当固定而在处有增量时，函数的增量存在，则称此极限值为函数在点处对的偏导数.记作:或若极限第36页，共109页，2023年，2月20日，星期三即第37页，共109页，2023年，2月20日，星期三在点处对的偏导数定义为:类似,函数也记作是一元函数在点处的导数,是一元函数在点处的导数,结论第38页，共109页，2023年，2月20日，星期三视y为常量，对x求导.视x为常量，对y求导.若函数在区域D内每一点处对的偏导数都存在,偏导数就是的函数,称为函数对的偏导(函)数.记作类似定义函数对的偏导数.记作:第39页，共109页，2023年，2月20日，星期三说明对二元函数求关于某一个自变量的偏导数时,只需视其它变量为常量,求导即可.根据一元函数的求导公式和求导法则,同理可定义多元函数的偏导数第40页，共109页，2023年，2月20日，星期三二元函数偏导数的几何意义:xyzSo是一元函数在点处的导数,由一元函数导数的几何意义知在几何上表示空间曲线在点处的切线对轴的斜率.类似,在几何上表示空间曲线在点处的切线对轴的斜率.第41页，共109页，2023年，2月20日，星期三二、偏导数的计算例1.求的偏导数.解例2.求处的偏导数.在点解第42页，共109页，2023年，2月20日，星期三例3.求的偏导数.解例4.求的偏导数.解第43页，共109页，2023年，2月20日，星期三例5.已知求:解:第44页，共109页，2023年，2月20日，星期三例6.求函数在原点处的偏导数.解二元函数在某一点处偏导数存在,但未必连续.不存在．第45页，共109页，2023年，2月20日，星期三二、高阶偏导数设函数在区域D内有偏导数若这两个函数的偏导数存在，称其为函数的二阶偏导数第46页，共109页，2023年，2月20日，星期三混合偏导数类似可定义三阶、四阶及更高阶的偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数.第47页，共109页，2023年，2月20日，星期三解例1.设求它的二阶偏导数.再求第48页，共109页，2023年，2月20日，星期三例2.验证函数满足方程证第49页，共109页，2023年，2月20日，星期三证由自变量的对称性知例3.证明函数满足方程(拉普拉斯方程)第50页，共109页，2023年，2月20日，星期三定理1第51页，共109页，2023年，2月20日，星期三练一练解答第52页，共109页，2023年，2月20日，星期三§5.3多元函数的全微分一、全微分的定义与计算设函数在点某邻域内有定义，分别给一增量函数相应的全增量若全增量可表示为:其中仅与有关，与无关，则称函数在点处可微.定义1第53页，共109页，2023年，2月20日，星期三称为函数在点处的全微分.即记作若函数在区域D内各点处都可微,则称函数在D内可微.第54页，共109页，2023年，2月20日，星期三定理1若函数在点处可微分.则该函数在点的偏导数必定存在,且证由特别同理可证类似于一元函数,记或第55页，共109页，2023年，2月20日，星期三注意若函数在点存在处的偏导数函数在该点不一定可微.例证明函数在原点的两个偏导数存在,但不可微.解函数在原点的全增量第56页，共109页，2023年，2月20日，星期三因为函数在原点的全微分而且不存在所以由定义知函数在原点不可微.第57页，共109页，2023年，2月20日，星期三定理2(充分条件)若函数在点的某邻域内有连续的偏导数,则函数在该点可微.且第58页，共109页，2023年，2月20日，星期三若函数在点可微则解例1.求函数在点(2,1)处当时的全微分和全增量.第59页，共109页，2023年，2月20日，星期三例2.求下列函数的全微分:解(1).第60页，共109页，2023年，2月20日，星期三§5.4多元复合函数及隐藏函数求导法则一、多元复合函数的求导法则(1)设函数在点处有偏导数,在点处有偏导数,且定理1而函数在对应点处可微则复合函数连锁法则第61页，共109页，2023年，2月20日，星期三例1.设求解第62页，共109页，2023年，2月20日，星期三例2.设解:第63页，共109页，2023年，2月20日，星期三例第64页，共109页，2023年，2月20日，星期三则复合函数连锁法则m第65页，共109页，2023年，2月20日，星期三若函数都在点x处可导,函数在对应点处可微,则复合函数在点x处可导,且全导数推论1.第66页，共109页，2023年，2月20日，星期三函数则复合函数在点x的导数全导数推论2.以上公式都可推广到中间变量或自变量多于两个的情形.说明第67页，共109页，2023年，2月20日，星期三例5.求解例4.求解第68页，共109页，2023年，2月20日，星期三解:设因此例6.第69页，共109页，2023年，2月20日，星期三且存在一阶连续偏导数，求例3设解：设第70页，共109页，2023年，2月20日，星期三例7.解:而第71页，共109页，2023年，2月20日，星期三于是也可以在求出一阶偏导数后,把代入再求二阶偏导数第72页，共109页，2023年，2月20日，星期三例8设具有二阶连续偏导数,求解令则第73页，共109页，2023年，2月20日，星期三第74页，共109页，2023年，2月20日，星期三一阶全微分形式不变性则则仍有第75页，共109页，2023年，2月20日，星期三例解第76页，共109页，2023年，2月20日，星期三第77页，共109页，2023年，2月20日，星期三所以第78页，共109页，2023年，2月20日，星期三二、隐函数求导法则第79页，共109页，2023年，2月20日，星期三方程两边对求偏导同理第80页，共109页，2023年，2月20日，星期三例1.设求解

法1法2两边关于x求导两边关于y求导第81页，共109页，2023年，2月20日，星期三方法三:方程两边求微分第82页，共109页，2023年，2月20日，星期三例2.设求及解：法1法2两边关于x求导第83页，共109页，2023年，2月20日，星期三例3.设,求解第84页，共109页，2023年，2月20日，星期三例4设有连续偏导数，分别由方程解又由两边对求导得第85页，共109页，2023年，2月20日，星期三所以又由两边对求导得第86页，共109页，2023年，2月20日，星期三§5.5多元函数的极值一.极值的概念定义1对于该邻域内任一点,若恒有不等式则称该函数在点P处有极大值则称该函数在点P处有极小值在点某邻域内有定义,设函数第87页，共109页，2023年，2月20日，星期三极大值与极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.定理2(必要条件)

设函数在点处偏导数存在,并取得极值,则证明:不妨设在点处取得极大值.第88页，共109页，2023年，2月20日，星期三则,,特别地,取有在x=x0点取得极大值，由一元函数极值必要条件知,同理,,使同时成立的点,的驻点.称为函数考虑一元函数第89页，共109页，2023年，2月20日，星期三定理2(充分条件)令(1).若,有极值,(2).若无极值.(3).若情况不定.时有极大值时有极小值且设函数在点某邻域内及二阶连续偏导数,且有一阶(1)中的A换为C结论不变第90页，共109页，2023年，2月20日，星期三例1.求函数的极值.解:得驻点:在点处,有极小值在点处,,无极值.,无极值.,有极大值,在点处在点处,第91页，共109页，2023年，2月20日，星期三最大值、最小值对于该区域内任一点若恒有不等式则称为函数在D内的最大值在平面区域内有定义,设函数则称为函数在D内的最小值第92页，共109页，2023年，2月20日，星期三最大值与最小值统称为最值.如,函数在点处取得最小值0在点处取得最大值2.使函数取得最值的点称为最值点.第93页，共109页，2023年，2月20日，星期三最大值、最小值的求法最值点只可能是以下三种类型的点：（1）边界点求出该函数在这些点上的函数值，比较大小即可求得最值在有界闭区域上连续，则一定有最值。设函数（2）驻点（3）偏导数不存在的点根据实际问题知函数的最值只在内部点上取到，且只有唯一驻点(极值点)，没有偏导数不存在的点，则此时可断定函数在此驻点上取到最值第94页，共109页，2023年，2月20日，星期三例2.在十字路口要建造一间长方体房屋，两面临街，临街墙面造价，不临街的墙面造价，屋顶造价设房屋容积为，问：长、宽、高各多少时造价最低.解:设长、宽、高分别为,则造价第95页，共109页，2023年，2月20日，星期三解得答：当长、宽均为，高为时，造价最低。，第96页，共109页，2023年，2月20日，星期三二、条件极值拉格朗日乘数法求函数在条件下的极值。拉格