初中平方根知识讲解

仅供个人参考仅供个人参考不得用于商业用途不得用于商业用途平方根（基础）【学习目标】了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念算术平方根的定义x的平方等于ax2

ax叫做a的算术平方根（0a方根还是0）；a的算术平方根记作 ，读作“a的算术平方根”，a叫做被开方.aa要点诠释：当式子a

a

≥0，a≥0.a平方根的定义a如果x2a，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为a逆运.a (a≥0)的平方根的符号表达为 a(a0)，其中 是a的算术平方.a知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系aa区别（）定义不同（2）结果不同： 和aa（）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．）有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动162500位.例如：62500

250，

25，

2.5，

0.25.6256.250.0625【典型例题】6256.250.0625类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根 B.l是l的一个平方根C.的平方根是D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．25因为 ＝5，所以本说法正确；251因为± ＝±1，所以l是l的一个平方根说法正确；1442160因为0

＝0，

＝0，所以本说法正确；0【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．举一反三：0【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：1）9没有平方根（ ）（2）

4（ ）161 116（3）

)2的平方根是 （ ）10 10（4）

425是 的算术平方根（ ）2525【答案】√；×；√；×，16提示2） 4（）216

4的算术平方根．2、填空：（1）是 的负平方根．

5 25116116181181（4）若

表示 的算术平方根的算术平方根为 ．x3，则x ，若x

．116x23，则x ．116x2（3）

1 1 1181就是 的算术平方根＝，此题求的是的算术平方.18181 9 91 1【答案与解析】(1)16；(2) ;

1(3)

(4)9；±316 4 3【总结升华】举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ：①3是9的平方根． ②9的平方根是3．③48864A．1个 个 个 个【答案】B；提示：①④是正确的.81360.040.250.36【变式2】求下列各式的值：81360.040.250.3625（1）325

（2）

（3）

（4） 41214121（）1（）15（3）0.（）553、使代数式x1有意义的x的取值范围．x1；ax＋1≥0x1.aa【总结升华】当式子a

有意义时，a一定表示一个非负数，即

≥0，a≥0.举一反三：x3x3【答案】x3.类型二、利用平方根解方程

有意义，则x的取值范围是 ．4、求下列各式中的x.1）x23610; （）x

289； ）93x22640【思路点拨】表面上看本题是一元二次方程，但是本题可以通过开平方的方法（2）小题将x1看作一个整体，（3）小题将3x2看作一个整体，求出它们的解后，再求x.【答案与解析】解（）∵x23610 ∴x

361361 ∴x361

19（2）∵x

289 ∴x1

x＋1＝±17 x＝16x＝－18.289x∴64 ∴3x28 ∴x2或x 142899 3 9 9（）类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323多少米？【答案与解析】x3x，x·3x3x2＝1323x＝－21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.（提高【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念12m－43m－1m的值．由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m＝－（3m－1程即可求解．【答案与解析】解：依题意得2m－＝－3m解得m＝1；m1．【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．举一反三：2a－1a＋2m的平方根，求m的值.【答案】2a－1a＋2m2a－1a＋2解：①当2a－＝－a＋2时，a＝，所以m＝2a

2121x2x41x②当2a－＋（－a＋）0时，a＝，所以2ax2x41x

[2(1)1]2x1

329(1)

；(2)

；(3)x1

；(4)

x3．【答案与解析】x2解：(1x20xx2

都有意义．x4x40x4x4

有意义．x1xx

解得：

1x

．所以

1x1

x1

11xx10x30

x1

x3．x1x3时，x1有意义．x3【总结升华】(1)当分母中含有字母时，只有当分母不为0举一反三：3a2【变式】已知b3a2

211的算术平方根．2323a【答案】

20,

a2 b

11

312解：根据题意，得20.则

，所以3

＝2， ∴a b 2 2 ，11a b∴1111a ba b类型二、平方根的运算3、求下列各式的值．2014(1)252242 422014

．21 0.361 900．23 5【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：(1)(2)

49 257535；2522424220148141 0.361 900 10.613090.22522424220148143 5 3 5 2a2(1a2初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据

a(a0)来解．类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x.1）x23610; （）x

289； ）93x22640【答案与解析】解（）∵x23610 ∴x

361361 ∴x361

19（2）∵x

289 ∴x1

x＋1＝±17 x＝16x＝－18.289（3）∵93x22640 ∴3x2264 ∴3x28 ∴x2x142899 3 9 9（）举一反三：【变式】求下列等式中的x：（1）x2

1.21，则x＝ ； （2）x2

169，则x＝ ；（3）x2

9,则x＝ ； （）若x222，则x＝ ．4（）1.（）13）3（4）2.2类型四、平方根的综合应用25、已知a、b是实数，且2a6|b2

|0x的方程(a2)xb2

a1．【答案与解析】2a、b是实数，2a6|b2

|0，

2a60，|2a6

2|0，22∴2a60，b 0．2∴a－3，b把a－3b

．22代入(a2)xb2a1x＋2＝－4，∴x＝6．22【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a、b的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可．举一反三：【变式】若x21【答案】y1解：由x21y1

0，求x2011y2012的值．y10，得x210，y10，即x1，yy1x＝1，y＝－1x2011y20122．②当x＝－1，y＝－1时，x2011y2012(1)2011(1)20120．6、小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2

的长方形纸片，使它长宽之比为3:2，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3x (x＞0)cm，则宽为2xcm，依题意得3x2x300.6x2

300.x250.∵x＞0，50∴x .505050

cm.∵50＞49,50∴ 7.5050∴3 2120cm.50400cm220cm,∴长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答:小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.20cm仅供个人参考仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.NurfürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenver