2010年美国数学建模A题论文连续犯罪

PAGE6连环罪犯居住地及作案时间地点的预测摘要本文主要通过“圆周假设理论”的改进行地理轮廓预测，根据Rossmo公式预测出了罪犯居住地的可能范围。对时间和地点运用灰度预测方法预测了下次案发时间地点。对于发展一种辅助警察调查方法，并运用这种方法生成地理轮廓，讨论引入了“圆周假设理论”。在“圆周假设理论”的基础上，对该理论进行不同角度的改进，最后总结出三个确定地理轮廓的方案：改进圆周假设理论，中心图解法，最匹配圆改进方法，对PeterSutcliffe的案例进行检验得到三个可能居住地坐标为：都接近实际居住坐标。然后运用Rossmo公式求的概率分布矩阵并生成二维伪彩色图和灰度图，以此预测出最可能的居住范围，预测范围准确并且很小，可以很有效的缩小警察的排查范围。通过对已有案例的时间和地点分析预测下一次案例的发生时间和地点。通过GM(1,1)模型对案发的时间间隔以及案发地与居住点的距离进行预测，以PeterSutcliffe的案例进行检验，最后一次作案实际时间间隔为46，预测的时间间隔为63，误差17天，准确性为63%。预测最后5次案发地与居住点的距离，与实际情况比较后，发现准确度为60%左右。已经可以很有效的缩小警察的搜索预警范围。关键词犯罪地理分析Rossmo模型GM（1,1）一、问题重述在PeterSutcliffe13起谋杀案中，一种用来缩小搜索罪犯所在范围的方法是找到这些罪犯的点的“重心”。从那时开始更多更复杂的的技术被发展起来通过系列犯罪的地点用来确认罪犯的“地理轮廓”。为一个地方警署发展一种辅助他们调查连环犯罪的方法。这种方法至少用两种不同的方案生成“地理轮廓”运用一种方法结合其他方法的结果生成一个对警察有用的预测。根据以前的作案时间和地点对下一次可能的作案时间地点进行预测。将除时间和地点以外的运用到模型中证据写出整合到模型的具体细节。说明模型在实际运用中的可依赖度和合适的警告。除了要求的一页摘要外，你的报告应该包括一个额外的2页纸的实施概要。这个概要应该对潜在的问题进行综述。概述你的方法，描述你的方法合适以及不合适的情况。概要中应包括适当的技术细节。二、问题分析我们的目标是制定一种方法，其中包含至少两种不同的方案来产生一个地理轮廓。由于该方法是用来帮助调查，它必须简单，实用和方便，普适性要强。影响罪犯进行作案的因素有很多，产生的结果会出现不同的误差，所以我们要从不同的角度出发，结合不同方案的结果可以缩小预测范围并且产生一个相对合理精确的预测。要解决这个问题，要按照如下步骤来进行：步骤一：进行信息的查询和搜集。由于本题中不存在完全有效的数据，我们必须寻找连环犯罪地点的资料。资料数据必须包含具体的犯罪地点，受害者的身份，案发时间，以及关于犯罪地区的信息。与犯罪心理学的资料也需要进行参考。步骤二：开发至少两种方案来定位连环杀手的居住地点，综合两种这些方案对居住地点进行预测，之后对方案和最后的结果进行评价和改进。步骤三：预测下一个案发地点的可能地理位置和可能的案发时间。在这一步中，我们可以使用步骤2或原始数据的结果并且对预测的可靠性必须要有相关数据验证。进行方案的评价和改进也是需要完成的。步骤四：总结全文，结合论文中得到的所有预测和可靠性验证，写一个2页的概要。它将提供一个广阔的潜在问题的概述和方法，该方法的适用条件必须明确界定而且还应该提供适当的警告。概要中要有适当的技术细节来满足不同读者的需要。三、模型假设1、假设一般罪犯作案范围不会很大，基本控制在一两个城市之间。2、假设连环案作案是单人行动，不考虑团伙作案。3、假设罪犯作案地点基本选择在自己的居住地附近。4、假设罪犯居住地不会改变且只有一个居住地。5、假设罪犯活动不受地势和交通影响。案发地点都被包含在内。设内任意一点A,求A到所有案发地点的距离之和。遍历中所有点找出使得最小的点A。即：罪犯极可能居住在A点附近。N是案发地点数目；r是最匹配圆的半径，也是下面Rossmo公式的缓冲半径。模型四Rossmo公式预测犯罪人居住地模型根据参考文献【1】，Rossmo公式构造的模型是一种被普遍用来预测罪犯居住地的方法。首先将需要处理的地区划分为个小区域，运用Rossmo公式求得罪犯居住地在第个小区域的可能性，以此来确定罪犯的最可能的居住地范围。Rossmo公式：=是居住地在区域的可能性；是案件发生总数；是区域的坐标；是第个犯罪地点的坐标；B是缓冲区域的半径，即最匹配圆半径；是一个权重系数；是一个经验决定的常数；，是一个经验决定的指数，用来调节距离影响；是最匹配圆半径。通过Rossmo公式，可以得到罪犯居住地在各个小区域的可能性矩阵，令得到矩阵，但是对于不同案件的最大值不同导致元素范围不同，这会使得最后得到的概率分布图差别很大，因此需要将中的元素统一变换到区间内。具体过程如下令：则：=1即：=根据处理后的矩阵通过malab画出概率分布图模型五预测下次作案时间和地点的GM（1，1）预测模型灰色预测理论：灰色预测理论是整个灰色系统理论的重要组成部分，建立灰色动态模型是灰色预测理论的核心。灰色预测模型其实质是将一组可能杂乱无章的原始序列，通过累加生成或其他运算生成呈现一定规律的序列。累加生成：原始序列，对进行一次累加生成，得到生成序列，其中：5.1模型建立（1）由构造背景值序列，其中：一般取.（2）假定具有近似指数变化规律，则白化微分方程为（3）将上式离散化，微分变差分，得到灰微分方程如下：（4）参数估计，微分方程的参数可用最小二乘求出，其向量形式为可以解得(4)式中的参数其中成为发展系数，其大小反映了序列的增长进度；称为灰作用量。的预测模型为：（5）的预测模型为：并且规定5.2模型的修正为了提高预测的精度，我们对GM（1,1）模型做如下修正：定义残差：由此构造残差序列数据同理可得则修正后的GM（1,1）模型为，其中，一般地六模型求解通过对案件PeterSutcliffe连环杀人案的分析，将案发地点转化为坐标图如下图3，坐标见附件1，其中，罪犯实际居住地点为。图3居住地点坐标图先做一个直角坐标系把所有的案发地点都落在在坐标系的第一象限，在在第一象限以x轴，y轴为边做矩形，使得所有的案发地点都在矩形区域内，该矩形区域为，。6.1模型一的求解：将历次案发地点的坐标（附件1）带入模型一：mins.t.得到26个约束方程，用lingo求得，。（程序结果见附件2）即：改进圆周假设理论模型求得的罪犯居住地很有可能在点附近。但是这与罪犯的实际居住地点相差很远。原因在于罪犯因为了避免在居住地附近多次作案而故意选择较远的地点进行第12,16次犯罪，导致模型求解结果与实际偏差较大，所以在求解模型一之前应先剔除这两个点。因此得到24个约束方程，再次用Lingo求解得，，，这与罪犯实际居住地点非常接近，同时，以求得的居住地点为圆心，最小半径为半径做圆所得的范围包含了除第12，16次作案地点之外的所有作案地点。6.2模型二的求解：将作案地点的横坐标，纵坐标带入模型二如下：其中，为案件发生次数；是指第n个犯罪地点的坐标。得到，即居住地坐标为。此结果与实际居住地坐标比较很接近。（matlab求解程序见附件3）6.3模型三的求解将作案地点的横坐标，纵坐标带入模型三的公式：同改进圆周假设理论模型，为避免在居住地附近多次作案，罪犯会故意选择与居住地距离较大的作案地点实施犯罪，因此需先剔除第12，16次作案地点，然后将剩余作案地点的坐标带入上述公式。用matlab计算得到使最小的居住点坐标，此时最匹配圆半径为。得到的结果与实际居住地比较接近。作图可得以求得的居住地为圆心，半径的居住地范围。（Matlab求解程序见附件4）同样，将最匹配圆半径结合模型二（中心图解法）求得的居住地可得另一种居住地范围。通过上述三种方案确定的“地理轮廓”图（matlab程序见附件5）6.4Rossmo模型求解：将矩形区域划分为个小区域，根据前三个模型的求解结果得缓冲半径，根据经验得到的参数，，以及作案次数代入模型四的Rossomo公式得到：将第个小区域坐标以及第个作案地点坐标依次带入上式，得到，此时得到的居住地坐标为。然后对进行如下处理=1=得到的矩阵，在对得到的矩阵进行二维伪彩色绘图得到罪犯居住地的预测如图5，源代码见附件6图5可能性分布图图中黑色标记为实际居住地，图中颜色越深的地方表示预测为可能居住地的概率越高。为了更好的确定最可能的居住地范围，将上图转化为灰度图源代码见并且通过变换增加对比度，将图4与灰度图结合得到如下灰度概率分布图：图6可能性分布图根据图片上的颜色可以预测每个区域为居住区域概率，颜色越深表示预测罪犯居住该地区的概率越大，其中五角星为罪犯实际居住地，可见，该模型预测的居住地范围包括了罪犯实际居住地，并且预测的范围准确且足够小。（先运行附件6程序再运行附件5程序即可得）6.5模型五模型求解求解流程图如下：开始开始计算和参数估计值存在计算数据矩阵B累加生成输入待测值k和原始数列计算和参数估计值存在计算数据矩阵B累加生成输入待测值k和原始数列否是计算模型的或拟合值预测值计算模型的或拟合值预测值结束结束6.5.1预测犯罪时间以PeterSutcliffe连环犯罪案件数据为例，得出罪犯每次作案之后到下一次作案的时间间隔如下表1：作案次序1234567距下次作案时间间隔/天411264821109577作案次序891011121314距下次作案时间间隔/天641483743810105作案次序15161718192021距下次作案时间间隔/天951519537421246表1作案时间间隔运用MATLAB软件编程（程序见附件），预测得出罪犯在第21次作案之后到底22次作案的时间间隔预测值为63天，而实际值为46天，预测产生的误差在合理范围之内，证明这种预测罪犯下次作案时间间隔的方法是合理的，并且可以得出下次到下次作案的时间间隔为60.6天，具体时间即为1981年1月17日。预测下次作案地点同样运用MATLAB编程求解，罪犯的每次作案地点到以Rossmo模型求解的最可能居住点的距离如下表2：作案次序实际值预测值合理度第19次案发点与居住点距离0.09920.1302合理第20次案发点与居住点距离0.11280.1189合理第21次案发点与居住点距离0.12650.01126不合理第22次案发点与居住点距离0.24540.1096不合理第23次案发点与居住点距离0.04340.126合理第24次案发点与居住点距离0.1097表2截取案发点与居住点距离（含预测）由表中预测值和实际值的比较可知，这种预测下次作案地点的方法的合理度达到了60%，说明这种方法是合理的，并且得出下次作案地点与罪犯最可能的居住地点的距离为0.1097。模型的评价及推广本文首先对连环杀人案时间地点的系统分析，得到连环杀人案的规律，并对犯罪圆周假设理论进行了深层次的修改，最后基于犯罪圆周假设理论，建立了三个模型，经过检验三个模型预测的居住地和实际居住地都十分接近。这就说明这三个模型适合地域相对封闭的连环杀人案，利用前三个模型利用Rossmo公式得到矩阵并作图得到整体犯罪区域内每个小区域犯罪居住的概率，和实际居住地很接近。但这种模型不一定适用于犯罪区域很大的案件，虽然在当代社会交通很发达的情况下不一定适用，但是这种分析方法辅助其他的分析理论，会使其他的分析方法发挥更好的效用。

针对预测下一次犯罪地点和时间，由于连环杀人案作案对象都是有共性的，并且有一定的时间间隔，建立了GM（1,1）模型对下次案发时间和地点进行预测，经检验得到了合理接近案发时间和地点。本模型具有局限性，对有共性对象的连环杀人案在时间和地点上可以很好的预测，但是对那些丧心病狂随意杀人的连环杀人犯不具有适用性。八、参考文献【1】地理学的犯罪心理画像，（美）迪·金·罗斯姆，北京：中国人民公安大学出版社，2007年4月第一版，206-213页【2】数字图像处理，RafaelC.Gonzalez,北京：电子工业出版社，2012年8月第三版，64-68页。【3】犯罪空间情报分析在系列杀人案件侦查中的应用，/p-475626555.html【4】PeterSutcliffe杀人及杀人未遂的23个地点及住所的谷歌地球坐标，/thread-94658-1-1.html九、概要在当今社会，犯罪时有发生。尤其是连环杀人案，他不仅给死者及其亲属带来难以弥补损失，还给社会带来巨大恐慌，因此可行有效的破案方案是破获连环杀人案件的关键。多种案例表明，犯罪分子若是按既定的方向作案，无论是向左还是向右都有规则的线性特征，因为犯罪分子作案往往是乘坐汽车，或者火车，或者驾驶私家车道偏远的地方作案，然后再沿原路返回自己的居住地。这几种情形案发一般都是选择沿公路或者铁路的村庄、城镇。所以作案地图会显示出很明显的线性特征。因此我们选用“地图分析法”来确立“地理轮廓”。在对大量案件时间地点系统分析后，对一些大量犯罪地理分析方法进行了比较，通过对比整合，得出了三个可靠的模型用来确定地理轮廓。他们都是基于“犯罪圆周理论”完善改进得到的，第一种模型是对“犯罪圆周理论”的改进他的核心思想还是通过找到圆心，来找到罪犯尽可能居住的地方。但是经过改进后他是使得用最小的半把所有的犯罪地点都包括在一个圆内，这样推测罪犯极可能就居住在圆心的附近。这种确定“地理轮廓”的方案对一些犯罪区域相对较小的连环案件实用性更可靠。因此，当犯罪区域很大时，这种方案确定的可能居住范围，可靠度会降低，尽管对这种范围大的连环案件适用性不是很强，但是他可以辅助其他的方法，是其他的方法发挥最大效用。也有可能罪犯为了故意逃脱警方的追捕迷惑警方，故意在偏远的地区作案。这时要用此方案确定罪犯可能的居住区域就要把这相对很偏远的一两个案件发生地剔除掉，这样还是会得到很可靠的结果。第二种确定“地理轮廓”的方案其关键还是找到圆心，只是运用的方法不同，此种方案是把案发地点所用的横坐标求平均值得到预测居住地的横坐标，所有纵坐标求平均值作为预测居住地的纵坐标。这种方案经大量案件检验后，得到的预测居住地距离实际居住地很近。说明这种方法在预测罪犯居住地很有帮助。但是这种方案也有他的局限性，这样得到的居住地范围可能会很大，当有些案件比较集中在某一地方是，会使预测地距离实际居住地偏差较大。所以这个方案适合作案地点相对比较分散的情形。第三种是改进最匹配圆模型，该模型的执行是找到一点时期到所有案发地点距离之和最短。罪犯居住地就极可能在此点附近。但是这种方法也是有局限性的，并不适合所有的连环犯罪案。也是适合犯罪区域不是很广阔的地域。通过这三种方案基本就可以确定“地理轮廓”了。应用这三个方案为基础，运用Rossmo公式，得到矩阵并绘制彩图，根据颜色推断每个小区域为居住地的概率。通过对案例的检验得到的结果可靠度很高，这种方法可以很有效的划分出罪犯的居住地。为破案提供了有力的线索。这种方法也不适合所有的连环作案，他对单人作案，犯罪区域不是十分大的连环案，基本都能做出可靠的预测。但是对团伙作案预测可能不是很可靠。总之，在交通较为封闭地区，圆周假设具有很强的适应性。而在当代，由于交通工具非常发达，犯罪嫌疑人往往做火车，汽车，私家车等交通工具，沿铁路，公路随即选择作案地点，形成超长距离的犯罪圆周直径，这似乎给地图分析法带来严峻的挑战。“圆周假设”在当代还有适合行么？回答当然是肯定的。由于犯罪分子作案的本质并没有变，所以圆周假设依然成立，只不过是把犯罪区域扩大了。只要破案人员把眼光放宽，通过表层去发掘深层的犯罪本质，就能够发现犯罪分子作案规律。 当前，警方在破获一些犯罪团伙流窜作案时，有时会把罪犯作案圆周假设扩大到数百公里，形成具有当代特点的“大圆周”地图分析方法，这说明“地图分析法”在信息化的当代社会仍然具有较强的适用性。当然，犯罪人员与绝不会故意留下“犯罪的圆周”让警察追踪，但通过研究发现，该圆周使他们“无意识”留下来的。犯罪行为是极其复杂的问题，“地图分析”不能适用所有的案件，但是，在案件分析中，可以将它与其他的分析方法结合起来，这样可以很好的增强其他方法的有效性。模型基于GM（1,1）模型进行估算给出了罪犯进行下一次作案的地点和时间。对于时间的预测，首先，使用第一个模型预测本次连环犯罪的嫌疑人最可能的居住地点。其次，分别计算出这个预想的居住点和已经发生的所有案发地点之间距离。第三，将所有的距离按照案发次序的前后进行排序。第四，建立灰度预测模型，将第三步中的数据序列进行处理，用已经发生的案件的距离信距离为最小半径，用作图工具画圆，则犯罪分子的下一次作案很大可能会在圆包围的范围之内，警方就可以进行警力部署等相关工作。作案是一个十分复杂，要做到第一时间破案，必须去挖掘罪犯作案表象后面的本质，还要通过这些去推测罪犯的心理。只有把“犯罪地图分析”和这些与罪犯有关的内在东西系统的结合起来才能准确锁定罪犯。通过对高调刑事案件的验证表明，模型中的两种方法都能够为警方的调查提供有效的出发点。建议警方在应用我们的技术解决其他问题的时候适当的补充合适的处理措施。十、附件清单附件1：23次作案地点的坐标及时间作案顺序作案时间10.88320.40201975-7-520.79940.57211975-8-1530.74230.35251975-8-2740.80830.66091975-10-3051.11920.33861976-1-2061.12430.30691976-5-971.16750.34621977-2-581.17130.33601977-4-2390.90090.42361977-6-26101.12940.32591977-7-10110.89330.37671977-10-1120.11790.03531977-12-14131.11420.31951978-1-21140.88060.40841978-1-31150.76390.17111978-5-16160.16610.05561979-4-4171.05700.41091979-9-2180.71440.30811980-8-18190.88570.38811980-9-24201.08750.35381980-11-5211.10020.32721980-11-17220.76130.2244231.01770.3525附件2：模型一Lingo求解程序及相关结果min=R;(a-0.8832)^2+(b-0.4020)^2<=R^2;(a-0.7994)^2+(b-0.5721)^2<=R^2;(a-0.7423)^2+(b-0.3525)^2<=R^2;(a-0.8083)^2+(b-0.6609)^2<=R^2;(a-1.1192)^2+(b-0.3386)^2<=R^2;(a-1.1243)^2+(b-0.3069)^2<=R^2;(a-1.1675)^2+(b-0.3462)^2<=R^2;(a-1.1713)^2+(b-0.3360)^2<=R^2;(a-0.9009)^2+(b-0.4236)^2<=R^2;(a-1.1294)^2+(b-0.3259)^2<=R^2;(a-0.8933)^2+(b-0.3767)^2<=R^2;!(a-0.1179)^2+(b-0.0353)^2<=R^2;(a-1.1142)^2+(b-0.3195)^2<=R^2;(a-0.8806)^2+(b-0.4084)^2<=R^2;(a-0.7639)^2+(b-0.1711)^2<=R^2;!(a-0.1661)^2+(b-0.0556)^2<=R^2;(a-1.0570)^2+(b-0.4109)^2<=R^2;(a-0.7144)^2+(b-0.3081)^2<=R^2;(a-0.8857)^2+(b-0.3881)^2<=R^2;(a-1.0875)^2+(b-0.3538)^2<=R^2;(a-1.1002)^2+(b-0.3272)^2<=R^2;(a-0.7613)^2+(b-0.2244)^2<=R^2;(a-1.0177)^2+(b-0.3525)^2<=R^2;R<=1.2;a<=1.2;b<=0.7;结果：VariableValueReducedCostR0.27390640.000000A0.90625510.000000B0.40510800.000000附件3：模型二matlab求解程序（中心图解法）A=[ 0.8832 0.4020 0.7994 0.5721 0.7423 0.3525 0.8083 0.6609 1.1192 0.3386 1.1243 0.3069 1.1675 0.3462 1.1713 0.3360 0.9009 0.4236 1.1294 0.3259 0.8933 0.3767 0.1179 0.0353 1.1142 0.3195 0.8806 0.4084 0.7639 0.1711 0.1661 0.0556 1.0570 0.4109 0.7144 0.3081 0.8857 0.3881 1.0875 0.3538 1.1002 0.3272 0.7613 0.2244 1.0177 0.3525];a=sum(A(:,1))/23b=sum(A(:,2))/23附件4模型三求解（最匹配圆）A=[ 0.8832 0.4020 0.7994 0.5721 0.7423 0.3525 0.8083 0.6609 1.1192 0.3386 1.1243 0.3069 1.1675 0.3462 1.1713 0.3360 0.9009 0.4236 1.1294 0.3259 0.8933 0.3767 0.1179 0.0353 1.1142 0.3195 0.8806 0.4084 0.7639 0.1711 0.1661 0.0556 1.0570 0.4109 0.7144 0.3081 0.8857 0.3881 1.0875 0.3538 1.1002 0.3272 0.7613 0.2244 1.0177 0.3525];x=zeros(1,2);d=0;x1=A(:,1);y1=A(:,2);d1=zeros(1,23);dsum=inf;fora=0:0.001:1.2forb=0.:0.001:0.7fori=1:23d1(i)=abs(a-x1(i))+abs(b-y1(i));endifsum(d1)<dsum%选择到所有案发地点总距离最长的点作为居住点dsum=sum(d1);x(1)=a;x(2)=b;endendendxT=0;fori=1:23T=T+sqrt((x(1)-x1(i))^2+(x(2)-y1(i))^2);%居住点到所有案发地点的平均距离endT/23/2.5%最匹配圆半径附件5绘出地理轮廓图A=[ 0.8832 0.4020 0.7994 0.5721 0.7423 0.3525 0.8083 0.6609 1.1192 0.3386 1.1243 0.3069 1.1675 0.3462 1.1713 0.3360 0.9009 0.4236 1.1294 0.3259 0.8933 0.3767 0.1179 0.0353 1.1142 0.3195 0.8806 0.4084 0.7639 0.1711 0.1661 0.0556 1.0570 0.4109 0.7144 0.3081 0.8857 0.3881 1.0875 0.3538 1.1002 0.3272 0.7613 0.2244 1.0177 0.3525];a=sum(A(:,1))/23;b=sum(A(:,2))/23;plot(A(:,1),A(:,2),'x','LineWidth',2)%所有案发点坐标图holdonplot(a,b,'-ro',0.8930,0.3460,'*',0.88,0.42,'+')%画出模型二，模型三算出的和实际的holdon%居住点x0=0.8930;y0=0.346;theta=0:pi/100:2*pi;R=0.2334/2.5;x=R*cos(theta)+x0;y=R*sin(theta)+y0;plot(x,y,'-')axisequalholdonx0=a;y0=b;theta=0:pi/100:2*pi;R=0.2334/2.5;x=R*cos(theta)+x0;y=R*sin(theta)+y0;plot(x,y,'-')axisequalx0=0.9062;y0=0.4051;%改进圆周假设理论模型theta=0:pi/100:2*pi;R=0.2739;x=R*cos(theta)+x0;y=R*sin(theta)+y0;plot(x,y,'-')axisequal附件6绘出Rossmo模型的彩色概率分布图以及灰色概率分布图A=[ 0.8832 0.4020 0.7994 0.5721 0.7423 0.3525 0.8083 0.6609 1.1192 0.3386 1.1243 0.3069 1.1675 0.3462 1.1713 0.3360 0.9009 0.4236 1.1294 0.3259 0.8933 0.3767 0.1179 0.0353 1.1142 0.3195 0.8806 0.4084 0.7639 0.1711 0.1661 0.0556 1.0570 0.4109 0.7144 0.3081 0.8857 0.3881 1.0875 0.3538 1.1002 0.3272 0.7613 0.2244 1.0177 0.3525];x=A(:,1);y=A(:,2);B=0.1141;C=zeros(1,2);Pi=