考点32直线平面垂直的判定及其性质备战2020年高考数学理一轮复习导练案纸间书屋

考点 直线、平面垂直的判定及其性·如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直·如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直lαlα互相垂直.记作：l⊥α.图形表示【注意】定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线” bPab⇒②构造平行线规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90

0.因此，．[0,2αβ垂直，记作⊥.图形表示如下：l⊥α，l a a 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面二面角的范围：[0π]. ③垂直于平面的传递性a∥b,ab④面面平行的性质a,∥a证明线面垂直的是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定果得到了的结果就否定假设.典例1 如图所示，Δ𝐴𝐷𝐵和Δ𝐴𝐷𝐶都是以𝐷为直角顶点的等腰直角三角形，且∠𝐵𝐴𝐶=60°，下列说法中错A．𝐴𝐷⊥平面 B．𝐵𝐷⊥平面C．𝐷𝐶⊥平面 D．𝐵𝐶⊥平面【答案】【解析】𝐴𝐷⊥𝐵𝐷,𝐴𝐷⊥𝐷𝐶,所以𝐴𝐷⊥平面又△ABD与△ADC均为以𝐷为直角顶点的等腰直角三角形,ABACBDDC所以∠𝐵𝐷𝐶＝90°,即𝐵𝐷⊥所以𝐵𝐷平面𝐴𝐷𝐶,同理𝐷𝐶平面𝐴𝐵𝐷.D.

2AB2P 如图，在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，各个侧面均是边长为2的正方形，𝐷为线段𝐴𝐶的中点（1）求证：𝐵𝐷⊥平面（2）求证：直线𝐴𝐵1∥平面设𝑀为线段𝐵𝐶1上任意一点，在△BC1D内的平面区域（包括边界）是否存在点𝐸，使𝐶𝐸⊥𝐷𝑀请说（1）∵三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，各个侧面均是边长为2∴𝐶𝐶1⊥𝐵𝐶，𝐶𝐶1⊥∴𝐶𝐶1⊥平面𝐴𝐵𝐶，又∵𝐵𝐷平面𝐴𝐵𝐶，∴𝐶𝐶1⊥又底面为等边三角形，𝐷为线段𝐴𝐶∴𝐵𝐷⊥又𝐴𝐶∩𝐶𝐶1=∴𝐵𝐷⊥平面∵𝐷是𝐴𝐶的中点，∴𝑂𝐷∥又𝑂𝐷⊂平面𝐵𝐶1𝐷，𝐴𝐵1⊄平面∴直线𝐴𝐵1∥平面（3）在△BC1D内的平面区域（包括边界）存在点𝐸，使𝐶𝐸⊥𝐷𝑀，此时𝐸 如图，过𝐶作𝐶𝐸⊥𝐶1𝐷，交线段𝐶1𝐷于点𝐸，由（1）可知，𝐵𝐷⊥平面又𝐶𝐸⊂平面𝐴𝐶𝐶1𝐴1，∴𝐵𝐷⊥由𝐶𝐸⊥𝐶1𝐷，𝐵𝐷∩𝐶1𝐷=𝐷，得𝐶𝐸⊥平面∵𝐷𝑀⊂平面∴𝐶𝐸⊥（2）段AA1上求一点G，使得AE⊥平面DFG？并说明理由 已知在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐸,𝐹分别为底𝐴𝐵,𝐶𝐷上的点，且𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，𝐸𝐹=𝐸𝐵=1𝐹𝐶=2𝐸𝐴=1𝐹𝐷，沿𝐸𝐹将平面𝐴𝐸𝐹𝐷折起至平面𝐴𝐸𝐹𝐷⊥平面𝐸𝐵𝐶𝐹，如图2（1）求证：平面𝐵𝐶𝐷⊥平面（2）若𝐴𝐸=2，求多面体𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹（1）由平面𝐴𝐸𝐹𝐷⊥平面𝐸𝐵𝐶𝐹，且𝐷𝐹⊥𝐸𝐹知𝐷𝐹⊥平面𝐸𝐵𝐶𝐹．DF平面𝐵𝐷𝐹，所以平面𝐵𝐷𝐹⊥平面𝐸𝐵𝐶𝐹.BF22BC22FC4BF2BC2FC2，即𝐵𝐶⊥BC平面所以𝐵𝐶⊥平面BC平面𝐵𝐶𝐷，所以平面𝐵𝐶𝐷⊥平面（2）依题意知，多面体𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹是三棱台𝐴𝐵𝐸𝐷𝐶𝐹，易得高为𝐸𝐹=2，两个底面面积分别是2和故体积为2×(2+8+√2×8)= 如图,直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中,𝐷,𝐸分别是𝐴𝐵,𝐵𝐵1的中点,𝐴𝐵=（1）证明:𝐵𝐶1//平面（2）证明:平面𝐴1𝐸𝐶⊥平面因为𝑂𝐷⊂平面𝐴1𝐶𝐷𝐵𝐶1⊄平面𝐴1𝐶𝐷，（2）取𝐴𝐶的中点𝐹,连接𝐸𝑂𝑂𝐹,因为𝑂是𝐴𝐶1的中点所以𝑂𝐹//𝐴𝐴 𝑂𝐹=2显然𝐵𝐸//𝐴𝐴, 𝐵𝐸=2所以𝑂𝐹//𝐵𝐸且𝑂𝐹=因为𝐴𝐵=𝐵𝐶,所以𝐵𝐹⊥又𝐵𝐹⊥所以直线𝐵𝐹⊥平面因为𝐸𝑂//𝐵𝐹,所以直线𝐸𝑂⊥平面因为𝐸𝑂⊂平面所以平面𝐴1𝐸𝐶⊥平面P﹣ABCD中，PAABCDABCDOACBD的交点，AB=2，∠BAD=60°，MPD的中点．C﹣PBD的体积等于3PA2 请点E的位置，并给出证明AB1B1ABE的距离 简称为“一作二证三求” 5C．4

B．5555【答案】故△BDC为直角三角形．设棱长为1，则有AD 5,BD 3,DC 5 ∴ 1 3 5 15

AB1DCh，则有VABDCVBADC ∴1h 1BD

∴1h

151

31，∴h 25 25ADB1DCθ，则sin

h4 CD又 CD45设棱长为2，在△ACD中由等面积法得AH4545∴sinADH5455 AEBB1，EABCBCAEBCAEB1BCC1，AEAEF，因为△ABC是正三角形，所以CDAB，33由题设知CAD45，所以ADCD AB 331在Rt△AADAA

AD2AD2132 FC2AA12故三棱锥FAEC的体积V1 FC1 3 2 63

33 PA变化时，点CPAB的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理PA3PCPAD所成角的正弦值 已知ABCD是正方形，E是AB的中点，将△DAE和△CBE分别沿DE、CE折起，使AE与重合，A、B两点重合后记为点P，那么二面角PCDE的大小 【答案】CDFPF、EF⊂PEF，∴CD⊥EF，∴∠PFEPCDEABCD在Rt△EFP典例8 在Δ𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=4,𝐴𝐶=4√2,∠𝐵𝐴𝐶=45∘，以𝐴𝐶的中线𝐵𝐷为折痕，将Δ𝐴𝐵𝐷沿𝐵𝐷折起，如图所示，构成二面角𝐴′−𝐵𝐷−𝐶,在平面𝐵𝐶𝐷内作𝐶𝐸⊥𝐶𝐷，且𝐶𝐸=√2．（1）求证：𝐶𝐸∥平面（2）如果二面角𝐴′−𝐵𝐷−𝐶的大小为90∘，求二面角𝐵−𝐴′𝐶−𝐸（1）由𝐴𝐵=4,𝐴𝐶=4√2,𝐵𝐴𝐶=45∘得𝐵𝐶=由𝐷为𝐴𝐶的中点得𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，以𝐴𝐶的中线𝐵𝐷为折痕翻折后仍有𝐵𝐷⊥因为𝐶𝐸⊥𝐶𝐷，所以又𝐶𝐸⊄平面𝐴′𝐵𝐷，𝐵𝐷⊂平面𝐴′𝐵𝐷，（2）因为二面角𝐴′𝐵𝐷−𝐶的大小为90∘，所以平面𝐴′𝐵𝐷⊥平面𝐵𝐷𝐶，又平面𝐴′𝐵𝐷∩平面𝐵𝐷𝐶=𝐵𝐷,𝐴′𝐷⊥𝐵𝐷，所以𝐴′𝐷⊥平面𝐵𝐷𝐶，因此𝐴′𝐷⊥𝐶𝐸，又𝐶𝐸⊥𝐶𝐷，𝐴′𝐷∩𝐶𝐷=𝐷，所以𝐶𝐸⊥平面𝐴′𝐶𝐷，从而𝐶𝐸⊥𝐴′𝐶．由题意𝐴′𝐷=𝐷𝐶=2√2，所以在RtΔ𝐴′𝐷𝐶中，𝐴′𝐶=如图，设𝐴′𝐶中点为𝐹因为𝐴′𝐵=𝐵𝐶=4，所以𝐵𝐹⊥𝐴′𝐶，且𝐵𝐹=2√3，如图，设𝐴′𝐸的中点为𝐺FG，BG，则𝐹𝐺∥𝐶𝐸，由𝐶𝐸⊥𝐴′𝐶得𝐹𝐺⊥𝐴′𝐶，所以∠𝐵𝐹𝐺为二面角𝐵−𝐴′𝐶−𝐸如图，连接𝐵𝐸，在Δ𝐵𝐶𝐸中，因为𝐵𝐶=4,𝐶𝐸=√2,∠𝐵𝐶𝐸=135∘，所以𝐵𝐸=在RtΔ𝐷𝐶𝐸中，𝐷𝐸=√(2√2)2+(√2)2=于是在RtΔ𝐴′𝐷𝐸中，𝐴′𝐸=√(2√2)2+(√10)2=3√2．在Δ𝐴′𝐵𝐸BG21AB21BE21AE233 121所以在Δ𝐵𝐹𝐺中，cosBFG 2 6223 2因此二面角𝐵−𝐴′𝐶−𝐸的余弦值为 63ABCD1DAB60AC折成60BDA． B． APNDP上的点MN∥PBCNDP若CBCDCP3AD1ABPC的平面角的余弦值a，b，c表示三条直线，α，βa c A．∥c

B．b

b b∥c

c

D．babPPA，PB，PC两两垂直，PABC外，PHABCH，则垂足H是△ABC的外 B．内C．垂 abAa∥b∥ab，则Caba∥b，则Da∥bab，则如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=√2,ADBAB为轴旋转,ADB⊥ABC时,CD= 5

35B． ,5 2

2C．1,

2,3 《九章算术》卷五《商功》中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？问题中“刍甍”12中的八边形2 2 5 5 ADBCABDE2BC2AF（如图①）.ADEFADEFCFADEFABCDBCEBEF可能垂直 如图,ABCD中,AB=2,AD=3,EAD的中点,BE,CE将△ABE,△DCE翻折,F,E-BC-F B． C． D． FABCD与平面CBFFA1D1FBCA的大小如图,三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶,平面𝑃𝐴𝐵⊥平面𝑃𝐵𝐶,若𝑃𝐵⊥𝐵𝐶,则△𝐴𝐵𝐶的形状 平面𝐵𝐶𝐷，则𝐷𝐸 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点，AB2A1A，若△ABC是正三角形，则直线A1D和平面ABC所成的角的大小是 P－ABC中，PAABC，∠BAC＝90°，FAC的中点，EPC⊥BC

PABCD中，PAABCD，且底面各边都相等，MPC FBCABCDEF∥ABFBFCHBC的中点FHABCD若△FBCQEFACDQ的体积如图，已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，𝑃𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐶𝐷=𝑃𝐷=2𝐸𝐴，𝑃𝐷//𝐸𝐴，𝐹，𝐺，𝐻𝑃𝐵，𝐵𝐸，𝑃𝐶的中点（1）求证：𝐺𝐻//平面（2）求证：平面𝐹𝐺𝐻⊥平面6P-ABCDAD∥BCADCD，QADPAPD26BC1AD1，CD2

PADABCDPCPAD所成角的正切值 ，求证:无论点P在DD1上如何移动，总有 ABCD中，E、FCD、AB的中点，CD＝2，AB＝4，AD＝BC＝√2.EFAFED折起，使得∠AFB＝60°GFB的中点，求证：AGC－AB－F如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为矩形，四边形𝐵𝐶𝐸𝐹为直角梯形，𝐵𝐹//𝐶𝐸𝐵𝐹⊥𝐵𝐶𝐵𝐹<𝐶𝐸𝐵𝐹=2,𝐴𝐵=1,𝐴𝐷=（1）求证:𝐵𝐶⊥（2）求证:𝐴𝐹//平面若二面角𝐸−𝐵𝐶−𝐴的大小为120∘,求直线𝐷𝐹与平面𝐴𝐵𝐶𝐷所成的角1（2019点PBACαPBABCβP–AC–B的平面γ，则 2（2017 则A． B．C． D．3．（2019年高考Ⅱ卷理节选）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱4．（2019年高考Ⅲ卷理节选）图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°AB，BCBEBFDG2.2A，C，G，DABC5．（2019年高考卷理节选）如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．EPDFPCPF1． 6．（2019年高考江苏卷）ABC－A1B1C1中，D，EBC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1DEC1；7．（2018江苏）ABCDA1B1C1D1AA1ABAB1B1C1（1）8（2019EFBCEFA1BC所成角的余弦值证明：AB1AC1ABB110．（2018新课标Ⅰ理科）如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点CPPFBF.PEFABFDDPABFD所成角的正弦值11（201712（2017A，D不重合)AD，BD13（2017P是CEAPBE，求CBPAB3AD2EAGC的大小

【答案】APBD1APACB1，A．【解析（1）如图，连接AD1,BC1，由正方体的性质可知，DA1AD1,DA1AB，又AB AD1A，（2）GA1由DFAH,DF EHH，可证DF⊥平面∵AE⊂又 （1）在△PBDO，MBD，PD的中点，OM∥PB．OM⊄PABPB⊂PAB，OMPAB．PAABCD，BD⊂ABCD，BD⊂PBD，ABCD所以 122 3 3 又VCPBDVPBCDPBCD所以13PA 3，解得PA3 （1）E为线段CC1的中点ABFAB1的中点为G，连接CFFGEG，FG∥CEFGCE，所以CF∥EG.因为CACBAFBF，所以CFAB又 EGAEB1，（2）AB1AA13由（1）可知，点E到平面ABB1的距离为EGCF 32 1133，AEBE 13 13 3则等腰三角形ABE底边AB13 3B1ABE的距离为h由

，得1h1 13 33 E 3h32

BABE3 【答案】POABC，连结OA，则PAOPAABC所成的角由题线段OP的中点为外接球的球心r，则7π4πr2r274OP∴AO2

72 3在正三角形ABC中，ABBCAC 3∴AO

3 3333∴PO 33∴tanPAOPO 3∴PAOπ3（1）AB3BC4AC5AB2BC2AC2ABBC，PAABCDBCABCDPABC，由PA ABA，PA，AB平面PAB，得BC平面PAB，则点CPABBCBC4.（2）PCPAD所成的角为，AD∥BCABBCABAD，PAABCDABABCD，PAAB，又PA ADA，则AB平面PAD，BPADAB3BC∥AD知点CBPAD的距离相等，则点CPADdAB3，由PA3，AC5知PC故sin

d 3343 3【答案】ABCD1DAB60AC折成60的二面角，ACODO，BO，BD，DOBO1AB1 DOAC，BOACDOBAC折成60BD121B，D2【解析（1）设平面ADP平面PBC=l因为MN∥平面PBC，MN平面ADP，所以MN∥l，又因为DA BC，所以DA∥平面PBC，DA∥l，MAPNDP的中点G作GHPBHAH（如图，ABCDPBCDCBCDCPBCDCPCDCPB，AG∥DCAGPBCAGPB，PBAGHPBAH，2GBBCGC2，GBH45，又GHPB，则GH 2

AG3AH

2所以cosAHG 2

22ABPC的平面角的余弦值为221【解析】由线面垂直的性质定理知，垂直于同一个平面的两条直线平行，A平面垂直，B正确；由面面平行的判定定理知，一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行，C正当一条直线与平面内无数条相互平行的直线垂直时，该直线与平面不一定垂直，DD．Db∥αbα内，所以D【解析】连接𝐴𝐻并延长交𝐵𝐶D，连接𝑃𝐷，∵𝑃𝐴⊥𝑃𝐵𝑃𝐴⊥𝑃𝐶，𝑃𝐵∩𝑃𝐶=𝑃∴𝑃𝐴⊥平面𝑃𝐵𝐶𝑃𝐴⊥𝐵𝐶，又𝑃𝐻⊥平面𝐴𝐵𝐶，则𝑃𝐻⊥𝐵𝐶，又𝑃𝐴∩𝑃𝐻=𝑃，∴𝐵𝐶⊥平面𝑃𝐴𝐷，则𝐵𝐶⊥𝐴𝐷，同理𝐴𝐵⊥𝐶𝐻H是△ABC的垂心,C．4【解析】Aa∥b∥ab，平面B中，若a∥b∥a∥b，平面Cabab分别是平面a∥b，必有∥Da∥bab，平面可能平行也可能相交，不正确.C．ABE,DE,CE,因为△ADB是等边三角形,DE⊥ABADBABCADB∩ABC=ABDEABCDE⊥CE.DE=√3,EC=1，Rt△DEC中,CD=√𝐷𝐸2+𝐶𝐸2=2.【答案】EF∥BC1BC1B1C,EFB1CEFA1B1CD，P段CDA1PEF， 2A1P长度的取值范围是2,3 ⊥，面𝐵𝐶𝐹𝐺所成的角𝐹𝑀=1，𝑂𝑀=1，𝐸𝐹=𝐸𝐺=√5，所以𝐸𝑀=2，𝑂𝐸=√3，则sin∠𝐸𝐹𝑂=𝑂𝐸，√3= ACAC的中点OBEMMOMFAOMF是平行四边形，即AC∥FM，所以AC平面BEF，所以①正确； ③连接CF，DFADEFEFFDEFCFEF平面CDFCDEF，所以CDADEFADEFABCDAF至GAFFGBG，EGBCEABFFFNBGNFNBCEBCEBEFFBCE垂直，其垂足在BE上，前后，故④错误.1.故选B．【解析】如图所示,BCP,EP,FP,BF=CF=2,EBEC

5(3(3)22所以∠EPFE-BC-F的平面角FP

FB2FB2(1222(27

47在△EPFcosEPF

FPEF

4 72EPE-BC-F的余弦值为4

22 210平面CBFA1D1CBA1D1CBABCD斜相交，ABCD内不存在与平面CBFBC正确；【解析】∵平面𝑃𝐴𝐵⊥平面𝑃𝐵𝐶，平面𝑃𝐴𝐵∩平面𝑃𝐵𝐶=𝑃𝐵𝑃𝐵⊥𝐵𝐶𝐵𝐶⊂平面∴𝐵𝐶⊥平面𝑃𝐴𝐵，∴𝐵𝐶⊥∴△𝐴𝐵𝐶为直角三角形，故答案为直角三角形5A作𝐴𝐻⊥𝐷𝐸,因为平面𝐴𝐷𝐸⊥平面𝐵𝐶𝐷，且平面𝐴𝐷𝐸∩平面𝐵𝐶𝐷=∴𝐴𝐻⊥平面𝐵𝐶𝐷，∴𝐴𝐻⊥又𝐴𝐷⊥𝐵𝐶,∴𝐵𝐶⊥平面𝐴𝐷𝐸,𝐵𝐶⊥𝐴𝐸∵𝐴𝐸=3×4，𝐴𝐷=1，∴𝐷𝐸= AA1mAB2mAD

3m则tanADAAA1 3,ADA30 EF⊥BC，BC∩AB＝B，EFABCPA∥EF，FAC的中点，EPC上的点，EPCPE【解析】由相关定理可知，BD⊥PC.DM⊥PCPC（1）FBFCHBCFHBC，因为平面FBC平面ABCD，平面FBC平面ABCDBCFHABCD.3因为△FBC为等边三角形，BC2，所以FH 因为EF∥AB，EF平面ABCD，ABÌ平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.3因为点Q段EF上，所以点Q到平面ABCD的距离等于点F到平面ABCD的距离，ABCDADCD2ADC120，3所以 1ADCDsinADC122 3 3 所以

1 FH1

3 Q F

3【解析】（1）如图，分别取𝑃𝐷的中点𝑀，𝐸𝐴的中点𝑁.连接3因为𝐺，𝐻分别为𝐵𝐸，𝑃𝐶MH1CD1AB 又因为𝐺𝐻⊄平面𝑃𝐷𝐴𝐸，𝑀𝑁⊂平面𝑃𝐷𝐴𝐸，（2）因为𝑃𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐵𝐶⊂平面𝐴𝐵𝐶𝐷，所以𝑃𝐷⊥因为𝐵𝐶⊥𝐶𝐷，𝑃𝐷𝐶𝐷=𝐷，所以𝐵𝐶⊥平面𝑃𝐶𝐷.所以𝐹𝐻⊥平面𝑃𝐶𝐷.因为𝐹𝐻⊂平面𝐹𝐺𝐻，所以平面𝐹𝐺𝐻⊥平面（1）BQBC∥ADBC1ADQAD的中点，BC∥DQ23则四边形BCDQ是平行四边形，BQ 33又PAPDAD2，PQ 3PB

6，PB2PQ2BQ2PQBQPQAD， BQQBQABCDADABCDPQABCDPQPADPADABCD（2）由（1）PADABCD，又平面PAD平面ABCDAD，DCPAD则CPDPCPAD在Rt△PDC中，tanCPDDC 3 PCPAD所成角的正切值为32∴MNBDD1PDD1BP⊂BDD1（2）PPDD1APC1∴PEPE⊂AF＝BF，∠AFB＝60°，所以△AFB为等GFBABCD中，E、FCD、AB的中点，EF⊥AB．又𝐴𝐹∩𝐵𝐹=𝐹，因为𝐴𝐺ABF，AG⊥EF.又𝐸𝐹∩𝐵𝐹=ABCD中，CD＝2，AB＝4，E、FCD、AB中点，GFB的中点，EC＝FG＝BG＝1CGFE是平行四边形，EFGGH⊥ABHCH，CH⊥AB，所以∠CHGC－AB－F的平面角.在Rt△BHG中，BG＝1，∠GBH＝60°，2在Rt△CGB中，CG⊥BG，BG＝1，BC＝√2，CG＝1.在Rt△CGH中，可得tanCHGCG

123 22所以二面角C－AB－F的正切值23【解析】（1）∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为矩形,∴𝐴𝐵⊥又∵𝐵𝐹⊥𝐵𝐶𝐴𝐵𝐵𝐹是平面𝐴𝐵𝐹内的两条相交直线∴𝐵𝐶⊥平面∵𝐴𝐹⊂平面𝐴𝐵𝐹,∴𝐵𝐶⊥（2）在𝐶𝐸上取一点𝑀,使𝐶𝑀=𝐵𝐹,连接∴四边形𝐵𝐶𝑀𝐹为平行四边形 ∴四边形𝐴𝐷𝑀𝐹为平行四边形∵𝐷𝑀⊂平面𝐷𝐶𝐸𝐴𝐹⊄平面∴𝐴𝐹//平面∵𝐵𝐶⊥𝐴𝐵𝐵𝐶⊥𝐵𝐹,∴∠𝐴𝐵𝐹就是二面角𝐸−𝐵𝐶−𝐴的平面角∴∠𝐴𝐵𝐹=∵𝐵𝐹=2,𝐴𝐵=1,𝐴𝐷=√5,∴𝐴𝐹=√𝐴𝐵2+𝐵𝐹2−2𝐴𝐵⋅𝐵𝐹cos∠𝐴𝐵𝐹=∴在直角Δ𝐴𝐷𝐹中,𝐷𝐹=√𝐴𝐷2+𝐴𝐹2=过𝐹作𝐹𝑁与𝐴𝐵的延长线垂直,𝑁是垂足,∴在RtΔ𝐹𝑁𝐵中,𝐹𝑁=∵𝐵𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐹𝐵𝐶⊂平面𝐴𝐵𝐶𝐷,∴平面𝐴𝐵𝐹⊥平面∴𝐹𝑁⊥平面∴∠𝐹𝐷𝑁是直线𝐷𝐹与平面𝐴𝐵𝐶𝐷所成的角在RtΔ𝐹𝐷𝑁中sinFDN

13232∴∠𝐹𝐷𝑁=则直线𝐷𝐹与平面𝐴𝐵𝐶𝐷所成的角为【解析】如图，G为AC中点，连接VG，V在底面ABC的投影为O，则P在底面的投影D段AODDEACEPE，BDPE∥VGPPF∥AC交VGF，BFDDH∥ACBGH，则BPFPBD,PED，结合△PFB，△BDH，△PDB均为直角三角形，可得cosPFEGDHBDcos，即 Rt△PEDtanPDPDtan，即 念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.【答案】OABCOPQ距离最小，OPR距离最大，ORQ距离居中，而三棱锥的高相等，因此B．B1C1BE．【解析】（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，AD，CGA，C，G，D四点共面．由已知得ABBE，ABBC，故AB平面【解析】（1）PAABCDPA⊥CD．（1）D，EBC，AC的中点ED∥AB.ABC−A1B1C1中，AB∥A1B1，A1B1∥ED.ED⊂DEC1，A1B1DEC1，A1B1DEC1.（2）AB=BC，EACABC−A1B1C1CC1BEA1ACC1.ABA1B1C，A1B1A1B1C，ABAA1=ABABB1A1为菱形，AB1⊥BC．A1B∩BC=B，A1BA1BC，BCA1BC，AB1A1BC．AB1【解析】（1）A1EA1A=A1C，EACA1E⊥AC．又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，因此33 33由于O为A1G的中点，故EOOGA1G 15 EO2OG2 所以cosEOG 2EO 3因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是