苏教版-必修一-第二章 函数-2.1 函数的概念（省一等奖）

《函数的值域》教学设计一、教学目标使学生掌握如何求二次函数、无理函数和分式函数的值域．二、教学重点联系图像求值域．三、教学难点联系图像求值域．四、教学过程例1：求函数y＝x2在下列范围内的值域：（1）x∈[1，2：（2）x∈[－1，2：（3）x∈[－3，2：（4）x∈[a，2：（5）x∈[T，T＋2：例2：求函数y＝eq\r(－x2＋2x＋3)的值域．解：令t＝－x2＋2x＋3，则：y＝eq\r(t)且t∈[0，4：∴所求函数的值域为：[0，2：例3：求函数y＝2x－3＋eq\r(4x－13)的值域．分析：对于没有给定自变量的函数，应先考查函数的定义域，再求其值域．解：∵4x－13≥0∴x∈[eq\f(13,4)，＋∞）令t＝eq\r(4x－13)则得：x＝eq\f(t2＋13,4)∴y＝eq\f(1,2)t2＋t＋eq\f(7,2)∴y＝eq\f(1,2)（t＋1）2＋3∵x≥eq\f(13,4)∴t≥0根据二次函数图象可得y∈[eq\f(7,2)，＋∞）例4：求函数y＝eq\r(x＋4eq\r(x－4))－eq\r(x－4eq\r(x－4))的值域．解：y＝（eq\r(x－4)＋2）－｜eq\r(x－4)－2｜＝eq\b\lc\{(\a\al(4x≥8,2eq\r(x－4)4≤x＜8))∴y∈[0，4：例5：求函数y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的值域．分析：对于y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的理解，从几何意义入手，即利用绝对值的几何意义可知，｜x＋1｜表示在数轴上表示x的点到点－1的距离，｜x－2｜表示在数轴上表示x的点到点2的距离，在数轴上任取三个点xA≤－1，－1＜xB＜2，xC≥c，如图所示，可以看出｜xA＋1｜－｜xA－2｜＝－3－3＜｜xB＋1｜－｜xB－2｜＜3，｜xC＋1｜－｜xC－2｜＝3，由此可知，对于任意实数x，都有－3≤｜x＋1｜－｜x－2｜≤3所以函数y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的值域为y∈[－3，3：例6：求函数y＝eq\f(x4＋x2＋5,（x2＋1）2)的值域．解：∵函数定义域为x∈R由原函数可化得：y＝eq\f(x4＋x2＋5,（x2＋1）2)＝eq\f(x2（x2＋1）＋5,（x2＋1）2)＝eq\f(5,（x2＋1）2)＋eq\f(x2,（x2＋1）2)＝eq\f(5,（x2＋1）2)＋eq\f(x2＋1－1,（x2＋1）2)＝eq\f(5,（x2＋1）2)－eq\f(1,x2＋1)＋1令t＝eq\f(1,x2＋1)∵x∈R∴t∈(0，1：∴y＝5t2－t＋1＝5（t－eq\f(1,10)）2＋eq\f(19,20)根据二次函数的图象得当t＝eq\f(1,10)时ymin＝eq\f(19,20)当t＝1时，ymax＝5∴函数的值域为y∈[eq\f(19,20)，5：例7：求下列函数的值域．（1）y＝eq\f(1,x)（2）y＝eq\f(k,x)（k≠0，k是常数）（3）y＝eq\f(1,ax＋b)（a、b是常数，a≠0）（4）y＝eq\f(k,ax＋b)（a、b、k是常数，a、k≠0）例8：求函数y＝eq\f(1,x)（x≠0）在下列定义域范围内的值域．（1）x∈（1，2）；（2）x∈（0，2）；（3）x∈（－1，2）；（4）x∈（2，+∞）；（5）x∈（－2，+∞）例9：求下列函数的值域：（1）y＝eq\f(2x－4,x＋1)；（2）y＝eq\f(1－x,2x＋5)解：（1）∵y＝eq\f(2（x＋1）－6,x＋1)＝2－eq\f(6,x＋1)∴函数的值域为{y︱y≠0}（2）∵y＝－eq\f(1,2)＋eq\f(eq\f(7,2),2x＋5)∵eq\f(eq\f(7,2),2x＋5)≠0∴y≠－eq\f(1,2)∴函数y的值域为y∈（－∞，－eq\f(1,2)）∪（－eq\f(1,2)，＋∞）例10：求函数y＝eq\f(3x2－1,x2＋2)的值域．解：由y＝eq\f(3x2－1,x2＋2)可知，x∈R且yx2＋2y＝3x2－1即（3－y）x2＝2y＋1若y＝3时，则有0＝7，这是不可能的．∴y≠3得：x2＝eq\f(2y＋1,3－y)∵x2≥0∴eq\f(2y＋1,3－y)≥0解得：－eq\f(1,2)≤y＜3∴函数值域为y∈[－eq\f(1,2)，3）例11：求下列函数的值域：（1）y＝eq\f(1,x2＋2x＋3)；（2）y＝eq\f(1,x2＋2x－3)例12：求函数y＝eq\f(x2－2x－3,2x2＋2x＋1)的值域．解：由y＝eq\f(x2－2x－3,2x2＋2x＋1)得x∈R且可化为：（2y－1）x2＋2（y＋1）x＋（y＋3）＝0∴当y≠eq\f(1,2)时，Δ＝[2（y＋1）：2－4（2y－1）（y＋3）≥0∴y2＋3y－4≤0∴－4≤y≤1且y≠eq\f(1,2)又当y＝eq\f(1,2)时，2（1＋eq\f(1,2)）x＋（eq\f(1,2)＋3）＝0得：x＝－eq\f(7,6)，满足条件∴函数的值域为y∈[－4，1：评述：（1）求函数的值域是一个相当复杂的问题，它没有现成的方法可套用，要结合函数表达式的特征，以