第二章内插法

第二章内插法第1页，共22页，2023年，2月20日，星期三根据已知的x值，查表可求得y值，但是表内不可能一一列出全部y值，当所求的函数值y正好在两表列数值之间，利用表列数据间的引数求y值的方法称为内插法。内插法：利用函数表册，根据任意居间引数查取相应函数的方法。第2页，共22页，2023年，2月20日，星期三内插分类：a：按使用目的：正内插－已知引数求函数；反内插－已知函数求引数。第3页，共22页，2023年，2月20日，星期三b：按引数的个数：单内插、双内插、三内插c：按函数的性质：线性内插、变率内插、高次内插第4页，共22页，2023年，2月20日，星期三第一节比例内插（线性内插）一．比例单内插（一元函数y＝f(x)）引数函数值x0yox1y1……1．比例正内插已知x求y。y＝f（x）第5页，共22页，2023年，2月20日，星期三比例内插公式：yyyy--010＝xxxx--010

y＝y0＋xxxx--010（y1－y0）

＝y0＋yyxx1010--（x－x0）

Ox0y0x1y1xyf(x)xyacdeb第6页，共22页，2023年，2月20日，星期三

比率内插的几何意义：用表列引数两点的直线代替曲线进行内插，即以弦代替曲线进行内插。结论：1）

f（x）为线性函数，求得的y值没有误差2)f（x）为非线性函数，求得的y值有df误差Ox0y0x1y1xyf(x)xyabcedf第7页，共22页，2023年，2月20日，星期三

①：只要在误差允许的范围内，均可采用线性内插。②：对非线性函数，表间距越小，利用线性内插求得的函数值的误差越小。但是表的篇幅会增大。

第8页，共22页，2023年，2月20日，星期三例2－1－1：某船静水力性能数据表部分内容如表2-1-2：

型吃水d（m）

排水量△（t）总载重量DW（t）5.005.205.405.60

96004035100404475105004935109605395已知型吃水5.25，求排水量和总载重量＝△0＋△△dd1010--（d－d0）＝10155t△＝△0＋△△dd1010--（d－d0）＝4590tDW第9页，共22页，2023年，2月20日，星期三2.比例反内插

内插的逆运算，y＝f（x），已知y求x？第10页，共22页，2023年，2月20日，星期三二.比例双内插（二元函数）

当函数有两个自变量时，用比例双内插求近似解。第11页，共22页，2023年，2月20日，星期三例2－1－1：设物标高h，垂直角α，水平距离D＝hctgα，利用该式编表2-1-2如下：

（1）求α＝4′，h＝13.4m时的D？αh10203456.212.34.69.33.77.413.46.2D＝D0＋（h－h0）＝4.6＋（13.4－10）＝6.2nmile0101hh-DD-10206.43.9--第12页，共22页，2023年，2月20日，星期三（2）求α＝5′，h＝13.4m时的D？

αh10203456.212.34.69.33.77.413.45.0D＝D0＋（h－h0）＝3.7＋（13.4－10）＝5.0nmile0101hh-DD-10207.34.7--第13页，共22页，2023年，2月20日，星期三求h＝13.4m，α＝4.4时的D？10203456.212.34.69.33.77.413.46.25.05.74.4D＝6.2＋（4.4－4）＝5.7nmile452.60.5--第14页，共22页，2023年，2月20日，星期三比例双内插的简便算法XY

x0x1y0y1z00z10z01z11z=z00+)x(xxxzz0010010---)yy(yyzz0010001---+第15页，共22页，2023年，2月20日，星期三h

α10203456.212.34.69.33.77.413.44.4Z＝4.6＋(13.4－10）＋（4.4－4）＝5.8nmile93462010..－-374654..－-例2－1－3：求h＝13.4m，α＝4.4时的D？z=z00+)x(xxxzz0010010---)yy(yyzz0010001---+5.8第16页，共22页，2023年，2月20日，星期三第二节变率内插当函数是非线性函数时，如果用比例内插计算将会导致一定的计算误差，为了尽量减小该误差，则引进了变率内插。第17页，共22页，2023年，2月20日，星期三一.变率单内插（一元函数）

已知比例内插计算公式：

y＝y0＋（x－x0）y1-y0x1-x0

y＝y0＋（x－x0）dydx利用表中给出的函数变化率进行内插。将比例内插计算公式改写成变率内插公式：第18页，共22页，2023年，2月20日，星期三（1）

用比例内插y＝5.5（2）

用x＝2变率内插y＝4＋4（2.3－2）＝5.2（3）

用x＝3变率内插y＝9＋6（2.3－3）＝4.8（4）

用y＝x2直接计算y＝5.294684916234yxdydx例2－2－1：用y＝x2造表，求x＝2.3时的y？第19页，共22页，2023年，2月20日，星期三分析：

①比例内插误差大；

②x＝2的变率内插较准。结论：使用变率内插时，为减小误差，应使用最接近实际引数的表列引数所对应的函数为基准。第20页，共22页，2023年，2月20日，星期三yxof(x)x0y0x1y1xyypyx0yx1变率内插的几何意义：准确值y按x0变