新疆乌鲁木齐市第四中学2022-2023学年数学高二第二学期期末统考模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．对于函数，曲线在与坐标轴交点处的切线方程为，由于曲线在切线的上方，故有不等式．类比上述推理：对于函数，有不等式（）A． B．C． D．2．已知函数在区间上为单调函数，且，则函数的解析式为（）A． B．C． D．3．下列结论错误的是（）A．命题“若p，则q”与命题“若￢q，则￢p”互为逆否命题B．命题p：，，命题q：，，则“”为真C．“若，则”的逆命题为真命题D．命题P：“，使得”的否定为￢P：“，4．已知命题,；命题若，则，下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．5．如图，在△中,,是上的一点,若,则实数的值为()A． B． C． D．6．以下四个命题中，真命题的是（）A．B．“对任意的”的否定是“存在”C．，函数都不是偶函数D．中，“”是“”的充要条件7．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取岀一个球放入乙罐，分别以，，表示由甲罐取岀的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确的是（）A．事件与事件不相互独立 B．，，是两两互斥的事件C． D．8．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出（）A． B． C． D．9．定积分121xdxA．-34 B．3 C．ln10．用反证法证明“方程至多有两个解”的假设中，正确的是（）A．至少有两个解 B．有且只有两个解C．至少有三个解 D．至多有一个解11．设，，，……，，，则（）A． B． C． D．12．已知向量与的夹角为，，，则（）A． B．2 C．2 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．_______.14．函数的单调递增区间是_______．15．已知，直线：和直线：分别与圆：相交于、和、，则四边形的面积为__________．16．设满足约束条件，则的最大值为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）（1）已知，是虚数单位，若，是纯虚数，写出一个以为其中一根的实系数一元二次方程；（2）求纯虛数的平方根．18．（12分）已知数列满足，．(Ⅰ)求的值，猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明；(Ⅱ)令，求数列的前项和.19．（12分）已知函数，（其中,为自然对数的底数）.（1）讨论函数的单调性；（2）若分别是的极大值点和极小值点，且，求证：.20．（12分）盒子中有大小和形状完全相同的个红球、个白球和个黑球，从中不放回地依次抽取个球.（1）求在第次抽到红球的条件下，第次又抽到红球的概率；（2）若抽到个红球记分，抽到个白球记分，抽到个黑球记分，设得分为随机变量，求随机变量的分布列.21．（12分）毕业季有位好友欲合影留念，现排成一排，如果：（1）、两人不排在一起，有几种排法？（2）、两人必须排在一起，有几种排法？（3）不在排头，不在排尾，有几种排法？22．（10分）(1)求的解集M；(2)设且a＋b＋c＝1．求证：．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

求导，求出函数与轴的交点坐标，再求出在交点处的切线斜率，代入点斜式方程求出切线，在与函数图像的位置比较，即可得出答案．【详解】由题意得，且的图像与轴的交点为，则在处的切线斜率为，在处的切线方程为，因为切线在图像的上方，所以故选A【点睛】本题考查由导函数求切线方程以及函数图像的位置，属于一般题．2、C【解析】

由函数在区间上为单调函数，得周期，，得出图像关于对称，可求出，，得出函数的对称轴，结合对称中心和周期的范围，求出周期，即可求解.【详解】设的最小正周期为，在区间上具有单调性，则，即，由知，有对称中心，所以.由，且，所以有对称轴.故.解得，于是，解得，所以.故选：C【点睛】本题考查正弦函数图象的对称性、单调性和周期性及其求法，属于中档题.3、C【解析】

由逆否命题的定义即可判断A；由指数函数的单调性和二次函数的值域求法，可判断B；由命题的逆命题，可得m＝0不成立，可判断C；运用命题的否定形式可判断D．【详解】解：命题“若p则q”与命题“若￢q则￢p”互为逆否命题，故A正确；命题，，由，可得p真；命题，，由于，则q假，则“”为真，故B正确；“若，则”的逆命题为“若，则”错误，如果，不成立，故C不正确；命题P：“，使得”的否定为￢P：“，”，故D正确．故选：C．【点睛】本题考查四种命题和命题的否定，考查判断能力和运算能力，属于基础题．4、B【解析】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．故选B．5、C【解析】

先根据共线关系用基底表示，再根据平面向量基本定理得方程组解得实数的值.【详解】如下图，∵三点共线，∴，∴，即,∴①,又∵，∴，∴②，对比①，②，由平面向量基本定理可得：．【点睛】本题考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.6、D【解析】

解：A．若sinx＝tanx，则sinx＝tanx，∵x∈（0，π），∴sinx≠0，则1，即cosx＝1，∵x∈（0，π），∴cosx＝1不成立，故∃x∈（0，π），使sinx＝tanx错误，故A错误，B．“对任意的x∈R，x2+x+1＞0”的否定是“存在x0∈R，x02+x0+1≤0”，故B错误，C．当θ时，f（x）＝sin（2x+θ）＝sin（2x）＝cos2x为偶函数，故C错误，D．在△ABC中，C，则A+B，则由sinA+sinB＝sin（B）+sin（A）＝cosB+cosA，则必要性成立；∵sinA+sinB＝cosA+cosB，∴sinA﹣cosA＝cosB﹣sinB，两边平方得sin2A﹣2sinAcosA+cos2A＝sin2B﹣2sinBcosB+cos2B，∴1﹣2sinAcosA＝1﹣2sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＝π﹣2B，即A＝B或A+B，当A＝B时，sinA+sinB＝cosA+cosB等价为2sinA＝2cosA，∴tanA＝1，即A＝B，此时C，综上恒有C，即充分性成立，综上△ABC中，“sinA+sinB＝cosA+cosB”是“C”的充要条件，故D正确，故选D．考点：全称命题的否定，充要条件等7、C【解析】

依次判断每个选项得到答案.【详解】A.乙罐取出的球是红球的事件与前面是否取出红球相关，正确B.，，两两不可能同时发生，正确C.，不正确D.，正确故答案选C【点睛】本题考查了独立事件，互斥事件，条件概率，综合性强，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.8、D【解析】

通过分析可知程序框图的功能为计算，根据最终输出时的值，可知最终赋值时，代入可求得结果.【详解】根据程序框图可知其功能为计算：初始值为，当时，输出可知最终赋值时本题正确选项：【点睛】本题考查根据程序框图的功能计算输出结果，关键是能够明确判断出最终赋值时的取值.9、C【解析】

直接利用微积分基本定理求解即可．【详解】由微积分基本定理可得，121x【点睛】本题主要考查微积分基本定理的应用，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题．10、C【解析】分析：把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，即为所求．详解：由于用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，

命题：“方程ax2+bx+c=0（a≠0）至多有两个解”的否定是：“至少有三个解”，

故选C．点睛：本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题．11、B【解析】

根据题意，依次求出f1（x）、f2（x）、f3（x）、f4（x）的值，分析可得fn+4（x）＝fn（x），据此可得f2019（x）＝f3（x），即可得答案．【详解】根据题意，＝sinx，f1（x）＝＝cosx，f2（x）＝＝﹣sinx，f3（x）＝＝﹣cosx，f4（x）＝＝sinx，则有f1（x）＝f4（x），f2（x）＝f5（x），……则有fn+4（x）＝fn（x），则f2019（x）＝f3（x）＝﹣cosx；故选：B．【点睛】本题考查导数的计算，涉及归纳推理的应用，关键是掌握导数的计算公式．12、C【解析】

利用即可解决．【详解】由题意得，因为向量与的夹角为，，，所以，所以，所以，所以选择C【点睛】本题主要考查了向量模的计算，在解决向量模的问题时通常先计算出平方的值，再开根号即可，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】分析：利用微积分基本定理直接求解即可.详解：即答案为4.点睛：本题考查微积分基本定理的应用，属基础题.14、【解析】

求出函数的定义域，并求出该函数的导数，并在定义域内解不等式，可得出函数的单调递增区间.【详解】函数的定义域为，且，令，得.因此，函数的单调递增区间为，故答案为：.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，在求出导数不等式后，得出的解集应与定义域取交集可得出函数相应的单调区间，考查计算能力，属于中等题.15、8【解析】由题意，直线l1：x+2y=a+2和直线l2：2x﹣y=2a﹣1，交于圆心（a，1），且互相垂直，∴四边形ABCD是正方形，∴四边形ABCD的面积为4×8，故答案为：8.16、5.【解析】.试题分析：约束条件的可行域如图△ABC所示.当目标函数过点A(1，1)时，z取最大值，最大值为1+4×1=5.【考点】线性规划及其最优解.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或【解析】

(1)先求出的值，再写出一个以为其中一根的实系数一元二次方程；(2)设，求出即得解.【详解】(1)所以，所以.所以.一个以为其中一根的实系数一元二次方程是.(2)设，所以所以，所以或.故纯虛数的平方根为或.【点睛】本题主要考查纯虚数的概念和复数的运算，考查复数的平方根的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18、(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)根据，利用递推公式，可以求出的值，可以猜想出数列的通项公式，然后按照数学归纳法的步骤证明即可；(Ⅱ)利用错位相减法，可以求出数列的前项和.【详解】解:(Ⅰ)当时，当时，当时，猜想，下面用数学归纳法证明当时，，猜想成立，假设当()时，猜想成立，即则当时，，猜想成立综上所述，对于任意，均成立(Ⅱ)由（Ⅰ）得①②由①－②得：【点睛】本题考查了用数学归纳法求数列的通项公式，考查了用借位相减法求数列的前项和，考查了数学运算能力.19、(1)见解析；(2)证明见解析【解析】

（1）讨论，和三种情况，分别计算得到答案.（2）根据题意知等价于，设，计算得到使，计算得到得到证明.【详解】（1）当时，，的单调递增区间是，单调递减区间是；时，，①时，由解得或；由解得，的单调递增区间是和，单调递减区间是②时，由解得；由解得或，的单调递增区间是，单调递减区间是和；综上所述：时，单调递增区间是，单调递减区间是；时，单调递增区间是和，单调递减区间是；时，单调递增区间是，单调递减区间是和；（2）由已知和（1）得，当时满足题意，此时，，令，则.令则恒成立，在上单调递增，使，即从而当时，单调递减，当时，单调递增，在上单调递减，，即，【点睛】本题考查了函数的单调性，利用导数证明不等式，将不等式等价于是解题的关键.20、（1）（2）【解析】

（1）设“第1次抽到红球”为事件A，“第2次抽到红球”事件B，则“第1次和2次都抽到红球”就是事件AB，利用条件概率计算公式能求出在第1次抽到红球的条件下，第2次又抽到红球的概率．（2）随机变量X可能取的值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列【详解】（1）设“第次抽到红球”为事件，“第次抽到红球”事件，则“第次和次都抽到红球”就是事件．