山东省临沂市某重点中学2023年数学高二第二学期期末调研试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．定义在上的函数的导函数在的图象如图所示，则函数在的极大值点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．对于椭圆，若点满足，则称该点在椭圆内，在平面直角坐标系中，若点A在过点的任意椭圆内或椭圆上，则满足条件的点A构成的图形为（）A．三角形及其内部 B．矩形及其内部 C．圆及其内部 D．椭圆及其内部3．函数的定义域（）A． B．C． D．4．已知函数在有极大值点，则的取值范围为（）A． B． C． D．5．已知随机变量，若，则的值为()A．0.1 B．0.3 C．0.6 D．0.46．已知数列an:12,122,222,32①210-1210是an的第2036项；②存在常数M，使得Sn<M恒成立；③其中正确的序号是（）A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④7．已知，若，则的值为（）A． B． C． D．8．下列集合中，表示空集的是（）A． B．C． D．9．已知命题；命题若，则．则下列命题为真命题的是A． B．C． D．10．设有个不同颜色的球，放入个不同的盒子中，要求每个盒子中至少有一个球，则不同的放法有（）A．种 B．种C．种 D．种11．设定点，动圆过点且与直线相切.则动圆圆心的轨迹方程为（）A． B． C． D．12．设正项等差数列an的前n项和为Sn，若S2019A．1 B．23 C．136二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．一个袋子中装有8个球，其中2个红球，6个黑球，若从袋中拿出两个球，记下颜色，则两个球中至少有一个是红球的概率是________（用数字表示）14．已知向量，，则与的夹角为________15．由海军、空军、陆军各3名士兵组成一个有不同编号的的小方阵，要求同一军种不在同一行，也不在同一列，有_____种排法16．从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有个红球,则为_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，，求的取值范围．18．（12分）某中学将444名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班54人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验．为了了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如下图）．记成绩不低于94分者为“成绩优秀”．根据频率分布直方图填写下面4×4列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过4．45的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．

甲班（A方式）

乙班（B方式）

总计

成绩优秀

成绩不优秀

总计

附：K4＝n(ad-bc)P（K4≥k）

4．45

4．45

4．44

4．45

4．445

k

4．444

4．474

4．746

4．844

5．444

19．（12分）设且，函数.（1）当时，求曲线在处切线的斜率；（2）求函数的极值点．20．（12分）已知函数，集合.（1）当时，解不等式；（2）若，且，求实数的取值范围；（3）当时，若函数的定义域为，求函数的值域.21．（12分）已知函数，（1）当，时，求函数在上的最小值；（2）若函数在与处的切线互相垂直，求的取值范围；（3）设，若函数有两个极值点，，且，求的取值范围．22．（10分）已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行.（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由导数与极大值之间的关系求解．【详解】函数在极大值点左增右减，即导数在极大值点左正右负，观察导函数图象，在上有两个有两个零点满足．故选：B.【点睛】本题考查导数与极值的关系．属于基础题．2、B【解析】

由在椭圆上，根据椭圆的对称性，则关于坐标轴和原点的对称点都在椭圆上，即可得结论．【详解】设在过的任意椭圆内或椭圆上，则，，即，由椭圆对称性知，都在任意椭圆上，∴满足条件的点在矩形上及其内部，故选：B．【点睛】本题考查点到椭圆的位置关系．考查椭圆的对称性．由点在椭圆上，则也在椭圆上，这样过点的所有椭圆的公共部分就是矩形及其内部．3、A【解析】

解不等式即得函数的定义域.【详解】由题得所以函数的定义域为.故选A【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法，考查对数函数和幂函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4、C【解析】分析：令，得，，整理得，问题转化为求函数在山过的值域问题，令，则即可.详解：令，得，，整理得，令，则，则令，则在单调递减，∴，∴，经检验，满足题意．故选C．点睛：本题主要考查导数的综合应用极值和导数的关系，要求熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、把问题等价转化等是解题的关键．综合性较强，难度较大．5、D【解析】

根据题意随机变量可知其正态分布曲线的对称轴，再根据正态分布曲线的对称性求解，即可得出答案．【详解】根据正态分布可知，故．故答案选D．【点睛】本题主要考查了根据正态分布曲线的性质求指定区间的概率．6、B【解析】

找出数列an的规律：分母为2k的项有2k-1项，并将这些项排成杨辉三角形式的数阵，使得第k有2k-1项，每项的分母均为2k，并计算出每行各项之和b【详解】由题意可知，数列an的规律为：分母为2k的项有2k-1项，将数列an中的项排成杨辉三角数阵，且使得第k12对于命题①，210-1210位于数阵第21对于命题②，数阵中第k行各项之和为bk，则b且数列bk的前kTk当k→+∞时，Tk→+∞，因此，不存在正数M，使得对于命题③，易知第9行最后一项位于数列an21第10行最后一项位于数列an的项数为2036，且1013<2019<2036则a2019位于数阵第10行第1006项（即2019-1013=1006所以，S=1023由①知，S2036=T则恰好满足Sn>1019的项an位于第11则有T10+1由于64×63=4032，64×65=4160，则63×64<4096<64×65，∴m=64，因此，满足Sn>1019的最小正整数故选：B.【点睛】本题考查归纳推理，考查与数列相关的知识，关键要找出数列的规律，在解题时可以将规律转化为杨辉三角来处理，在做题过程中找出项与数阵中相对应的位置，综合性较强，属于难题。7、B【解析】

分析：由定积分的几何意义求得定积分，在二项展开式中令可求解．详解：由积分的几何意义知，在中，，令，则，∴．故选B．点睛：本题考查定积分的几何意义，考查二项式定理的应用．在二项展开式中求与系数和有关的问题通常用赋值法．根据所求和式的结构对变量赋予不同的值可得对应的恒等式．如本题赋值，如果只求系数和，则赋值等等．8、C【解析】

没有元素的集合是空集，逐一分析选项，得到答案.【详解】A.不是空集，集合里有一个元素，数字0，故不正确；B.集合由满足条件的上的点组成，不是空集，故不正确；C.，解得：或，都不是自然数，所以集合里没有元素，是空集，故正确；D.满足不等式的解为，所以集合表示，故不正确.故选：C【点睛】本题考查空集的判断，关键是理解空集的概念，意在考查分析问题和解决问题的能力.9、B【解析】试题分析：显然命题是真命题；命题若，则是假命题，所以是真命题，故为真命题.考点：命题的真假.10、D【解析】

要求每个盒子中至少有一个球，可将两个颜色的球捆绑在一起．再全排列．【详解】将两个颜色的球捆绑在一起，再全排列得选D【点睛】将两个颜色的球捆绑在一起．再全排列．本题为选择题还可取特值：令n=1,只有一种放法，排除AB，令n=2有6中放法，选D11、A【解析】

由题意，动圆圆心的轨迹是以为焦点的抛物线，求得，即可得到答案．【详解】由题意知，动圆圆心到定点与到定直线的距离相等，所以动圆圆心的轨迹是以为焦点的抛物线，则方程为故选A【点睛】本题考查抛物线的定义，属于简单题．12、D【解析】

先利用等差数列的求和公式得出S2019=2019a1+a20192=6057【详解】由等差数列的前n项和公式可得S2019=2019由等差数列的基本性质可得a2∴61所以，1a2+4a因此，1a2+4【点睛】本题考查的等差数列求和公式以及等差数列下标性质的应用，考查利用基本不等式求最值，解题时要充分利用定值条件，并对所求代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据题意，袋中有２个红球和６个黑球，由组合数公式可得从中取出2个的情况数目，若两个球中至少有一个是红球，即一红一黑，或者两红，由分步计数原理可得其情况数目，由等可能事件的概率，计算可得答案.【详解】解：根据题意，袋中有２个红球和６个黑球，共８个球，

从中取出2个，有种情况，

两个球中至少有一个是红球，即一红一黑，或者两红的情况有种，

则两个球中至少有一个是红球的概率为，

故答案为：.【点睛】本题考查等可能事件的概率的计算，是简单题，关键在于正确应用排列、组合公式.14、【解析】

利用空间向量的坐标运算求解即可.【详解】解：由已知，，，，则与的夹角为.故答案为：.【点睛】本题考查空间向量夹角的求解，是基础题.15、2592【解析】

假设海军为a，空军为b，陆军为c，先将a，b，c，填入的小方阵，有12种填入方法，再每个a，b，c填入3名士兵均有种，根据分步计数原理可得．【详解】解：假设海军为a，空军为b，陆军为c，先将a，b，c，填入的小方阵，则有种，每个a，b，c填入3名士兵均有种，故共有，故答案为：2592【点睛】本题考查了分步计数原理，考查了转化能力，属于难题．16、【解析】分析：由题意，从装有个红球和个白球的袋中随机取出个球的取法，再求得当个球都是红球的取法，利用古典概型的概率计算公式，即可得到答案.详解：由题意，从装有个红球和个白球的袋中随机取出个球，共有种方法，其中当个球都是红球的取法有种方法，所以概率为.点睛：本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，其中概率排列、组合的知识得到基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）详见解析（2）或【解析】

（1）将函数求导并化简，对分成两种情况，讨论函数的单调性.（2）原不等式即（），当时，上述不等式显然成立.当时，将不等式变为，构造函数，利用导数研究函数的单调性，由此求得的取值范围.【详解】解：（1）．①若，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．②若，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．∴当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）（），当时，上不等式成立，满足题设条件；当时，，等价于，设，则，设（），则，∴在上单调递减，得．①当，即时，得，，∴在上单调递减，得，满足题设条件；②当，即时，，而，∴，，又单调递减，∴当，，得，∴在上单调递增，得，不满足题设条件；综上所述，或．【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数参数的函数单调性问题，考查利用导数求解含有参数不等式恒成立问题.对函数求导后，由于导函数含有参数，故需要对参数进行分类讨论，分类讨论标准的制定，往往要根据导函数的情况来作出选择，目标是分类后可以画出导函数图像，进而得出导数取得正、负的区间，从而得到函数的单调区间.18、列联表见解析，在犯错误的概率不超过的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．【解析】试题分析：根据频率分布直方图中每个矩形的面积即为概率及概率等于频数比样本容量，求出“成绩优秀”和“成绩不优秀”的人数然后即可填表，再利用附的公式求出的值再与表中的值比较即可得出结论．试题解析：由频率分布直方图可得，甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为77,78，乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为7,6．

甲班（A方式）

乙班（B方式）

总计

成绩优秀

77

7

6

成绩不优秀

78

6

87

总计

57

57

777

根据列联表中数据，K7的观测值k＝100×(12×46-4×38)由于7．767＞7．877，所以在犯错误的概率不超过7．75的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．考点：独立性检验；频率分布直方图．19、(1).(2)见解析.【解析】试题分析：（1）由已知中函数，根据a=2，我们易求出f（3）及f′（3）的值，代入即可得到切线的斜率k=f′（3）．（2）由已知我们易求出函数的导函数，令导函数值为0，我们则求出导函数的零点，根据m＞0，我们可将函数的定义域分成若干个区间，分别在每个区间上讨论导函数的符号，即可得到函数函数f（x）的极值点．试题解析：(1)由已知得x>0.当a＝2时，f′(x)＝x－3＋，f′(3)＝，所以曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率为.(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋＝＝.由f′(x)＝0，得x＝1或x＝a.①当0<a<1时，当x∈(0，a)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(a,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．此时x＝a时f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点．②当a>1时，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(1，a)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．此时x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．综上，当0<a<1时，x＝a是f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点；当a>1时，x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于中档题.求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.20、（1）；（2）；（3）当时，的值域为；当时，的值域为；当时，的值域为．【解析】分析：（1）先根据一元二次方程解得ex＞3，再解对数不等式得解集，（2）解一元二次不等式得集合A,再根据，得log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，利用变量分离法得a≥3ex－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3ex－e2x]min.最后根据二次函数性质求最值得结果,（3）先转化为对勾函数，再根据拐点与定义区间位置关系，分类讨论，结合单调性确定函数值域.详解：（1）当a＝－3时，由f(x)＞1得ex－3e-x－1＞1，所以e2x－2ex－3＞0，即(ex－3)(ex＋1)＞0，所以ex＞3，故x＞ln3，所以不等式的解集为(ln3，+∞).（2）由x2－x≤0，得0≤x≤1，所以A＝{x|0≤x≤1}.因为A∩B≠，所以log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，即f(x)≥2在0≤x≤1上有解，即ex＋ae-x－3≥0在0≤x≤1上有解，所以a≥3ex－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3ex－e2x]min.由0≤x≤1得1≤ex≤e，所以3ex－e2x＝－(ex－)2＋∈[3e－e2，]，所以a≥3e－e2.（3）设t＝ex，由（2）知1≤t≤e，记g(t)＝t＋－1(1≤t≤e，a＞1)，则，t(1，)(，＋∞)g′(t)－0＋g(t)↘极小值↗①当≥e时，即a≥e2时，g(t)在1≤t≤e上递减，所以g(e)≤g(t)≤g(1)，即．所以f(x)的值域为.②当1＜＜e时，即1＜a＜e2时，g(t)min=g()＝2－1，g(t)max=max{g(1)，g(e)}=max{a，}．1°若a，即e＜a＜e2时，g(t)max=g(1)=a；所以f(x)的值域为；2°若a，即1＜a≤e时，g(t)max=g(e)=，所以f(x)的值域为．综上所述，当1＜a≤e时，f(x)的值域为；当e＜a＜e2时，f(x)的值域为；当a