曲靖第一中学2023年高二数学第二学期期末经典模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．2019年6月7日，是我国的传统节日“端午节”。这天，小明的妈妈煮了7个粽子，其中3个腊肉馅，4个豆沙馅。小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为（）A． B． C． D．2．定义在上的函数满足，且当时，，对，，使得，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．3．已知数列的前项和为，，则“”是“数列是等比数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若，满足约束条件，则的最大值是（）A． B． C．13 D．5．在复平面内与复数所对应的点关于虚轴对称的点为，则对应的复数为（）A． B． C． D．6．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝（）A． B．C． D．27．设，，，则()A． B． C． D．8．(2x-3y)9A．-1 B．512 C．-512 D．19．如图，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论错误的是A．平面平面B．的取值范围是（0，]C．的体积为定值D．10．已知随机变量服从正态分布，若，则（）A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.8411．已知函数，则不等式的解集是（）A． B． C． D．12．已知函数，若关于的方程有两个相异实根，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数（），若对，都有恒成立，记的最小值为，则的最大值为______.14．若ξ～N，且P（2＜ξ＜4）＝0.4，则P（ξ＜0）＝_____．15．已知是第四象限角，，则_______；16．设，，，则的最小值为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,侧面是等腰直角三角形,且,侧面⊥底面.(1)若分别为棱的中点,求证:∥平面；(2)棱上是否存在一点,使二面角成角，若存在,求出的长；若不存在,请说明理由.18．（12分）某玻璃工厂生产一种玻璃保护膜，为了调查一批产品的质量情况，随机抽取了10件样品检测质量指标（单位：分）如下：38，43，48，49，50，53，57，60，69，70.经计算得，,生产合同中规定：质量指标在62分以上的产品为优质品，一批产品中优质品率不得低于15%.（Ⅰ）以这10件样品中优质品的频率估计这批产品的优质品率，从这批产品中任意抽取3件，求有2件为优质品的概率；（Ⅱ）根据生产经验，可以认为这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，利用该正态分布，是否有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求？附：若，则，19．（12分）已知数列满足（且），且，设，，数列满足.（1）求证：是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）求数列的前项和.20．（12分）已知函数(为自然对数的底数).(1)若,求函数的单调区间；(2)在(1)的条件下，求函数在区间上的最大值和最小值.21．（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数，，（Ⅰ）当时，解不等式：；（Ⅱ）若，且当时，，求的取值范围．22．（10分）已知二次函数的图像经过点，且满足，(1)求的解析式；(2)已知，求函数在的最大值和最小值；函数的图像上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

设事件为“取出两个粽子为同一种馅”，事件为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，计算（A）、的值，从而求得的值．【详解】由题意，设事件为“取出两个粽子为同一种馅”，事件为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，则（A），，．故选：B．【点睛】本题主要考查古典概型和条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.2、D【解析】由题知问题等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集．当时，，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时，由，可得，当时，．则在的值域为．当时，，则有，解得，当时，，不符合题意；当时，，则有，解得．综上所述，可得的取值范围为．故本题答案选．点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该不重复不遗漏．3、C【解析】

先令，求出，再由时，根据，求出，结合充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】解：当时，，当时，时，，，数列是等比数列；当数列是等比数列时，，，，所以，是充分必要条件。故选C【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，熟记概念，以及数列的递推公式即可求解，属于常考题型.4、C【解析】

由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．【详解】解：表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由解得即点到坐标原点的距离最大，即．故选：．【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题．5、D【解析】

根据复数的运算法则求出，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数.【详解】由题，在复平面对应的点为（1,1），关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为.故选：D【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.6、C【解析】

先求出的表达式，然后对其化简，求出复数的模即可.【详解】由题意，，所以.故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数的模的计算，属于基础题.7、C【解析】

分别求出，，的范围，从而得到答案．【详解】根据指数函数图像可得，，；由于，则，则；所以；故答案选C【点睛】本题考查指数、对数值的大小比较，解题的关键利用指数对数的运算法则求出值的范围，属于中档题．8、B【解析】

(a+b)n展开式中所有项的二项系数和为【详解】(a+b)n展开式中所有项的二项系数和为2(2x-3y)9的展开式中各项的二项式系数之和为2故答案选B【点睛】本题考查了二项系数和，属于基础题型.9、B【解析】

根据线面位置关系进行判断．【详解】∵平面，∴平面平面，A正确；若是上靠近的一个四等分点，可证此时为钝角，B错；由于，则平面，因此的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，C正确；在平面上的射影是直线，而，因此，D正确．故选B．【点睛】本题考查空间线面间的位置关系，考查面面垂直、线面平行的判定，考查三垂线定理等，所用知识较多，属于中档题．10、A【解析】

利用正态分布曲线关于对称进行求解.【详解】，正态分布曲线关于对称，，，.【点睛】本题考查正态分布，考查对立事件及概率的基本运算，属于基础题.11、C【解析】

先判断出函数为奇函数且在定义域内单调递增，然后把不等式变形为，再利用单调性求解即可．【详解】由题意得，函数的定义域为R．∵，∴函数为奇函数．又根据复合函数的单调性可得，函数在定义域上单调递增．由得，∴，解得，∴不等式的解集为．故选C．【点睛】解答本题的关键是挖掘题意、由条件得到函数的奇偶性和单调性，最后根据函数的单调性求解，这是解答抽象不等式（即不知表达式的不等式）问题的常用方法，考查理解和应用能力，具有一定的难度和灵活性．12、B【解析】分析：将方程恰有两个不同的实根，转化为方程恰有两个不同的实根，在转化为一个函数的图象与一条折线的位置关系，即可得到答案.详解：方程恰有两个不同的实根，转化为方程恰有两个不同的实根，令，，其中表示过斜率为1或的平行折线，结合图象，可知其中折线与曲线恰有一个公共点时，，若关于的方程恰有两个不同的实根，则实数的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查了方程根的存在性及根的个数的判断问题，其中把方程的实根的个数转化为两个函数的图象的交点的个数，作出函数的图象是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及分析问题和解答问题的能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

运用转化思想将题目转化为，求出的表达式，运用导数求出结果【详解】由题意可得，恒成立，解得，即为满足题意，当直线与曲线相切时成立不妨设切点，切线方程为，，令，，当时，，是增函数当时，，是减函数则故答案为【点睛】本题考查了函数综合，化归转化思想，消元思想，根据题意将其转化为问题，由相切求出，将二元问题转化为一元问题，然后利用导数求出最值，有一定难度，需要仔细缜密审题，理清题意14、0.1．【解析】

由正态分布曲线的对称性，可得，进而得到所以，即可求解.【详解】由题意，随机变量，且，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以.【点睛】本题主要考查了正态分布的应用，其中解答中熟记正态分布曲线的对称性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15、【解析】

：由同角三角关系求解【详解】：，设，由同角三角关系可得。【点睛】：三角正余弦值的定义为，。16、.【解析】

把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．【详解】由，得，得，等号当且仅当，即时成立．故所求的最小值为．【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)【解析】

分析：（1）取中点,连结,由三角形中位线定理可得,可证明四边形为平行四边形,可得,由线面平行的判定定理可得结论；（2）取中点,连结、,先证明、、两两垂直.以为原点,分别以、、正方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，设，利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面的法向量，平面的法向量为，由空间向量夹角余弦公式列方程可得结果.详解：(1)取中点,连结,∵分别为、中点，∴//,,又点为中点,∴且,∴四边形为平行四边形,∴∥,又平面,平面,∴∥平面.(2)取中点,连结、,∵是以为直角的等腰直角三角形,又为的中点,∴,又平面⊥平面,由面面垂直的性质定理得⊥平面,又平面,∴⊥,由已知易得:、、两两垂直.以为原点,分别以、、正方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系如图示,则,设,则:,.设平面ABF的法向量为,则,∴,令,则,∴.又平面的法向量为,由二面角成角得:,∴,解得:,或不合题意,舍去.∴,当棱上的点满足时,二面角成角.点睛：利用法向量求解空间角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18、（I）（II）有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求，详见解析【解析】

（Ⅰ）10件样品中优质品的频率为，记任取3件，优质品数为，则，计算得到答案.（Ⅱ）记这种产品的质量指标为，由题意知,得到答案.【详解】（I）10件样品中优质品的频率为，记任取3件，优质品数为，则，（II）记这种产品的质量指标为，由题意知则∵∴有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求.【点睛】本题考查了二项分布，正态分布，意在考查学生的应用能力和计算能力.19、（1）证明见解析，；（2）.【解析】

（1）根据，构造，即可证明是等比数列，进而可求出通项公式；（2）根据（1）的结果，求出，得到，再由错位相减法，即可得出结果.【详解】（1），，，是等比数列，其中首项是，公比为.，即.（2）（），，由（1）知，，，，（），，两式相减得，.【点睛】本题主要考查由递推关系证明等比数列，求数列通项公式，以及数列的求和，熟记等比数列的定义，等比数列的通项公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于常考题型.20、(1)单调递增区间为，；单调递减区间为；(2)见解析．【解析】

（1）将代入函数中，求出导函数大于零求出递增区间，导函数小于零求出递减区间；（2）分为和和三种情况分别判断在上的单调性，然后求出最大值和最小值．【详解】（1）若，则，求导得．因为，令，即，解得或令，即，解得∴函数在和上递增，在上递减．即函数的单调递增区间为，；单调递减区间为（2）①当时，∵在上递减，∴在区间上的最大值为，在区间上的最小值为．②当时，∵在上递减，在上递增，且，∴在上的最大值为，在区间上的最小值为．③当时，∵在上递减，在上递增，且，∴在上的最大值为，在区间上的最小值为．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．21、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（I）当=-2时，不等式＜化为，设函数=，=，其图像如图