空间点直线和平面的投影分析

空间点直线和平面的投影分析第1页，共89页，2023年，2月20日，星期二教学提示：空间点、直线和平面是组成一个三维立体的最基本的三个几何要素。本章将重点介绍点、直线和平面在三投影面体系中的投影及其投影特性，两两几何要素之间的相对位置关系及其投影特性；本章还将阐述常用的几种空间几何问题的图解方法及其应用，如用直角三角形法求一般位置直线的实长和对投影面的倾角、一边平行于投影面的直角的投影原理，等等。主要是学习如何将点、直线和平面等空间几何要素用投影表达，并反过来又如何用其投影来分析和解决空间几何问题。

教学要求：本章是工程制图最为基础的部分，学生必须熟练掌握各种位置点、直线和平面的投影及特性，进一步建立投影法的基本概念和思维方法。在此基础上，学会应用点、直线和平面的相对位置关系的投影特性，与直角三角形法、直角投影定理配合解决简单的空间几何问题，为立体的投影分析和表达打下基础。第2页，共89页，2023年，2月20日，星期二●3.1空间点的投影分析●3.2空间直线的投影分析

●3.3空间平面的投影分析本章内容第3页，共89页，2023年，2月20日，星期二3.1空间点的投影分析

由初等几何可知，空间两点可确定一条直线，空间不在一条直线上的三个点可确定一个平面。因此，要研究空间基本几何要素及其投影关系，首先要建立空间点的投影概念。第4页，共89页，2023年，2月20日，星期二3.1.1点的三面投影及其投影特征点的投影仍为一个点，且空间点在一个投影面上只有唯一的投影。但当已知点在一个投影面上的一个投影时，都不能确定点在空间的唯一位置。将点A放在三投影面体系中分别向三个投影面V面、H面、W面作正投影，得到点A的水平投影a、正面投影、侧面投影。(关于空间点及其投影的标记规定为：空间点用大写字母A、B、C…表示，水平投影相应用小写字母a、b、c…表示，正面投影相应用小写字母、、…表示，侧面投影相应用小写字母、、…表示。)将投影面体系展开，去掉投影面的边框，保留投影轴，便得到点A的三面投影图，如图3.1所示。3.1空间点的投影分析第5页，共89页，2023年，2月20日，星期二由此可以得出点在三投影面体系的投影特性是：

(1)点A的V面投影和H面投影的连线垂直于OX轴，即a′a⊥OX(长对正)。

(2)点A的V面投影和W面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ(高平齐)。

(3)点A的H面投影到OX轴的距离等于点A的W面投影到OZ轴的距离，即aax=a″az(宽相等)，作图时可以用圆弧或45°线来反映该关系。

在三面体系中引入笛卡儿坐标体系，以H、V、W三个投影面为坐标面，以三根投影轴OX、OY、OZ为坐标轴，点O为坐标原点。于是空间点A便可用三个坐标值，即点分别到W、V、H三个投影面的距离x、y、z来确定，由此：

点到W面的距离Aa″=a′az=aay=oax=x；

点到V面的距离Aa′=aax=a″az=oay=y；

点到H面的距离Aa=a′ax=a″ay=oaz=z。

3.1空间点的投影分析第6页，共89页，2023年，2月20日，星期二水平投影由X与Y坐标确定(Z=0)；正面投影由X与Z坐标确定(Y=0)；侧面投影由Y与Z坐标确定(X=0)。点的任何两个投影可反映点的三个坐标，即确定该点的空间位置。空间点在三面投影体系中有唯一确定的一组投影。(a)(b)(c)图3.1点的投影及其投影规律

3.1空间点的投影分析第7页，共89页，2023年，2月20日，星期二设空间点A、B、D分别位于V、H面和OX轴上，如图3.2(a)所示，则它们的三面投影如图3.2(b)所示。由此可知，投影面和投影轴上的点的坐标和投影有如下特性：(1)投影面上的点有一个坐标值为0；在该投影面上投影与该点重合，在相邻投影面上的投影分别在相应的投影轴上。(2)投影轴上的点有两个坐标值为0；在包含这条轴的两个投影面上的投影都与该点重合，在另一投影面上的投影则与原点O重合。3.1.2投影面上的点与投影轴上的点3.1空间点的投影分析第8页，共89页，2023年，2月20日，星期二(a)(b)图3.2投影面上的点与投影轴上的点3.1空间点的投影分析第9页，共89页，2023年，2月20日，星期二3.1.3两点的相对位置及重影点的投影分析

1.空间两点相对位置的投影分析在投影图上判断空间两个点的相对位置，就是分析两点之间上、下、左、右、前、后的关系，如图3.3(a)所示。由正面投影或侧面投影可判断两点间的上、下关系(Z坐标差)；由正面投影或水平投影可判断两点间的左、右关系(X坐标差)；由水平投影或侧面投影可判断两点间的前、后关系(Y坐标差)，如图3.3(b)所示。3.1空间点的投影分析第10页，共89页，2023年，2月20日，星期二(a)(b)图3.3两点的相对位置3.1空间点的投影分析第11页，共89页，2023年，2月20日，星期二

2.重影点的投影分析当空间两点位于对某一投影面的同一条投射线上时，则此两点在该投影面上的投影重合为一点，此两点称为对该投影面的重影点。为区分重影点的可见性，规定观察方向与投影面的投射方向一致，即对V面由前向后，对H面由上向下，对W面由左向右。因此，距观察者近之点的投影为可见，反之为不可见。从空间几何关系分析，重影点在空间直角坐标系中有两对坐标值分别相等，其可见性则由它们的另一对不等的坐标值来确定，坐标值大者为可见，值小者为不可见。画投影图时应在不可见点的投影标记两侧注写括号，如图3.4所示。3.1空间点的投影分析第12页，共89页，2023年，2月20日，星期二

(a)(b)

图3.4重影点投影分析

3.1空间点的投影分析第13页，共89页，2023年，2月20日，星期二3.2空间直线的投影分析由几何学知识可知，空间两点可确定一直线。因此要用投影来表达空间直线，只需作出直线上任意两点的投影，再连接该两点在同一投影面上的投影即可。第14页，共89页，2023年，2月20日，星期二3.2.1直线的表示法如已知两点A(xA，yA，zA)和B(xB，yB，zB)的空间位置，可首先绘出该两点的三面投影，如图3.5(a)所示，然后将两点的同面投影相连，即可得直线的三面投影，如图3.5(b)所示。由此也可得出结论：在一般情况下，直线的投影仍是直线(不变性)。而当直线上两点为某一投影面上的重影点时，直线即垂直于该投影面，直线在该投影面上会积聚为一点(积聚性)。3.2空间直线的投影分析第15页，共89页，2023年，2月20日，星期二(a)(b)

图3.5直线的投影

3.2空间直线的投影分析第16页，共89页，2023年，2月20日，星期二直线与投影面的相对位置有3种：投影面平行线、投影面垂直线和一般位置直线。前两种直线又统称为特殊位置直线。直线和它在投影平面上的正投影之间所成的锐角称为此直线对该平面的倾角。本书约定：直线与H、V、W三投影面所成的角分别用，，表示，如图3.6(a)所示。当直线平行于投影面时，倾角为0°；垂直于投影面时为90°；倾斜于投影面时，则倾角在0°和90°之间。1.一般位置直线一般位置直线对投影面V、H、W均为倾斜，两端点的坐标差都不等于零。如图3.6(a)所示的直线AB，由此可得一般位置直线的投影特性。3.2.2直线相对于投影面的位置及其投影特性3.2空间直线的投影分析第17页，共89页，2023年，2月20日，星期二

1)一般位置直线的三个投影与其实际长度的关系为：ab=ABcos；a′b′=ABcos；a″b″=ABcos由于，，均不为0，故一般位置直线的3个投影之长均小于其实际长度。(2)三面投影均倾斜于投影轴，且它们与投影轴的夹角不反映该直线与投影面的倾角。(a)(b)图3.6一般位置直线

3.2空间直线的投影分析第18页，共89页，2023年，2月20日，星期二

2.投影面平行线在三面体系中，平行于一个投影面且与其他两投影面倾斜的直线称为投影面平行线。根据该直线平行于哪一个投影面又分为3种：正平线：直线平行于V面(=0)，对H、W面倾斜。水平线：直线平行于H面(=0)，对V、W面倾斜。侧平线：直线平行于W面(=0)，对H、V面倾斜。投影面平行线的三线投影及投影特性如表3-1所示。且由表3-1可得出投影平行线的投影特性为：投影面平行线在所平行的平面上为一条倾斜于轴线的直线并反映实长，与相应投影轴的夹角反映直线对另外两个投影面的倾角的真实大小；直线的另外两个投影面的投影平行线平行于该投影面，并倾斜于相应的投影轴。3.2空间直线的投影分析第19页，共89页，2023年，2月20日，星期二表3-1投影面平行线的投影及其投影特性

3.2空间直线的投影分析第20页，共89页，2023年，2月20日，星期二

3.投影面垂直线在三面体系中，垂直于一个投影面且必平行于另两个投影面的直线称为投影面垂直线。根据该直线垂直于不同的投影面又分为3种：正垂线：直线垂直于V面，=90°，==0。铅垂线：直线垂直于H面，=90°，==0。侧垂线：直线垂直于W面，=90°，==0。3.2空间直线的投影分析第21页，共89页，2023年，2月20日，星期二投影面平行面的三面投影及投影特性见表3-2。且由表3-2可得出投影垂直线的投影特性为：投影面垂直线在所垂直的平面上积聚为一点，直线的另外两个投影分别为垂直于相应的投影轴并反映实长；直线对投影面的倾角均为已知，即为0°或90°

3.2空间直线的投影分析第22页，共89页，2023年，2月20日，星期二3.2空间直线的投影分析表3-2投影面垂直线的投影及其投影特性

第23页，共89页，2023年，2月20日，星期二由此，我们可得出这样的结论：从特殊位置直线的三个投影，可直接获得直线的实长和对投影面的倾角的真实大小，而对于一般位置直线，则要通过一定的图解方法来求解其实长和倾角。3.2空间直线的投影分析第24页，共89页，2023年，2月20日，星期二特殊位置直线在三面投影图中可直接显示实长及对投影面的倾角，有着良好的投影特性。而一般位置直线的3个投影均不能直接反映直线的实长和对投影面的倾角，必须通过一定的图解方法来求解。首先，分析如图3.7所示的空间直线AB与其投影之间的几何关系：在投射线组成的平面ABba内，过点A作AK//ab，交Bb于点K，得RtΔABK。其中：直角边AK=ab(水平投影的长度)，BK=Bb―Kb=ZB―ZA=ΔZ(A、B两点间的Z坐标差)，斜边AB即为实长，而AB与AK的夹角(即斜边与水平投影的夹角)为该直线对H面的倾角α。显然，在这个直角三角形的三条边和一个夹角中3.2.3直角三角形法求解一般位置直线的实长和对投影面的倾角3.2空间直线的投影分析第25页，共89页，2023年，2月20日，星期二只要知道其中两个要素，就可画出该直角三角形，其他两个要素也就随即获得。如图3.7(b)所示，线段AB的水平投影ab和两端点的Z坐标差均为已知，故可画出此直角三角形，问题便获解决。这种方法称为直角三角形法。直角三角形法中所用的直角三角形是从上述空间几何分析中推理而抽象出来的，图解时可直接作在投影图中，也可作在投影图形之外，如图3.7(c)所示。在如图3.7(b)所示的作图过程中，就分别用了两个位置来画直角三角形：一是画在水平投影中，直接利用水平投影ab为一直角边，而另一直角边Ab为坐标差ΔZ；二是画在正面投影中，利用反映Z坐标差的正面投影b′a1′为一直角边，而另一直角边a1′B就等于其水平投影ab。注意两种作法都有同一结果，即斜边为实长，斜边与水平投影的夹角为直线对水平投影面的倾角。3.2空间直线的投影分析第26页，共89页，2023年，2月20日，星期二图3.7求线段的实长及对投影面的倾角(a)(b)(c)3.2空间直线的投影分析第27页，共89页，2023年，2月20日，星期二同理，利用线段的正面投影a′b′或侧面投影a″b″，可与线段AB的实长及和角分别组成另外两个直角三角形，如图3.8所示。这3个直角三角形的组成情况如下：(1)两直角边分别为直线的水平投影和Z坐标差，斜边为实长，水平投影和实长的夹角为，如图3.8(a)所示。(2)两直角边分别为直线的正面投影和Y坐标差，斜边为实长，正面投影和实长的夹角为，如图3.8(b)所示。(3)两直角边分别为直线的侧面投影和X坐标差，斜边为实长，侧面投影和实长夹角为，如图3.8(c)所示。用直角三角形法解题时要注意以下几点：3.2空间直线的投影分析第28页，共89页，2023年，2月20日，星期二

(1)对照图3.8所示的3个直角三角形可知，对于同一段直线，用其中任意一个直角三角形，都可求得该直线的实长。但对投影面的倾角的问题，则要用不同的直角三角形来求解。如一定是实长与水平投影的夹角，一定是实长与正面投影的夹角，而一定则是实长与侧面投影的夹角。(2)获得直角三角形的投影体系一般是两投影面体系，不同的投影体系所对应的直角三角形也不同。求解的直角三角形从V/H体系中获得，求解的直角三角形从V/H或V/W体系中获得，求解的直角三角形从V/W体系中获得。(3)从图中得知，每个直角三角形含有4个要素，若知其中任意两个，则此直角三角形便完全确定，由此可求出另2个要素。凡遇到此4要素的问题均可用此法来求解。3.2空间直线的投影分析第29页，共89页，2023年，2月20日，星期二(a)(b)(c)图3.8直角三角形法中的边和角与投影的关系3.2空间直线的投影分析第30页，共89页，2023年，2月20日，星期二

【例3.1】已知线段AB的实长为60mm，求出AB的水平投影ab，如图3.9(a)所示。分析：要求解直线的水平投影ab，则应利用含有水平投影的那个直角三角形来作图。而在该直角三角形的3条边和一个角中，已知AB的Z坐标差(从正面投影而知)和实长两个要素，因此AB的水平投影ab由此可求(可得两解)。作图步骤：(1)过b′作a′a的垂线b′B0，以a′为圆心60mm为半径画弧与b′B0交于B0，则得出水平投影ab的长度，如图3.9(b)所示。3.2空间直线的投影分析第31页，共89页，2023年，2月20日，星期二(a)(b)图3.9作AB的水平投影

3.2空间直线的投影分析第32页，共89页，2023年，2月20日，星期二

(2)过b′作投影连线b′b垂直于OX轴。(3)以a为圆心、ab为半径画弧交b′b于b。(4)连ab即为所求(两解)。3.2空间直线的投影分析第33页，共89页，2023年，2月20日，星期二空间点与直线的相对位置有两种情况：点在直线上、点不在直线上。根据平行投影法中从属性和等比性的基本性质可知：点在直线上，其投影必在该直线的同面投影上；且点分线段之比，其投影后保持不变。如图3.10所示，已知点C在AB上，则点C的3个投影必在AB相应的同面投影上，且有：AC∶CB=ac∶cb=a′c′∶c′b′

=a″c″∶c″b″。而如图3.10(b)所示点D的水平投影虽然在直线AB的水平投影上，但其正面投影和侧面投影都不在直线AB的同面投影上，故点D不在直线AB上，如图3.10(a)所示。3.2.4点与直线的相对位置3.2空间直线的投影分析第34页，共89页，2023年，2月20日，星期二(a)(b)图3.10点与直线的相对位置

3.2空间直线的投影分析第35页，共89页，2023年，2月20日，星期二根据上述性质即可判别点是否在直线上以及解决在直线上取点的作图问题。要从投影上判断点是否在直线上，对于一般位置直线而言，只需从其中两组投影就可加以判断。如在图3.10中，点C的两个投影在AB的同面投影上，点D只有一个投影在直线AB的同面投影上。因此点C在直线AB上，点D不在直线AB上。而对于特殊位置直线而言，则必须从其三组投影或利用点分线段之等比性来进行判断。如图3.11(a)所示，因为所给直线AB及点D位于平行于侧面的同一平面内，不管点D是否在AB上，都有d∈ab，d′∈a′b′的关系。为此，必须根据第3投影或利用点分线段之等比性质来判别。图3.11(b)、图3.11(c)列出了这两种判别方法。由作图可知，点D不在AB上。3.2空间直线的投影分析第36页，共89页，2023年，2月20日，星期二(a)(b)(c)图3.11点与直线相对位置的判别

3.2空间直线的投影分析第37页，共89页，2023年，2月20日，星期二空间两直线的相对位置有3种情况，即平行、相交和交叉(即异面直线)1.平行两直线空间两直线平行，则其3组同面投影必平行。反之，若有两直线的三组同面投影都平行，则该两直线在空间相互平行。如图3.12所示，已知空间两直线AB∥EF。过AB、EF上的各点向投影面作投射线，所形成的两个平行平面与投影面的交线也相互平行。即ab∥ef，a′b′∥e′f′，a″b″∥e″f″。其投影图如图3.12(b)所示。从而不难得出AB/EF=ab/ef=a′b′

/e′f′

=a″b″/e″f″。由此可得其同面投影必平行，且两平行线段长度之比等于其投影长度之比。3.2.5两直线的相对位置3.2空间直线的投影分析第38页，共89页，2023年，2月20日，星期二(a)(b)图3.12平行两直线3.2空间直线的投影分析第39页，共89页，2023年，2月20日，星期二表2-6(要判别两条一般位置直线是否平行，只需看它们的任意两面投影即可。但对于特殊位置直线而言，则必须同时检查它们的3组同面投影。

如图3.13所示的两直线AB和CD均为侧平线，虽然它们的H、V面投影：ab∥cd，a′b′∥c′d′，但a′b′∶c′d′ab∶cd，其侧面投影a″b″不平行于c″d″，故直线AB不平行于CD。3.2空间直线的投影分析第40页，共89页，2023年，2月20日，星期二图3.13两直线是否平行的判断3.2空间直线的投影分析第41页，共89页，2023年，2月20日，星期二

2.相交两直线空间两直线相交，其各组同面投影必相交，且交点的投影符合点的投影规律。反之亦然。如图3.14(a)所示，空间两直线AB与CD相交于点K，则交点K为两条直线所共有，根据从属性不变的性质，两直线的同面投影必定相交，且交点符合点的投影规律，即kk′⊥OX(k′k″⊥OZ)，如图3.14(b)所示。因此，对于一对一般位置直线，要判别它们是否相交，只需检查任意两面投影的交点的投影连线是否垂直于投影轴即可。否则，要同时从3组同面投影、或者从交点的从属性及交点分割线段的等比性来判断。3.2空间直线的投影分析第42页，共89页，2023年，2月20日，星期二(a)(b)

图3.14相交两直线

3.2空间直线的投影分析第43页，共89页，2023年，2月20日，星期二

如图3.15(a)所示的两直线AB和EF，虽然其两面投影均相交，其实在空间并不相交。因为从图3.15(b)的判别可看出：e′k′∶k′f′ek∶kf，所以点K不在EF上，即两直线不相交。同样，还可通过作出其侧面投影来判断。(a)(b)图3.15两直线是否相交的判断3.2空间直线的投影分析第44页，共89页，2023年，2月20日，星期二3.交叉两直线在空间既不平行又不相交的两直线称为交叉两直线。如图3.13和图3.15所示的两直线均为交叉两直线。交叉两直线的3组同面投影不一定都相交，即使都相交，其交点也不符合点的投影规律。我们在交叉两直线的同面投影上看到的交点，实际上是分别在两直线上的两点在该投影面上的重影点。利用重影点的投影特性，可判断两直线的相对位置。如图3.16所示，交叉两直线AB，CD上分别有两个点Ⅲ、Ⅳ(点Ⅲ∈AB，点Ⅳ∈CD)，它们在H面的重影点为(3)4，由3.16(b)中的投影可知ZⅣ>ZⅢ，故Ⅳ点在Ⅲ点的正上方，Ⅲ点的水平投影3为不可见，用(3)表示。同理，在V面上另一对重影点I、II中，点II的正面投影2′不可见，用(2′)表示。3.2空间直线的投影分析第45页，共89页，2023年，2月20日，星期二(a)(b)图3.16交叉两直线的重影点3.2空间直线的投影分析第46页，共89页，2023年，2月20日，星期二【例3.2】试判别已知直线AB，CD，AE两两之间的相对位置，如图3.17(a)所示。分析：从图中直接观察可得出：AB与AE相交，因为它们有公共点A。对于AB与CD两直线，由于它们均为侧平线，虽然其正面投影和水平投影均分别平行，但不能凭观察直接定出。判别方法有两种，一种方法是作出它们的侧面投影，另一种方法是通过检查A，B，C，D4点是否共面。即分别连接AC与BD的正面投影和水平投影，使它们形成AC与BD两条直线。由AC与BD两直线的不共面，即可推断出A，B，C，D4点不共面。所以AB与CD为两交叉直线，如图3.17(b)所示。而AE与CD是一对交叉直线，其判别方法可用图3.17(c)所示的等比性定理，读者可自行分析判断。3.2空间直线的投影分析第47页，共89页，2023年，2月20日，星期二(a)(b)图3.17判别两直线间的相对位置3.2空间直线的投影分析第48页，共89页，2023年，2月20日，星期二

【例3.3】求作直线ST，使其与已知直线AB，CD相交且平行于已知直线EF，如图3.18(a)所示。分析与作图：从图3.18(a)可知，直线CD的水平投影积聚为一点c(d)，故CD为铅垂线。由于所求直线ST与CD相交，故其交点T的水平投影也必积聚于点c(d)。又由于所求直线ST∥EF，且与AB相交。故可过点c(d)作st∥ef交ab于s，由s找到s′，过s′作s′t′∥e′f′交于t′，则st和s′t′为所求直线ST的两面投影。作图步骤如图3.18(b)所示。3.2空间直线的投影分析第49页，共89页，2023年，2月20日，星期二(a)(b)图3.18直线平行与相交的综合题举例3.2空间直线的投影分析第50页，共89页，2023年，2月20日，星期二空间垂直的两直线(相交或交叉)，若其中的一直线平行于某投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍为直角。直角的这一投影特性称为直角投影定理。反之，若两直线在某投影面上的投影为直角，且其中有一直线平行于该投影面时，则该两直线在空间必互相垂直。证明如下：如图3.19(a)所示，设相交两直线AB⊥BC，且AB∥H面。∵AB⊥BC，AB⊥Bb∴AB⊥平面BCcb。又∵AB∥H面∴ab∥AB。因此：ab⊥平面BCcb，得ab⊥bc，即∠abc=90°，如图3.19(b)所示。3.2.6一边平行于投影面的直角的投影(a)(b)图3.19直角的投影3.2空间直线的投影分析第51页，共89页，2023年，2月20日，星期二应用直角投影定理可以解决许多空间定形和定位的几何问题，如求作直角三角形、等腰三角形、长方形、正方形、菱形等的投影作图问题，以及求解点与直线间、两直线间及直线与平面间的距离问题等等。直角投影定理同样适合于两直线交叉垂直的情况。读者可自行证明。如图3.20所示的两直线就是交叉垂直的情况。因为直线AB是一条水平线，且AB与CD的水平投影又相互垂直，因此由上述直角定理可知，这两条直线在空间垂直。又因为两直线的正面投影不相交，且两直线的两面投影也不平行，因此它们是一对交叉直线。3.2空间直线的投影分析第52页，共89页，2023年，2月20日，星期二

【例3.4】试求点A到直线BC的距离，如图3.21(a)所示。分析：求空间一点到直线的距离的问题，也是过点向直线作垂线、并求出该垂线的实长的问题。在本例中，应从已知点A向直线BC

图3.20两直线交叉垂直3.2空间直线的投影分析第53页，共89页，2023年，2月20日，星期二

作垂线AK，得垂足为K。由于所给直线BC为正平线，故由直角投影定理，应使其正面投影a′k′⊥b′c′；然后利用直角三角形法求出AK的实长，即为所求的距离。作图步骤：(1)过a′作a′k′⊥b′c′，交b′c′于k′，由k′找出k，连接ak，得AK的投影(ak，a′k′)；(2)用直角三角形法求出AK的实长，即a′k0为所求，如图3.21(b)所示。

(a)(b)图3.21求点到直线的距离3.2空间直线的投影分析第54页，共89页，2023年，2月20日，星期二【例3.5】试作出交叉两直线AB、MN的公垂线EF，并求AB与MN之间的最短距离，如图3.22(a)所示。分析：如图3.22(b)所示，公垂线EF是与AB，MN都垂直相交的直线，EF的实长就是所求交叉两直线的距离。由于AB⊥H面(AB为铅垂线)，又EF⊥AB，所以应有EF∥H面，其垂足E的水平投影e必积聚在AB的水平投影ab处。又由于EF∥H，同时EF⊥MN，根据直角投影定理必有ef⊥mn。显然，因为EF为水平线，其水平投影ef反映公垂线EF的实长，这就是所求AB与MN之间的距离。作图步骤：［如图3.22(c)所示］。(1)在水平投影面上过a(b)点作ef⊥mn。(2)由ef及水平线EF的投影特性，定出其正面投影e′f′。则e′f′和ef即为所求公垂线EF的两面投影，同时，ef也是所给交叉两直线的最短距离。3.2空间直线的投影分析第55页，共89页，2023年，2月20日，星期二图3.22作交叉两直线的公垂线并求其距离3.2空间直线的投影分析第56页，共89页，2023年，2月20日，星期二

平面的投影概念可建立在点和直线投影分析的概念之上。3.3空间平面的投影分析第57页，共89页，2023年，2月20日，星期二

1.用几何元素表示平面由几何学可知，空间平面可由下列几何元素确定：①不在同一条直线上的3点；②一直线及直线外一点；③两相交直线；④两平行直线；⑤任意的平面图形，如图3.23所示。从图中可以看出，以上各组元素可以互相转化。同一平面无论采用何种形式表示，其空间位置始终不变。(a)不在同一直线上的三点(b)直线及直线外的一点(c)相交两直线3.3.1平面的表示法3.3空间平面的投影分析第58页，共89页，2023年，2月20日，星期二(d)平行两直线(e)平面图形图3.23用几何元素表示平面2.用平面的迹线表示平面在画法几何中，空间平面还可用迹线来表示。空间平面与投影面的交线称为投影面的迹线。如图3.24(a)所示。平面P与H、V、W面的交线分别称为水平迹线(用PH表示)、正面迹线(用PV表示)和侧面迹线(用PW表示)。PH、PV、PW与投影轴X、Y、Z的交点PX、PY、PZ称为迹线集合点。3.3空间平面的投影分析第59页，共89页，2023年，2月20日，星期二由于迹线是投影面上的直线，所以它的一个投影与迹线本身重合，另一个投影则落在投影轴上。在投影图中，PH、PV、PW直接表示迹线本身在空间的位置，而处在投影轴上的那个投影则省略不画，如图3.24(b)所示。(a)(b)图3.24用迹线表示平面3.3空间平面的投影分析第60页，共89页，2023年，2月20日，星期二显然，用迹线表示的平面，其直观性强，它形象地表明了平面在空间的位置。用迹线表示的平面称为迹线平面。3.3空间平面的投影分析第61页，共89页，2023年，2月20日，星期二3.3.2平面相对于投影面的位置及其投影特性在3面体系中,平面对投影面的位置有3种：一般位置平面、投影面垂直面和投影面平行面。后两种称为特殊位置平面。平面分别与H、V、W面所构成的两面角称为该平面对H、V、W面的倾角，，。显然，当平面平行于投影面时，其倾角为0°；垂直于投影面时，其倾角为90°；倾斜于投影面时，其倾角在0°<，，<90°。1.一般位置平面既不平行也不垂直于投影面的平面称为一般位置平面。如图3.25所示可直接观察分析得到一般位置平面的投影特性：由于平面倾斜于投影面，所以它的三面投影的形状均为空间平面的类似形线框，其面积均小于空间平面的实形面积，不反映实形的真实大小；3个投影均不能反映平面与3个投影面的倾角的真实大小。3.3空间平面的投影分析第62页，共89页，2023年，2月20日，星期二(a)(b)图3.25一般位置平面的投影

3.3空间平面的投影分析第63页，共89页，2023年，2月20日，星期二

2.投影面垂直面在三面体系中垂直于任意投影面，而与另两投影面倾斜的平面，称为投影面的垂直面。投影面垂直面可分为3种：(1)垂直于V面、且倾斜于另两投影面的平面称为正垂面。(2)垂直于H面、且倾斜于另两投影面的平面称为铅垂面。(3)垂直于W面、且倾斜于另两投影面的平面称为侧垂面。3种投影面垂直面的投影及投影特性见表3-3。由此可得出投影面垂直面的投影特性：在所垂直的投影面上的投影积聚为一条斜线，该斜线与相应投影轴的夹角反映出该平面与其他两个投影面的倾角的真实大小；其他两个投影面互为类似形线框。3.3空间平面的投影分析第64页，共89页，2023年，2月20日，星期二表3-3投影面垂直面的三面投影及其投影特性3.3空间平面的投影分析第65页，共89页，2023年，2月20日，星期二

3.投影面平行面平行于一个投影面且必垂直于另两个投影面的平面称为投影面平行面。投影面平行面又可分为3种：(1)平行于H面的平面称为水平面。(2)平行于V面的平面称为正平面。(3)平行于W面的平面称为侧平面。投影面平行面的投影及投影特性见表3-4。由此可得出投影面平行面的投影特性为：在所平行的投影面上的投影反映实形，其他两个投影都积聚为直线且平行于相应的投影轴。三个倾角分别为0°或90°。3.3空间平面的投影分析第66页，共89页，2023年，2月20日，星期二表3-4投影面平行面的三面投影及其投影特性3.3空间平面的投影分析第67页，共89页，2023年，2月20日，星期二由此，我们可以得出这样的结论：从投影面垂直面的3个投影，可直接获得该平面对投影面的倾角的真实大小(其中一个倾角为已知，即90°)，但不能直接得到其实形；而从投影面平行面的投影，则可直接获得平面的实形(对投影面的倾角为已知)。对于一般位置平面，则要通过图解方法求解其实形和对投影面倾角的真实大小。3.3空间平面的投影分析第68页，共89页，2023年，2月20日，星期二由初等几何可知：①点在平面上，则该点必在此平面的一条直线上。②直线在平面上，则该直线必通过平面上的两点、或通过平面内的一点且平行于平面上的另一直线。将上述两个条件应用于投影法，即可解决在平面上的取点、取直线的问题。如图3.26所示，点K、直线KT和KM均位于由相交两直线AB、BC所确定的平面上。3.3.3平面上的点和直线3.3空间平面的投影分析第69页，共89页，2023年，2月20日，星期二

【例3.6】(1)在△ABC平面上过点C作正平线CD；(2)并在此面上取一点S，使之在H面之上15mm，在V面之前25mm，如图3.27(a)所示。分析：(1)由正平线CD的投影特性可知：其水平投影cd平行于OX轴，正面投影倾斜于X轴。利用这一投影特性，应用平面上取直线的几何原理即可求解出所求的正平线CD。(2)在平面上取定点S：平面上的投影面平行线是一条与所平行的投影面等距的直线。据题意，所求点S应位于平面上距H面为15mm的一条水平线EF上，同时，它也应位于距V面25mm的一条正平线MN上，因此，所求点S应为平面上这两条直线的交点。作图步骤：3.3空间平面的投影分析第70页，共89页，2023年，2月20日，星期二(a)点k在平面abc上(点k过平面上一直线)(b)直线kf在平面abc上(直线过平面上两已知点)(c)直线km在平面abc上(直线过平面上一点且平行平面上另一直线)图3.26在平面上取点取线3.3空间平面的投影分析第71页，共89页，2023年，2月20日，星期二

(1)作正平线CD：在水平投影面上，过c作cd∥OX，交ab于d，由d找出d′，连接c′d′,则CD(cd,c′d′)为所求，如图3.27(b)所示。(2)确定S点：首先作一条平面△ABC内的水平线EF的正面投影e′f′，使其与X轴相距15mm，然后再作出其水平投影ef，以及平面内的正平线MN的水平投影mn，使其与X轴相距25mm，mn与ef的交点即为点S的水平投影s，由此再定出S点的正面投影s′，即为所求，如图3.27(c)所示。3.3空间平面的投影分析第72页，共89页，2023年，2月20日，星期二(a)(b)(c)图3.27在平面上作投影面平行线和取定点3.3空间平面的投影分析第73页，共89页，2023年，2月20日，星期二3.3.4直线与平面、平面与平面的相对位置直线与平面、平面与平面之间的相对位置有两种情况，即平行和相交。包括直线与平面、平面与平面的平行和相交，相交又有垂直相交和倾斜相交两种情况。1.平行几何条件：①如果一直线平行于平面上的一条直线，则直线与该平面平行，如图3.28所示。②如果一平面上的两相交直线平行于另一平面上的两相交直线，则该两平面平行，如图3.29所示。据此，即可解决其投影作图及其相对位置的判断等问题。3.3空间平面的投影分析第74页，共89页，2023年，2月20日，星期二图3.28直线与平面平行图3.29两平面平行3.3空间平面的投影分析第75页，共89页，2023年，2月20日，星期二

【例3.7】试判断直线MN与平面△ABC是否平行，如图3.30(a)所示。分析及作图：根据上述几何条件，如果能在△ABC平面内作出一条平行于MN的直线，则直线MN就与平面△ABC平行，否则就不平行。为此，在平面上先作一条辅助线DB，使其正面投影d′b′∥m′n′，再由d′b′找出DB的水平投影db。因为水平投影db不平行于mn，不符合直线与平面平行的几何条件，故知MN不平行于△ABC，如图3.30(b)所示。3.3空间平面的投影分析第76页，共89页，2023年，2月20日，星期二(a)(b)图3.30判断直线与平面是否平行3.3空间平面的投影分析第77页，共89页，2023年，2月20日，星期二

【例3.8】试过点S作一平面平行于已知平面△ABC，如图3.31(a)所示。分析与求解：根据其几何条件，应过点S作一对相交直线，使其分别平行于已知平面△ABC内的任意两条直线。为此，过点S作一条直线SL1∥AB，按同法过点S再作SL2∥BC，则SL1与SL2所组成的平面即为所求平面，如图3.31(b)所示。(a)(b)图3.31作平面平行于已知平面3.3空间平面的投影分析第78页，共89页，2023年，2月20日，星期二

2.相交直线与平面或平面与平面相交，就会产生交点或交线。直线与平面相交，其交点为直线与平面所共有，它既在直线上又在平面上，是直线与平面的共有点，如图3.32所示；同理，两平面P和S相交，其交线为一条直线，它既在平面P上又在平面S上，是两平面的公有线，如图3.33所示。图3.32直线与平面相交3.3空间平面的投影分析第79页，共89页，2023年，2月20日，星期二为讨论问题的方便和清楚起见，本章只讨论特殊情况下求交点或交线的问题。有兴趣的读者，可从中找出规律，以引伸到一般位置的线面相交及面面相交问题的求解。图3.33平面与平面相交3.3空间平面的投影分析第80页，共89页，2023年，2月20日，星期二所谓特殊情况主要指以下3种：(1)特殊位置直线与一般位置平面相交；(2)一般位置直线与特殊位置平面相交；(3)一般位置平面与特殊位置平面相交。在以上每一组相交的几何要素中，至少有一个要素的某一投影具有积聚性，故可利用其积聚性直接求交点和交线。1)特殊位置直线与一般位置平面相交如图3.34(a)所示，铅垂线MN与△ABC平面相交。由图中可以看出，由于直线垂直于H面，其水平投影积聚为一点，因此它们的交点S的水平投影s必与之重合。又因为交点S属于△ABC，故可利用面上取点的方法，即在ΔABC上过点S作辅助线AD求出s′。直线与平面相交，存在着投影重叠部分的可见性判别问题。即判断某一同面投影中直线被平面挡住的一段，并用虚线表示。显然，其交点为线段投影可见与不可见的分界点，若在一侧为可见，则另一侧必不可见。可见性的判别可利用重影点的投影特性。如图3.34(b)所示，为判别直线MN的正面投影的可见性，可通过正面投影中a′c′、m′n′的交点［即重影点1′(2′)］引投射线，3.3空间平面的投影分析第81页，共89页，2023年，2月20日，星期二分别交水平投影中mn和ac于点1和2，由于点1在2的前面，故正面投影中2′为不可见，即点Ⅱ所在直线MN的2′s′一段为可见，用粗实线表示；而其余为不可见，画成虚线。(a)(b)图3.34特殊位置直线与平面相交3.3空间平面的投影分析第82页，共89页，2023年，2月20日，星期二2)一般位置直线与特殊位置平面相交［如图3.35(a)所示］如求图3.35(a)所示直线EF与铅垂面△ABC的交点。由于△ABC⊥H面，所以其水平投影积聚成一条直线abc，如图3.35(b)所示。交点K是平面上的点，其水平投