北师大版-必修五-第三章 不等式-§3 基本不等式【市一等奖】

《基本不等式》随堂练习1．(2012·中山高二检测)在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是()A．y＝x＋eq\f(4,x) B．y＝lgx＋eq\f(1,lgx)C．y＝eq\r(x2＋1)＋eq\f(1,\r(x2＋1)) D．y＝x2－2x＋3解析：对于A：y＝x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x·\f(4,x))＝4(当且仅当x＝2时等号成立)；对于B：∵x＞0，∴lgx∈R．∴y＝lgx＋eq\f(1,lgx)≥2或y≤－2．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当x＝10或x＝\f(1,10)时等号成立))；对于C：∵y＝eq\r(x2＋1)＋eq\f(1,\r(x2＋1))≥2(当且仅当x2＋1＝1，即x＝0时等号成立)，而x＞0，∴y＞2；对于D：y＝(x－1)2＋2≥2(当x＝1时等号成立)．答案：D2．设x、y满足x＋4y＝40，且x＞0，y＞0，则lgx＋lgy的最大值是()A．40 B．10C．4 D．2解析：∵x＞0，y＞0，∴x＋4y＝40≥2eq\r(4xy)＝4eq\r(xy)．∴xy≤100．当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4y,x＋4y＝40))即x＝20，y＝5时等号成立，∴lgx＋lgy＝lgxy≤lg100＝2．答案：D3．(2012·济宁高二检测)已知x＞0，y＞0，lg2x＋lg8y＝lg2，则xy的最大值是()A．2 B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,12) D．eq\f(1,4)解析：由lg2x＋lg8y＝lg2，得2x＋3y＝2即x＋3y＝1，又∵x＞0，y＞0，∴x＋3y＝1≥2eq\r(3xy)，∴eq\r(3xy)≤eq\f(1,2)．∴xy≤eq\f(1,12)当且仅当x＝3y＝eq\f(1,2)即x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,6)时等号成立．答案：C4．若对x＞0，y＞0，有(x＋2y)(eq\f(2,x)＋eq\f(1,y))≥m恒成立，则m的取值范围是()A．m≤8 B．m＞8C．m＜0 D．m≤4解析：令G＝(x＋2y)(eq\f(2,x)＋eq\f(1,y))，∵x＞0，y＞0∴G＝4＋eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)≥4＋2eq\r(\f(4y,x)×\f(x,y))＝8．当且仅当eq\f(4y,x)＝eq\f(x,y)即x＝2y时等号成立．由条件知m≤Gmin＝8．答案：A5．用一根长为12m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的高为________m，宽为________m．解析：设窗户的宽为x，则其高为6－2x，要使阳光充足，只要面积最大，S＝x(6－2x)＝2x(3－x)≤2×[eq\f(x＋3－x,2)]2＝eq\f(9,2)，当且仅当x＝eq\f(3,2)时等号成立，这时高为3m．答案：3eq\f(3,2)6．(2012·鄂州高二检测)当0<x<eq\f(π,2)时，函数f(x)＝eq\f(1＋cos2x＋8sin2x,sin2x)的最小值为________．解析：f(x)＝eq\f(2cos2x＋8sin2x,2sinxcosx)＝eq\f(cosx,sinx)＋eq\f(4sinx,cosx)＝eq\f(1,tanx)＋4tanx．∵0<x<eq\f(π,2)，∴tanx>0．∴f(x)≥2eq\r(\f(1,tanx)×4tanx)＝4．当且仅当tanx＝eq\f(1,2)时等号成立．答案：47．求下列函数的最值：(1)已知x＞0，求y＝2－x－eq\f(4,x)的最大值；(2)已知0＜x＜eq\f(1,2)，求y＝eq\f(1,2)x(1－2x)的最大值．解：(1)∵x＞0，∴由基本不等式，x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x·\f(4,x))＝4．∴y＝2－x－eq\f(4,x)＝2－(x＋eq\f(4,x))≤2－4＝－2．∴当且仅当x＝eq\f(4,x)(x＞0)，即x＝2时，ymax＝－2．(2)∵0＜x＜eq\f(1,2)，∴1－2x＞0．则y＝eq\f(1,2)x(1－2x)＝eq\f(1,4)×(2x)×(1－2x)≤eq\f(1,4)(eq\f(2x＋1－2x,2))2＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)．当且仅当2x＝1－2x，即x＝eq\f(1,4)时，ymax＝eq\f(1,16)．8．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？解：设该厂应每x天购买一次面粉，则其每次的购买量为6xt，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1)．设平均每天所支付的总费用为y1元，则y1＝eq\f(1,x)[9x(x＋1)＋900]＋6×1800＝