2023届甘肃省张掖市部分重点校高三下学期3月月考数学（文）试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页第Page\*MergeFormat2页共NUMPAGES\*MergeFormat19页2023届甘肃省张掖市部分重点校高三下学期3月月考数学（文）试题一、单选题1．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据复数的四则运算求出，然后写出复数在复平面内对应的点的坐标，进而求解.【详解】依题意，，解得，所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限．故选：C.2．已知全集，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式求出集合，再求补集可得答案.【详解】因为，所以．故选：C.3．2022年6月6日是第27个“全国爱眼日”，为普及科学用眼知识，提高群众健康水平，预防眼疾，某区残联在残疾人综合服务中心开展“全国爱眼日”有奖答题竞赛活动.已知5位评委老师按百分制（只打整数分）分别给出某参赛小队评分，可以判断出一定有评委打满分的是（

）A．平均数为98，中位数为98 B．中位数为96，众数为99C．中位数为97，极差为9 D．平均数为98，极差为6【答案】D【分析】根据平均数、中位数、众数、极差的计算公式分析选项或举出反例即可【详解】解：选项A：当打分结果为时，满足平均数为98，中位数为98，所以A错误；选项B：当打分结果为时，满足中位数为96，众数为99，所以B错误；选项C：当打分结果为时，满足中位数为97，极差为9，所以C错误；选项D：假设没有评委打满分，结合极差为6可得总成绩，则平均数，与选项不符，故假设不成立，所以平均数为98，极差为6时，一定有评委打满分，故选：D.4．已知平面向量，的夹角为，若，则的值为（

）A． B．5 C． D．【答案】D【分析】利用平方的方法化简，从而求得.【详解】由两边平方得，，，解得.故选：D5．如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三视图得到直观图，该三棱锥中，底面，且底面三角形为边长为的等边三角形，取的中点，连接，利用勾股定理求出线段的长度，再根据表面积公式计算可得；【详解】解：依题意由三视图可得几何体的直观图如下所示：该三棱锥中，底面，且底面三角形为边长为的等边三角形，取的中点，连接，则，所以，所以，，，所以故选：B6．已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知，画出图像，根据，可令，然后表示出，，然后利用椭圆定义找到与之间的关系，然后用分别表示出、、，在中，利用勾股定理判定，然后在中，可表示出与之间的关系，从而求解离心率.【详解】由已知，可根据条件做出下图：因为，令，所以，，由椭圆的定义可知，所以，所以，，，，由椭圆的定义可知，在中，，所以,在中，，所以所以.所以的离心率是.故选：D.7．若数列中不超过的项数恰为，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数．已知，且，数列的前m项和，若，则m的值为（

）A．9 B．11 C．12 D．14【答案】B【分析】对m分奇偶讨论可得，当m为偶数时，根据等差数列的通项公式即可求解；当m为奇数时，根据求解.【详解】由题意可知，当m为偶数时，可得2n≤m，则；当m为奇数时，可得2n≤m－1，则，所以.则当m为偶数时，,则，因为，所以无解；当m为奇数时，，所以，因为，所以m＝11.故选:B．8．已知，，是圆上的动点，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】线段的中点为，考虑和两种情况，计算垂直平分线，再根据垂直平分线和圆有交点得到，解得答案.【详解】线段的中点为，当时，存在点满足；当时，直线的斜率，所以线段的垂直平分线的方程为，整理得．若，则直线与圆有公共点，所以，整理得，因为，所以，解得．综上可知，的取值范围是．故选：C9．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】时求导得到单调区间，计算最值，时，再确定，确定函数的单调区间，计算最值，画出函数图像，根据图像得到，解得答案.【详解】当时，，在区间上单调递增，；当时，，当时，在区间上单调递增，则在上最多有两个零点，不满足题意，故，此时在区间上单调递增，在区间上单调递减，．画出函数的图象，要使函数有三个零点，由图象可知解得．综上可知，的取值范围是．故选：A10．已知函数是偶函数,当时,恒成立,设,,,则,,的大小关系为（）.A． B． C． D．【答案】D【分析】由函数是偶函数可得函数的图像关于直线对称;由当时,可得函数在区间上的单调性,根据以上两个性质即可得出结果.【详解】函数是偶函数,函数的图像关于直线对称,则.当时,,函数在区间上为增函数.则,即,.故选:D.11．已知是双曲线的左焦点，过点且倾斜角为30°的直线与曲线的两条渐近线依次交于，两点，若是线段的中点，且是线段的中点，则直线的斜率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】联立直线和渐近线方程求得纵坐标，根据可得之间的关系，从而可用表示出坐标，利用中点坐标公式得到，从而求得斜率.【详解】由题意知，双曲线渐近线为：设直线方程为：由得：；同理可得：是中点

，

，，本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线几何性质的应用，关键是能够通过中点的关系得到关于交点纵坐标之间的关系，从而求解出之间的关系.12．已知，其中e为自然对数的底数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由，得，再由，得，由，得，然后构造函数，利用导数判断其单调性，可比较出的大小，从而可得答案.【详解】令，则，当时，，当时，，所以当时，取得最小值，即，所以，所以﹔因为，所以，令（），则，当时，，当时，，所以当时，取得最小值，所以，所以，所以：设设在上，，递减，所以所以，递增，所以，即所以综上：故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数判断函数的单调性，考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是根据合理构造函数，通过函数的单调性比较大小，考查数学转化思想，属于较难题.二、填空题13．已知一组数据的样本点如下表：0126.85.22.8由上述样本点得到回归方程，则______．【答案】1.2【分析】因为回归方程恒过，分别求出，代入即可得出答案.【详解】因为，，所以，则，解得：．故答案为：1.214．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为___________【答案】155【分析】由高阶等差数列的定义，分别计算前后两项，结合等差数列的定义，可得所求值．【详解】解：所给数列为高阶等差数列，设该数列的第8项为x，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列．如图：由图可得：解得，故答案为：155.15．已知，，则的最大值为________.【答案】【分析】依题意利用和差角公式将其变形为，整理可得，再利用基本不等式计算可得.【详解】解：，，，，，，即，，即，所以，当且，即，等号成立，取得最大值．故答案为：16．已知函数（其中a为常数）有两个极值点，若恒成立，则实数m的取值范围是______.【答案】【分析】对函数求导后，由题意可得，是关于x的方程的两个不等的正实根，则得，，则，令，然后利用导数求出其最小值即可.【详解】.若有两个极值点为，则，是关于x的方程的两个不等的正实根.由，及方程根的情况，得，则，.又，所以，要使恒成立，只需恒成立.又，令，则，当时，，为减函数，所以当时，.由题意，要使恒成立，只需满足.故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决函数极值问题，考查利用导数求函数最值，解题的关键是根据题意将问题转化为恒成立，然后构造函数，利用导数求出函数的最小值，考查数学转化思想，属较难题.三、解答题17．设的三个内角所对的边分别为且.(1)求角的大小；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形的面积公式与两角和的正弦公式化简求解即可；（2）根据正弦定理边化角可得【详解】（1）在中，，故又，由正弦定理，，故，即.，

，，（2），

，，当取得最大值所求的18．安全正点、快捷舒适、绿色环保的高速铁路越来越受到中国人民的青睐．为了解动车的终到正点率，某调查中心分别随机调查了甲、乙两家公司生产的动车的300个车次的终到正点率，得到如下列联表：终到正点率低于0.95终到正点率不低于0.95甲公司生产的动车100200乙公司生产的动车110190(1)根据上表，分别估计这两家公司生产的动车的终到正点率不低于0.95的概率；(2)能否有90％的把握认为甲、乙两家公司生产的动车的终到正点率是否低于0.95与生产动车的公司有关？附：．0.1000.0500.010k2.7063.8416.635【答案】(1)甲公司生产的动车的终到正点率不低于0.95的概率约为，乙公司生产的动车的终到正点率不低于0.95的概率约为(2)没有90％的把握认为甲、乙两家公司生产的动车的终到正点率是否低于0.95与生产动车的公司有关【分析】（1）用频率估计概率，即可得到答案；（2）套公式计算，对着参数下结论即可.【详解】（1）用频率估计概率，甲公司生产的动车的终到正点率不低于0.95的概率约为；乙公司生产的动车的终到正点率不低于0.95的概率约为．（2）因为，所以，所以没有90％的把握认为甲、乙两家公司生产的动车的终到正点率是否低于0.95与生产动车的公司有关．19．如图，四棱锥的底面为菱形，，，，平面，点在棱上．(1)证明：；(2)若三棱锥的体积为，求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过证明平面可得(线面垂直得线线垂直)；（2）先由已知得点是棱的中点，再通过构造点到面的垂线段，计算即可.【详解】（1）证明：如图，连接，因为四边形为菱形，所以，因为平面，平面，所以，又因为，所以平面，又因为平面，所以．

（2）解：设点到平面的距离为，则三棱锥的体积，解得．因为平面，，所以，即是棱的中点.设，如图，连接，则平面，所以，过点作的垂线，垂足为，由（1）知，平面，所以，又，所以平面，即线段的长度就是点到平面的距离．因为，，所以．又因为，因为，所以．所以，即点到平面的距离为．20．已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．(1)求函数的单调区间；(2)若函数有三个零点，求的取值范围．【答案】(1)递减区间是；递增区间是，(2)【分析】（1）根据题意，列出方程组求得，得到，进而求得函数的单调区间；（2）由题意得到，利用导数求得函数的单调性与极值，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）解：由题意，函数，可得，因为函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值，可得，即，解得，

所以，可得，令，解得或．当变化时，，的变化情况如下：－1＋0－0＋2所以函数的单调递减区间是；单调递增区间是，．（2）解：由函数，，则，函数在处取得极大值，在处取得极小值，要使得有三个零点，则满足，即，解得，所以的取值范围为．21．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C相交于A，B两点，，是C的两条切线，A，B是切点．当轴时，．(1)求抛物线C的方程；(2)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）当轴时可求得坐标，进而根据求解即可；（2）设，根据导数的几何意义可得切线，的方程，联立可得的坐标，进而证明，，从而根据相似三角形的性质证明即可.【详解】（1）由题意，，当轴时，将代入有，解得，又故，解得.故抛物线C的方程为.（2）由（1），设，直线的方程为，联立抛物线方程有，故.又抛物线方程，故，故切线的方程为，即，同理可得切线的方程为，联立可得，解得，代入有，代入韦达定理可得.故当时有，当时，因为，故，也满足.故恒成立.又,故.所以，，故，故，故，即，即得证.【点睛】本题主要考查了抛物线方程的求法，同时也考查了导数的几何意义结合抛物线的性质证明等式的问题，需要根据题意设切点，进而求得切线方程，得出交点坐标，进而得出垂直的关系证明即可.属于难题.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求的极坐标方程；(2)已知射线和分别与交于点（异于点），与极轴交于点（异于点），求四边形的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦的倍角公式和基本关系式，消去参数得到，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得的极坐标方程；（2）由，，求得和，结合，即可求解.【详解】（1）解：因为为参数，所以，即，平方相加，可得