中考复习专题二次函数经典分类讲解复习及练习题含

中考复习专题二次函数经典分类讲解复习及练习题含中考复习专题二次函数经典分类讲解复习及练习题含PAGE/PAGE15中考复习专题二次函数经典分类讲解复习及练习题含PAGE1、二次函数的定义

定义：y=ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）

定义重点：①a≠0②最高次数为2③代数式必然是整式

练习：1、y=-x2，y=2x2-2/x，y=100-5x2，y=3x2-2x3+5,此中是二次函数的有____个。

m2m2.当m_______时,函数y=(m+1)χ-2χ+1是二次函数？

2、二次函数的图像及性质

y

0

抛物线

极点坐标

x

y=ax2+bx+c(a>0)

b4acb22a,4a

y

0x

y=ax2+bx+c(a<0)

b4acb22a,4ab直线x

直线x

b

对称轴

地点

张口方向

增减性

最值

2a

由a,b和c的符号确立

a>0,张口向上

在对称轴的左边,y跟着x的增大而减小.

在对称轴的右边,y跟着x的增大而增大.当xb时,y最小值为4acb22a4a

2a

由a,b和c的符号确立

a<0,张口向下

在对称轴的左边,y跟着x的增大而增大.在对称轴的右边,y跟着x的增大而减小.当xb时,y最大值为4acb22a4a

例2：已知二次函数y1x232x21）求抛物线张口方向，对称轴和极点M的坐标。

2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。

3）x为什么值时，y随的增大而减少，x为什么值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？

4）x为什么值时，y<0？x为什么值时，y>0？

3、求抛物线解析式的三种方法1、一般式：已知抛物线上的三点，平时设解析式为________________y=ax2+bx+c(a≠0)2,极点式：已知抛物线极点坐标（h,k），平时设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式.y=a(x-h)2+k(a≠0)3,交点式:已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0),平时设解析式为_____________求出表达式后化为一般形式.y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)练习：依据以下条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过(0，0)，(1，-2)，(2，3)三点；(2)、图象的极点(2，3)，且经过点(3，1)；(3)、图象经过(0，0)，(12，0)，且最高点的纵坐标是3。例1已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象极点在直线y=x+1上，而且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。解：∵二次函数的最大值是2

∴抛物线的极点纵坐标为2

又∵抛物线的极点在直线y=x+1上

∴当y=2时，x=1∴极点坐标为（1，2）∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又∵图象经过点（3，-6）∴-6=a(3-1)2+2∴a=-2∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即：y=-2x2+4x

4、a，b，c符号的确定

抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：

（1）a的符号：由抛物线的张口方向确立

（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点地点确立.

（3）b的符号：由对称轴的地点确立

（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确立

（5）a+b+c的符号：由于x=1时,y=a+b+c,因此a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。

当x=1时，y>0,则a+b+c>0当x=1时，y<0，则a+b+c<0当x=1时，y=0，则a+b+c=0

(6)a-b+c的符号：由于x=-1时,y=a-b+c,因此a-b+c的符号由x=-1时，对应的y值决定。

当x=-1，y>0,则a-b+c>0当x=-1，y<0,则a-b+c<0当x=-1，y=0,则a-b+c=0

练习１、二次函数≠0)的图象以以以下图，则

A、a<0,b>0,c>0B、a<0,b>0,c<0

C、a<0,b<0,c>0D、a<0,b<0,c<0

a、b、c

的符号为（

）

2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象以以以下图，则a、b、c的符号为（）

A、a>0,b>0,c=0B、a<0,b>0,c=0

C、a<0,b<0,c<0D、a>0,b<0,c=0

3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象以以以下图，则a、b、c、△的符号为（）

A、a>0,b=0,c>0,△>0B、a<0,b>0,c<0,△=0

C、a>0,b=0,c<0,△>0D、a<0,b=0,c<0,△<0

娴熟掌握a，b，c，△与抛物线图象的关系(上正、下负）(左同、右异)4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和二、三、四象限，判断a、b、c的符号情况：a0,b0,c0.

抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,且它的极点在第三象限，

则a、b、c满足的条件是：a0,b0,c0.

二次函数y=ax2+bx+c中，假如a>0，b<0，c<0，那么这个二次函数

图象的极点必在第象限

先依据题目的要求画出函数的草图，再依据图象以及性质确立结果（数形联合的思想）

7.已知二次函数的图像以以以下图，以下结论。⑴a+b+c=0⑵a-b+c﹥0⑶abc﹥0

⑷b=2a

此中正确的结论的个数是（）

A1个B2个C3个D4个

重点：追求思路时，要重视观察抛物线的张口方向，对称轴，极点的地点，抛物线与x轴、y轴的交点的地点，注意运用数形联合的思想。

5、抛物线的平移

左加右减，上加下减

练习⑴二次函数y=2x2的图象向平移个单位可获得y=2x2-3的图象；二次函数y=2x2的图象向平移个单位可获得y=2(x-3)2的图象。⑵二次函数y=2x2的图象先向平移个单位，再向平移个单位可获得函数y=2(x+1)2+2的图象。引申：y=2(x+3)2-4y=2(x+1)2+2（3）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以获得函数y=x2-5x+6的图象.y=x2-5x+6(x5)21245)21y=x2y(x24二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程根的情况与b2-4ac的关系我们知道:代数式b2-4ac关于方程的根起重视点的作用.bb24ac.当b24ac0时,方程ax2bxc0a0有两个不相等的实数根x1,22a当b2ac时方程ax2bxca有两个相等的实数根b40,00:x1,2.2a当b24ac0时,方程ax2bxc0a0没有实数根二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的横坐标，即是对应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0的解。二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:(1)有两个交点b2–4ac>0(2)有一个交点b2–4ac=0(3)没有交点b2–4ac<0若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则b2–4ac≥0例(1)假如关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有＿＿＿＿个交点.

已知抛物线y=x2–8x+c的极点在x轴上,则c=＿＿＿＿.

(3)一元二次方程3x2+x-10=0的两个根是x1=-2,x2=5/3,那么二次函数y=3x2+x-10与x轴的交点坐标是＿

.

鉴别式：二次函数图象

b2-4acy=ax2+bx+c

a≠0）

b2-4ac＞0与x轴有两个不

同的交点

（x1，0）

（x2，0）

y

x

一元二次方程

ax2+bx+c=0

（a≠0）的根

有两个不一样样的解

x=x1，x=x2

b2-4ac=0与x轴有独一个y有两个相等的解交点bx1=x2=b(,0)O2a2axb2-4ac＜0与x轴没有

交点

没有实数根

yx

二次函数的综合运用

1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,极点在直线x=1上,且极点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.

解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同a=1或-1

又极点在直线x=1上,且极点到x轴的距离为5,

极点为(1,5)或(1,-5)

因此其解析式为:

(1)y=(x-1)2+5(2)y=(x-1)2-5

(3)y=-(x-1)2+5(4)y=-(x-1)2-5

张开成一般式即可.

2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的极点是(-2,0),

求原抛物线的解析式.

解析:

由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)

新抛物线向右平移5个单位,

再向上平移4个单位即得原抛物线

练习题

1．直线y＝3x－1与y＝x－k的交点在第四象限，则k的范围是（（A）k＜1（B）1＜k＜1（C）k＞1（D）k＞1或k＜133

1kx

）

y3x1，解得21k1【提示】由xk13k因点在第四象限，故＞0，y2y.21∴＜k＜1．3

3k

2

＜0．

【答案】B．

【谈论】本题应用了两函数图象交点坐标的求法，联合了不等式组的解法、象限内点的坐标符号特色等．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，则以下各式中成立的个数是（）b（1）abc＜0；（2）a＋b＋c＜0；（3）a＋c＞b；（4）a＜－．2

（A）1（B）2（C）3（D）4

【提示】由图象知a＜0，－b＞0，故b＞0，而c＞0，则abc＜0．当x＝1时，y＞0，即a＋c－b＞0；当x＝－1时，y＜0，2a

即a＋c－b＜0．

【答案】B．【谈论】本题要综合运用抛物线性质与解析式系数间的关系．因a＜0，把（4）a＜－b两边同除以a，得1＞－b，即－b22a2a＜1，因此（4）是正确的；也可以依据对称轴在x＝1的左边，判断出－ba，得a＜－b＜1，两边同时乘，知（4）是正确的．2a23．若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝（m＋1）x＋m－1的图象不经过（）

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

【提示】由＝4＋4m＜0，得m＋1＜0，则m－1＜0，直线过第二、三、四象限．

【答案】A．

【谈论】本题综合运用了一元二次方程根的鉴别式及一次函数图象的性质．注意，题中问的是一次函数图象

不经过的象限．

24．如图，已知A，B是反比率函数y＝的图象上两点，设矩形APOQ与矩形MONB的面积为S1，S2，x则（）

（A）S1＝S2（B）S1＞S2（C）S1＜S2（D）上述（A）、（B）、（C）都可能【提示】由于SAPOQ＝|k|＝2，SMONB＝2，故S1＝S2．

【答案】A．

【谈论】本题可以推行为：从双曲线上随意一点向两坐标轴引垂线，由这点及两个垂足和原点构成的矩形的面积都等于|k|．

k2＋15．若点A（1，y1），B（2，y2），C（，y3）在反比率函数y＝－的图象上，则（）x

（A）y1＝y2＝y3（B）y1＜y2＜y3（C）y1＞y2＞y3（D）y1＞y3＞y2【提示】因－（k2＋1）＜0，且－（k2＋1）＝y1＝2y2＝y3，故y1＜y2＜y3．或用图象法求解，因－（k2＋1）＜0，且x都大于0，取第四象限的一个分支，找到在y轴负半轴上y1，y2，y3的相应地点即可判断．【答案】B．k2＋1）＜0．【谈论】本题是反比率函数图象的性质的应用，图象法是最常用的方法．在解析时应注意本题中的－（6．直线y＝ax＋c与抛物线y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系内大体的图象是（）

（A）（B）（C）（D）

【提示】两个解析式的常数项都为c，表示图象交于y轴上的同一点，除去（A），（B）．再从a的大小去判断．

【答案】D．

【谈论】本题综合运用了一次函数、二次函数的性质．（B）错误的原由是由抛物线张口向上，知a＞0，此时直线必过第一、三

象限．7．已知函数y＝x2－1840x＋1997与x轴的交点是（m，0）（n，0），则（m2－1841m＋1997）（n2－1841n＋1997）的值是（）（A）1997（B）1840（C）1984（D）1897x2－1840x＋1997＝0的两个根．因此m2－1840m＋1997【提示】抛物线与x轴交于（m，0）（n，0），则m，n是一元二次方程0，n2－1840n＋1997＝0，mn＝1997．原式＝［（m2－1840m＋1997）－m］［（n2－1840n＋1997）－n］＝mn＝1997．【答案】A．

【谈论】本题揭示了二次函数与一元二次方程间的联系，应用了方程的根的定义、根与系数的关系等知识点，并要灵巧地把所求代数式进行合适的变形．

8．某乡的粮食总产量为a（a为常数）吨，设这个乡均匀每人据有粮食为y（吨），人口数为x，则y与x之间的函数关系

为（）

（A）（B）（C）（D）

a【提示】粮食总产量必然，则人均据有粮食与人口数成反比，即y＝．又由于人口数不为负数，故图象只好是第一象限内的

一个分支．x【答案】D．【谈论】本题观察反比率函数图象在实诘问题中的应用．（A）错在画出了x＜0时的图象，而本题中x不可以能小于0．（二）填空题（每题4分，共32分）9．函数y＝2x1的自变量x的取值范围是____________．1＋x11【提示】由2x－1≥0，得x≥x的取值范围．；又x－1≠0，x≠1．综合可确立12【答案】x≥，且x≠1．210．若点P（a－b，a）位于第二象限，那么点Q（a＋3，ab）位于第_______象限．【提示】由题意得a＞0，a－b＜0，则b＞0．故a＋3＞0，ab＞0．【答案】一．

11．正比率函数y＝k（k＋1）xk2k1的图象过第________象限．【提示】由题意得k2－k－1＝1，解得k1＝2，k2＝－1（舍去），则函数为y＝6x．【答案】一、三．【谈论】注意求出的k＝－1使比率系数为0，应舍去．12．已知函数y＝x2－（2m＋4）x＋m2－10与x轴的两个交点间的距离为22，则m＝___________．【提示】抛物线与x轴两交点间距离可应用公式|a|来求．本题有＝(2m4)24(m210)＝16m56＝22，故m＝－3．【答案】－3．【谈论】抛物线与x轴两交点间距离的公式为，它有着宽泛的应用．|a|13．反比率函数y＝k的图象过点P（m，n），此中m，n是一元二次方程x2＋kx＋4＝0的两个根，那么P点坐标是_____________．x【提示】P（m，n）在双曲线上，则k＝xy＝mn，又mn＝4，故k＝4．

【答案】（－2，－2）．

【谈论】本题是反比率函数、一元二次方程知识的综合应用．由题意得出k＝mn＝4是重点．

14．若一次函数y＝kx＋b的自变量x的取值范围是－2≤x≤6，相应函数值y的范围是－11≤y≤9，则函数解析式是___________．

112kbk5【提示】当k＞0时，有296kb，解得b6.116kbk5当k＜0时，有292k，解得bb4.55【答案】y＝x－6或y＝－x＋4．22【谈论】因k是待定字母，而k的不一样样取值，以致线段分布象限不一样样样，自变量的取值与函数取值的对应关系也就不一样样．故本例要分k＞0时自变量最大值对应函数最大值，与k＜0时自变量最大值对应函数最小值两种情况谈论．15．公民的月收入超出800元时，超出部分须依法缴纳个人收入调理税，当超出部分不足500元时，税率（即所纳税款占超出部分的百分数）相同．某人本月收入1260元，纳税23元，由此可得所纳税款y（元）与这人月收入x（元）(800＜x＜1300)间的函数关系为____________．23【提示】因1260－800＝460，＝5%，故在800＜x＜1300时的税率为5%．【答案】y＝5%（x－800）．460【谈论】本题是与实诘问题相关的函数关系式，解题时应注意其实不是每个人月收入的所有都必然纳税，而是超出800元的部分才纳税，故列函数式时月收入x须减去800．h＝－10t2＋20t，经过_________秒，16．某种火箭的飞机高度h（米）与发射后游览的时间t（秒）之间的函数关系式是火箭发射后又回到地面．【提示】火箭返回地面，即指游览高度为0，则－10t2＋20t＝0，故t＝0或t＝20．【答案】20．【谈论】注意：t＝0应舍去的原由是此时火箭虽在地面，但未发射，而不是返回地面．

（三）解答题17．（6分）已知y＝y1＋y2，y1与x成正比率，y2与x成反比率，而且x＝1时y＝4，x＝2时y＝5，求当x＝4时y的值．【解】设y1＝k1x，y2＝k2，则y＝k1x＋k2．xx把x＝1时y＝4，x＝2时y＝5分别代入上式，得

4k1k252k1

解得

k12

k22.

k2，

2∴函数解析式为y＝2x＋2．x217当x＝4时，y＝2×4＋＝．1742．∴所求的y值为2y1，y2与x的函数解析式．注意两个比率系数应分别用【谈论】本题观察用待定系数法求函数解析式．重点在于正确设出k1，k2表示出来，而不可以仅用一个k值表示．18．（6分）若函数y＝kx2＋2（k＋1）x＋k－1与x轴只有一个交点，求k的值．【提示】本题要分k＝0，k≠0两种情况谈论．【解】当k＝0时，y＝2x－1，是一次函数，此时，直线与x轴必有一个交点．当k≠0时，函数为二次函数，

此时，＝4（k＋1）2－4k（k－1）

12k＋4＝0．

1∴k＝－．3∴1．所求的k值为0或－30．函数图象与x轴有一个交点包【谈论】注意，当问题中未指明函数形式，而最高次项系数含字母时，要注意这个系数能否为括两种情况：当函数是一次函数时，直线与x轴必只有一个交点；当函数是二次函数时，在＝0的条件下，图象与x轴只有一个交点．19．（8分）已知正比率函数y＝4k．（1）当k为什么值时，这两个函数的图象有两个交点？k为什么值时，这x，反比率函数y＝x两个函数的图象没有交点？（2）这两个函数的图象能否只有一个交点？如有，求出这个交点坐标；若没有，请说明原由．【解】由y＝4x和y＝k，得x4x2－k＝0，＝16k．（1）当＞0，即k＞0时，两函数图象有两个交点；当＜0，即k＜0时，两函数图象没有交点；（2）∵比率系数k≠0，故≠0．∴两函数图象不可以能只有一个交点．20．（8分）如图是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的一个表示图，横断面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴，桥拱的D′GD部分为一段抛物线，极点G的高度为8米，AD和AD′是双侧高为5.5米的立柱，OA和OA′为两个方

向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD和CD′为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4．（1）求桥拱DGD′所在抛物线的解

析式及CC′的长．（2）BE和B′E′为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB和A′B′为两个方向的行人及非灵巧车通

行区，试求AB和A′B′的宽．（3）按规定，汽车经过桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不可以小于0.4米，今有一大型运

货汽车，装载上大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离为7米，它能否从OA（OA′）安全经过？请说明

原由．

【解析】欲求函数的解析式，重点是求出三个独立的点的坐标，此后由待定系数法求之．因此重点是由题中线段的长度计算出D、G、D′的坐标，自然也可由对称轴x＝0解之．至于求CC′、AB、A′B′的数值，则重点是由坡度的定义求解之；终归能否安全经过，则只要在抛物线的解析式中令x＝4，求出相应的y值，即可作出明确的判断．y＝ax2＋c．【解】（1）由题意和抛物线的对称轴是x＝0，可设抛物线的解析式为由题意得G（0，8），