河北唐山市区县联考2023年数学高二下期末教学质量检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知三棱锥的底面是等边三角形，点在平面上的射影在内（不包括边界），.记，与底面所成角为，；二面角，的平面角为，，则，，，之间的大小关系等确定的是（）A． B．C．是最小角，是最大角 D．只能确定，2．设集合U=x1≤x≤10,x∈Z，A=1,3,5,7,8，B=2,4,6,8A．2,4,6,7 B．2,4,5,9 C．2,4,6,8 D．2,4,6,3．某巨型摩天轮．其旋转半径50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第35分钟时他距地面大约为（）米．A．75 B．85 C．100 D．1104．某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如下表：根据以上数据可得回归直线方程，其中，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5万元，则，的值为（）A．， B．，C．， D．，5．甲射击时命中目标的概率为，乙射击时命中目标的概率为，则甲乙两人各自射击同一目标一次，则该目标被击中的概率为（）A． B． C． D．6．已知函数，若有且仅有两个整数，使得，则的取值范围为（）A． B． C． D．7．已知函数（，）的图象如图所示，则的解析式为（）A． B．C． D．8．的展开式中的常数项为（）A． B． C． D．9．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是()A． B． C． D．10．已知为虚数单位，复数，则（）A． B． C． D．11．二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.则由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度（）A． B． C． D．12．中国古代儒家提出的“六艺”指:礼､乐､射､御､书､数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动,周六这天准备排课六节,每艺一节,排课有如下要求:“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻,则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有()A．18种 B．36种 C．72种 D．144种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，以长方体的顶底为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________14．的平方根是______．15．在数列1，2，3，4，5，6中，任取k个元素位置保持不动，将其余个元素变动位置，得到不同的新数列，记不同新数列的个数为，则的值为________.16．正态分布三个特殊区间的概率值,,,若随机变量满足，则____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，已知长方形中，，，M为DC的中点.将沿折起，使得平面⊥平面.（1）求证：；（2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为.18．（12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，，，，后得到如图的频率分布直方图．（1）求图中实数的值；（2）若该校高一年级共有学生1000人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数．（3）若从样本中数学成绩在，与，两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的槪率．19．（12分）如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为中点.求证：平面平面；若，求二面角的余弦值.20．（12分）设函数（1）当时，求函数在上的值域；（2）若不论取何值，对任意恒成立，求的取值范围。21．（12分）如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱的长为5.（1）求三棱柱的体积；（2）设M是BC中点，求直线与平面所成角的大小.22．（10分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率上一年度未发生有责任道路交通事故下浮10%上两年度未发生有责任道路交通事故下浮上三年度未发生有责任道路交通事故下浮30%上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路交通事故上浮10%上一个年度发生有责任交通死亡事故上浮30%某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型A1A2A3A4A5A6数量105520155以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，，记为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字）（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元:①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求他获得利润的期望值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

过作PO⊥平面ABC，垂足为，过作OD⊥AB，交AB于D，过作OE⊥BC，交BC于E，过作OF⊥AC，交AC于F，推导出OA＜OB＜OC，AB＝BC＝AC，OD＜OF＜OE，且OE＜OB，OF＜OA，由此得到结论．【详解】解：如图，过作PO⊥平面ABC，垂足为，过作OD⊥AB，交AB于D，过作OE⊥BC，交BC于E，过作OF⊥AC，交AC于F，连结OA，OB，OC，PD，PE，PF，∵△ABC为正三角形，PA＜PB＜PC，二面角P−BC−A，二面角P−AC−B的大小分别为，，PA，PB与底面所成角为，，∴＝∠PAO，＝∠PBO，γ＝∠PEO，＝∠PFO，OA＜OB＜OC，AB＝BC＝AC，在直角三角形OAF中，，在直角三角形OBE中，，OA＜OB，∠OAF＜∠OBE，则OF＜OE，同理可得OD＜OF，∴OD＜OF＜OE，且OE＜OB，OF＜OA，∴＜，＜，＞，＜，可得是最小角，是最大角，故选：C．【点睛】本题考查线面角、二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．2、D【解析】

先求出CUA,再求∁【详解】由题得CU所以∁UA∩B故选：D【点睛】本题主要考查补集和交集的运算，意在考查学生对这种知识的理解掌握水平，属于基础题.3、B【解析】分析：设出P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B，由题意求出三角函数中的参数A，B，及周期T，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f（35）的值即可．详解：设P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由题意可知：A=50，B=110﹣50=60，T==21，∴ω=，即f（t）=50sin（t+φ）+60，又因为f（0）=110﹣100=10，即sinφ=﹣1，故φ=，∴f（t）=50sin（t+）+60，∴f（35）=50sin（×35+）+60=1．故选B．点睛：已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求，一般用最高点或最低点求．4、C【解析】分析：根据回归直线过样本中心和条件中给出的预测值得到关于，的方程组，解方程组可得所求．详解：由题意得，又回归方程为，由题意得，解得．故选C．点睛：线性回归方程过样本中心是一个重要的结论，利用此结论可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的参数．根据回归方程进行预测时，得到的数值只是一个估计值，解题时要注意这一点．5、D【解析】

记事件甲乙两人各自射击同一目标一次，该目标被击中，利用独立事件的概率乘法公式计算出事件的对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式可得出事件的概率.【详解】记事件甲乙两人各自射击同一目标一次，该目标被击中，则事件甲乙两人各自射击同一目标一次，两人都未击中目标，由独立事件的概率乘法公式得，，故选D.【点睛】本题考查独立事件的概率乘法公式，解题时要弄清楚各事件之间的关系，可以采用分类讨论，本题采用对立事件求解，可简化分类讨论，属于中等题.6、B【解析】分析：数，若有且仅有两个整数，使得，等价于有两个整数解，构造函数，利用导数判断函数的极值点在，由零点存在定理，列不等式组，从而可得结果..详解：因为所以函数，若有且仅有两个整数，使得，等价于有两个整数解，设，令，令恒成立，单调递减，又，存在，使递增，递减，若解集中的整数恰为个，则是解集中的个整数，故只需，故选B.点睛：本题主要考查不等式有解问题以及方程根的个数问题，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为有解（即可）或转化为有解（即可）,另外，也可以结合零点存在定理，列不等式（组）求解.7、D【解析】结合函数图像可得：，，结合周期公式有：，且当时，，令可得：，据此可得函数的解析式为：.本题选择D选项.点睛：已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.8、C【解析】

化简二项式的展开式，令的指数为零，求得常数项.【详解】二项式展开式的通项为，令，故常数项为，故选C.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式展开式中的常数项，属于基础题.9、C【解析】

本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案.【详解】如图所示，直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得.所以内切圆的面积为，所以豆子落在内切圆外部的概率，故选C．【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误．10、C【解析】

对进行化简，得到标准形式，在根据复数模长的公式，得到【详解】对复数进行化简所以【点睛】考查复数的基本运算和求复数的模长，属于简单题.11、A【解析】

因为，，由此类比可得，，从而可得到结果.【详解】因为二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.所以由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四为测度W，应满足，又因为，所以，故选A.【点睛】本题主要考查类比推理以及导数的计算.12、D【解析】

由排列、组合及简单的计数问题得：由题意可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有种，然后与“礼”、“数”进行排序，共有种，最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有种，再相乘得解．【详解】由题意“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻，可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有种，然后与“礼”、“数”进行排序，共有种，最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有种，由于是分步进行，所以共有种，故选：D.【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，根据问题选择合适的方法是关键，此类问题常见的方法有元素优先法、捆绑法、插空法等，本题属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据的坐标，求的坐标，确定长方体的各边长度，再求的坐标.【详解】点的坐标是，，，，，故答案为:.【点睛】本题考查向量坐标的求法，意在考查基本概念和基础知识，属于简单题型.14、【解析】

设的平方根为，由列方程组，解方程组求得.【详解】设的平方根为（为实数），故，所以，解得，或，故.故答案为：.【点睛】本小题主要考查负数的平方根，考查复数运算，属于基础题.15、720【解析】

根据题意，只需分别计算出即可.【详解】故答案为：720【点睛】本题考查排列与组合的应用以及组合数的计算，考查学生的逻辑思想，是一道中档题.16、0.1359【解析】

根据正态分布，得出其均值和方差的值，根据的原则和正态曲线的对称性可得.【详解】由题意可知，，，故答案为【点睛】本题考查正态分布曲线的对称性和的原则，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）为中点．【解析】

（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=，AD=，M为DC的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM.∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM.（2）建立如图所示的直角坐标系设，则平面AMD的一个法向量，，设平面AME的一个法向量则取y=1，得所以，因为，求得，所以E为BD的中点.18、（1）a=0.1．（2）850（人）．（3）．【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图的性质能求出的值；（2）先求出数学成绩不低于分的概率，由此能求出数学成绩不低于分的人数；（3）数学成绩在的学生为分，数学成绩在的学生人数为人，由此利用列举法能求出这名学生的数学成绩之差的绝对值大于的概率．试题解析：（1）由频率分布直方图，得：0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1，解得a=0.1.（2）数学成绩不低于60分的概率为：0.2+0.3+0.25+0.1=0.85，∴数学成绩不低于60分的人数为：1000×0.85=850（人）．（3）数学成绩在[40，50）的学生为40×0.05=2（人），数学成绩在[90，100]的学生人数为40×0.1=4（人），设数学成绩在[40，50）的学生为A，B，数学成绩在[90，100]的学生为a，b，c，d，从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，基本事件有：{AB}，{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，{ab}，{ac}，{ad}，{bc}，{bd}，{c，d}，其中两名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的情况有：{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，共8种，∴这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的槪率为．考点：频率分布直方图；古典概型及其概率的求解．19、证明见解析；.【解析】

推出，从而平面，进而得出，再得出，从而平面，由此能证明平面平面；以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值.【详解】解：证明：平面平面，，平面平面.平面，.在菱形中，，可知为等边三角形，为中点，.，平面.平面，平面平面.由知，平面，，，，两两垂直，以为原点，如图建立空间直角坐标系.设，则，，，，.设为平面的法向量，由可得，取，同理可求平面的法向量，，即二面角的余弦值等于.【点睛】本题考查面面垂直的证明，线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查函数与方程思想，属于中档题.20、（1）；（2）【解析】

（1）首先判断出为上的减函数，进而可得其值域；（2）易知的最大值为2，原题等价于对任意恒成立，根据分离参数思想可得任意恒成立，求出两端最值即可.【详解】解：（1）与在上均为减函数，在上为减函数，的值域为（2）易知的最大值为2.由题意可知，即对任意恒