北师大初中数学教材解读

初中数学与核心素养北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第1页。北师大版初中数学教材

专业支持体系北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第2页。如何理解核心素养北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第3页。时代背景有什么新要求？新华社北京7月20日电：国务院近日印发《新一代人工智能发展规划》，提出了面向2030年我国新一代人工智能发展的指导思想、战略目标、重点任务和保障措施，部署构筑我国人工智能发展的先发优势，加快建设创新型国家和世界科技强国。人工智能：对人的意识、思维的信息过程的模拟，其产品是一种类似人类智能方式做出反应的智能机器。北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第4页。时代背景有什么新要求？案例：九寨沟地震发生18分钟后，中国地震台网用机器写了篇新闻稿，写作用时25秒。稿件用词准确，行文流畅，且地形、天气面面俱到，即便专业记者临阵受命，作品也不过如此。北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第5页。时代背景有什么新要求？2017年3月贵州的大数据峰会：如果我们继续以前的教学方法，对我们的孩子进行记、背、算，不让孩子去体验，不让他们去学会琴棋书画，我可以保证，30年后孩子们找不到工作，因为他没有办法与机器竞争！马云语出惊人

以前的20年我们把人变成了机器，未来20年，我们会把机器变成人。北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第6页。时代背景有什么新要求？过去的200年是知识、科技的时代，未来100年是智慧、体验的时代。知识可以学，但智慧不能学，只能体验。在未来，大数据、机器将把人类知识领域的事全部做完，人类和机器的竞争关键在于智慧在于体验。马云语出惊人

北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第7页。核心素养是如何提出的？80年代素质教育十八大把立德树人作为教育的根本任务，全面实施素质教育2014年研究提出各学段学生发展核心素养体系要把学科核心素养贯穿始终高中课标修订教育部《关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第8页。总体框架是什么？学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第9页。三个方面：文化基础、自主发展、社会参与六大素养：人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新十八个基本要点：人文积淀、人文情怀、审美情趣；理性思维、批判质疑、勇于探究；乐学善学、勤于反思、信息意识；珍爱生命、健全人格、自我管理；社会责任、国际理解、国家认同；劳动意识、问题解决、技术运用总体框架是什么？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第10页。高中数学课程中的核心素养：学生应该具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的、与数学有关的关键能力和思维品质。高中数学核心素养有哪些？数学教育的终极目标（与人的行为有关）：会用数学的眼光观察现实世界会用数学的思维思考现实世界会用数学的语言表达现实世界北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第11页。高中数学核心素养有哪些？数学语言数学模型数据分析应用的广泛性数学思维逻辑推理数学运算数学的严谨性数学眼光数学抽象直观想象数学的一般性数学特征北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第12页。如何理解初中数学的核心素养？基本思想，基本活动经验思想感悟和经验积累是一种隐性的东西，它在很大程度上影响人的思想方法。因此，对学生、特别是对那些未来不从事数学工作的学生的重要性是不言而喻的，这是学生数学素养的集中体现，也是“育人为本”教育理念在数学学科的具体体现。北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第13页。8个核心概念它们涉及的是学生在数学学习中应该建立和培养的关于数学的感悟、观念、意识、思想、能力等，因此，可以认为，它们是学生在义务教育阶段数学课程中最应培养的数学素养，是促进学生发展的重要方面。如何理解初中数学的核心素养？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第14页。8个核心概念如何理解初中数学的核心素养？

数感、符号意识（数学抽象）

推理能力（逻辑推理）

几何直观、空间观念（直观想象）

运算能力（数学运算）

模型意识（数学建模）

数学分析观念（数据分析）北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第15页。体现核心素养的关键是什么？对教师来说，在实际教学中落实对“基本数学思想、基本活动经验”的要求，关键是在教学设计中要有这方面的意识。比如，考虑在哪些教学环节可以渗透哪些数学思想；在分析问题、解决问题的整体结构设计时，考虑可以渗透、示范哪些活动经验，等等。北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第16页。体现核心素养的关键是什么？实践中的一种倾向：强调基础知识扎实、基本技能熟练，基础知识扎实靠记忆，基本技能熟练靠训练。我们的教育变成了记忆和训练。北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第17页。案例：因式分解逆用分配律的简便计算：29*36+29*64拼图a2-b2=(a+b)(a-b)体现核心素养的关键是什么？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第18页。由数到式的类比993-99=99(99+1)(99-1)。再举几个类似的例子。最后得到a3-a=a(a2-1)=a(a+1)(a-1)分类：给一些整式乘法及因式分解的式子，让学生分类明晰因式分解的概念体现核心素养的关键是什么？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第19页。案例：“平均数”的一种设计篮球队实力比较问题：如何比较两个篮球队员的实力？团队配合、身高、年龄等。如何比较身高、年龄？——意图：数据分析观念（收集数据，分析判断）；分析方法（理解平均数：数据的代表）体现核心素养的关键是什么？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第20页。网页设计比赛：体现核心素养的关键是什么？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第21页。8个评委给2个选手打分，4个评委给乙打的分数高，1个评委给甲乙打的分数一样，但甲的平均分高（因为其中1个评委给甲的分特高），平均分不能反映多数评委的意见。——意图：数据分析观念（数据中隐含着信息）；理解平均数（平均数易受极端值影响）体现核心素养的关键是什么？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第22页。教师招聘问题：体现核心素养的关键是什么？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第23页。

呈现甲乙两人的笔试、课堂教学、面试答辩三部分成绩，甲的平均成绩高，而乙的课堂教学成绩比甲高很多。有学生说选甲，也有学生说选乙。引出加权。——意图：数据分析观念（数据中隐含着信息）；理解“权”的意义归纳得出加权平均数的概念学生举加权平均数的实例体现核心素养的关键是什么？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第24页。案例：“平均数”的另一种设计10个学生每人投10次球，投中数目分别为：6，8，10，6，8，8，10，10，10，8。这10个同学平均每人投中几个球？

（用最原始的算法算）

这里的10个

表示各数值出现的次数占总数值次数的比值，说明各数值在这组数据中的地位一样。体现核心素养的关键是什么？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第25页。10个学生每人投数次球，投中数目为：2人投中6个球，4人投中8个球，4人投中10个球。这10个同学平均每人投中几个球？

（用简便算法算）

由此可以得到平均数的一种变形求法。体现核心素养的关键是什么？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第26页。10个学生每人投数次球，投中数目为：20%人投中6个球，40%人投中8个球，40%人投中10个球。这10个同学平均每人投中几个球？

方法一：先求出人数

方法二：直接用百分比体现核心素养的关键是什么？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第27页。某班学生每人投数次球，投中数目数为：20%人投中6个球，40%人投中8个球，40%人投中10个球。这个班的同学平均每人投中几个球？

题目中没有总人数。体现核心素养的关键是什么？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第28页。某班学生每人投数次球，投中6个球，8个球，10个球的人数比值为2:4:4。这个班的同学平均每人投中几个球？结论：平均数=各个数值×每个数值出现次数占总次数的比值的和体现核心素养的关键是什么？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第29页。算术平均数的定义加权平均数的定义两种平均数的异同体现核心素养的关键是什么？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第30页。体现核心素养的关键是什么？案例：探索三角形相似的条件（一）北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第31页。体现核心素养的关键是什么？案例：《丰富的图形世界》的定位北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第32页。体现核心素养的关键是什么？案例：用转化的思想整体把握代数运算内容北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第33页。体现核心素养的关键是什么？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第34页。体现核心素养的关键是什么？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第35页。体现核心素养的关键是什么？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第36页。从核心素养的高度

理解教材、把握教学

——数与代数北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第37页。这是什么式？(x-1)2是多项式吗？如果是，它是几次几项式？多项式的因式分解，分解后还是多项式吗？1/a＋1/b是不是分式？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第38页。这是什么式？解析式：把数、字母用运算符号联结而成的式子。又称数学式子，简称式子。在初等代数中，对各种“式”的定义是按照如下顺序进行的：北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第39页。初等运算包括代数运算与初等超越运算。代数运算：有限次的加减乘除、有理数次乘方。初等超越运算：无理数次乘方、对数、三角和反三角运算。这是什么式？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第40页。代数式：在一个解析式中，对字母只进行有限次的代数运算，这样的解析式叫做代数式。超越式：在一个解析式中，对字母进行有限次的初等超越运算，这样的解析式叫做初等超越式，或称简单超越式，简称超越式。这是什么式？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第41页。有理式：只含有加减乘除、指数为整数的乘方运算的代数式，叫做有理式。无理式：含有开方运算的代数式，叫做无理式。含有根号的代数式叫根式。无理式一定是根式，但根式不一定都是无理式，如根号2。这是什么式？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第42页。有理整式：只含有加减乘（包括非负整数次乘方）运算的有理式叫做有理整式。有理整式简称整式，也称为多项式。单项式是多项式的特例。有理分式：含有除法运算的有理式，叫做有理分式。这是什么式？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第43页。说明：定义中所指的各种运算，是针对字母而言的。这种分类方法是就它们的形式而言的，即针对化简前的形式而言。这是什么式？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第44页。按照这样的定义，整式与多项式是一回事，单项式只是其中一类特例。因此，用初等代数的眼光来看，(x-1)2无疑是多项式。既然它是多项式，那它究竟是几次几项式呢？这是什么式？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第45页。初等代数中的规定：一个多项式经过恒等变形化为标准形式后（如果必要的话），是几次几项就称为几次几项式。具体到刚才的问题，（x-1）2是二次三项式（不是标准形式）；因式分解是多项式的恒等变形，变形前后都是多项式。这是什么式？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第46页。1/a＋1/b是不是分式？当然是分式，因为对a、b都有除法运算；同样地，（x+3）÷（x-1）自然也是分式，因为按照定义，它是不是分式只与所含字母的运算有关，与书写形式无关。这是什么式？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第47页。教材：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。3x-3=3（x-1）算不算因式分解？比较严谨的定义：把一个多项式表示成几个不可约整式的连乘积的过程叫做因式分解。这是因式分解吗？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第48页。把一个多项式表示成几个不可约整式的连乘积的过程。把一个整数表示成几个质数的连乘积的过程。除了1和它本身不再有其他因数当然因数：1和它本身除了当然因式，不再有其他因式当然因式？这是因式分解吗？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第49页。当然因式：每一个不等于0的数，以及每一个与给定的整式只差一个不等于0的数值因式的整式。不可约整式：给定数域F上的整式q，如果只有当然因式（没有非当然因式），那么q就叫做F上的不可约整式。可约与否，与给定的数域有关：如2x2-1在有理数域不可约，在实数域可约。这是因式分解吗？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第50页。这是什么方程？x+y=x-2是一元一次方程吗？同解方程：两个方程的解完全相同。解集为空集的所有方程同解。同解变形：解方程时，用同解方程代替原方程的过程。一元n次方程：一个整式方程经过同解变形能化成形如a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0（其中a0，a1，…，an-1，an为常数，且a0≠0）的形式。北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第51页。这是什么方程？解整式方程时所用到的去分母、去括号、移项、合并同类项、用一个不等于零的数去乘方程的两边，都属于同解变形。x+y=x-2经过同解变形可化为y=-2，因此x+y=x-2是一元一次方程。北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第52页。这些问题容易争执不清，关键是教材没有对相关代数概念给出系统且严谨的定义。教材为何不给出系统严谨的定义？与数学教材的功能有关。数学教材是用来教学的。数学教学的过程，是学生不断丰富其数学知识技能的过程，是学生不断感悟数学思想、积累数学活动经验的过程，同时也是学生不断提高其发现问题、提出问题、分析问题、解决问题能力的过程。为何定义不严谨？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第53页。

因而，作为教学内容主要来源的教材，它对很多概念的处理必须遵循学生的认识规律，不应该也不可能做到一以贯之的严谨。比如，教材定义一元一次方程时为何不采用类似于一元二次方程的定义方式呢？原因在于，学生在学习一元一次方程时基本没有什么解方程的经验，这时若出现“化成……形式”，他们会不知所云。为何定义不严谨？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第54页。为何定义不严谨？与课程目标有关。初中数学学习各种代数式，主要目标是要用它们表示问题中的数量关系，掌握有关的运算，解决一些简单问题，并在这一过程中发展符号意识、运算能力，感受模型思想。引入相关概念名词，一定意义上是为了方便表达，并不是要对这些概念本身进行系统研究。北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第55页。为何定义不严谨？

初中数学学习各种方程，重点是根据具体问题中的数量关系列出方程，解决一些简单问题，并体会方程的模型思想，发展应用意识；为此还需要掌握各种方程的解法，提高运算能力和推理能力。因此，引入方程的相关概念，也不是要对方程的有关理论问题进行系统研究。北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第56页。为何定义不严谨？既然如此，在不影响实现课程目标的前提下，有关概念不那么严谨又有何妨？相反，如果让初中学生去掌握这些系统而严谨的定义，那才是得不偿失的。北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第57页。为何定义不严谨？因此，在教学中不必花过多精力用以判断一个式子是不是某种“式”，或者一个方程是不是某种方程，特别要避免那些容易引发争议的判断问题，因为这与规定有关，与理解相关内容的本质关系不大，也不是教学的重点所在。在教学和考试中都要回避这一类的争议问题。北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第58页。几何与代数的定义有差别？概念的严谨程度与教科书中相应内容体系的理论严谨程度有关。平面几何的有关概念总体上更为严谨。原因：与两个领域知识体系的严谨程度有关。目前，平面几何知识体系总体上是一个演绎论证体系；而代数领域的课程内容在这方面则要弱得多。演绎论证体系中的概念，由于证明的需要，必须进行相对严谨的表述。北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第59页。几何与代数的定义有差别？对概念要正确理解，区别对待。只是为称呼方便而提出的概念，只需让学生了解其大意即可。重要的概念要在理解上下功夫。尽量不要单纯地考查概念的定义。有关的计算、论证、应用既可直接考查技能与应用知识能力，也可间接考查对概念的掌握情况，这比单纯考概念要好得多。北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第60页。两种安排顺序：先学方程组：传统上我国初中数学在处理一次函数与二元一次方程组的顺序时，通常是先学习二元一次方程组的相关内容，然后再学习一次函数的内容。教材设计：先研究一次函数，再研究二元一次方程组。为何一次函数在方程组之前？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第61页。教材为什么要先学一次函数？几何直观：利用图形描述和分析问题已知二次函数

y=ax2+bx+c的图象如图所示，

回答下列问题：为何一次函数在方程组之前？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第62页。写出一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根；写出不等式ax2+bx+c>0的解集；关于x的一元二次方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围。为何一次函数在方程组之前？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第63页。先学一次函数有利于发展几何直观：学生在解决一次函数的有关问题时由于还没有掌握二元一次方程组这一代数工具，因此就不得不借助图象：要么借助图象看出一个参数，用一元一次方程求出另一个参数；要么完全借助图象来解决问题。为何一次函数在方程组之前？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第64页。先学方程组是否也可以达到同样的效果？当学生掌握了方程组这一代数工具后，多数学生在解决一次函数的有关问题时往往就会表现出代数化倾向代数技能与几何直观：孰轻孰重？相比而言，发展学生几何直观的机会比较少，而且很多时候需要教师进行有意识的深度挖掘。为何一次函数在方程组之前？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第65页。为何一次函数在方程组之前？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第66页。这样的设计，与人类的发现过程基本一致，创设了认知冲突，使学生经历了探索、发现等数学思考的过程，同时体会到数学概念的实际背景。为何实数在勾股定理之后？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第67页。从人类的认识历史来说，勾股定理是发现无理数的基础。正是因为有了勾股定理，才导致了无理数的发现。第一次数学危机。为何实数在勾股定理之后？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第68页。从教学来说，尽管学生的认识过程不能完全等同于人类的认识过程，但人类的认识过程无疑对设计教学过程具有重要的意义：人类认识数学过程中的矛盾、困惑和危机，正好可以用来构建学生认识数学的认知冲突。从而可以使学生了解学习无理数的必要性，同时可以使得学生认识无理数的素材更加丰富。为何实数在勾股定理之后？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第69页。如果反过来设计，那么一般只能从诸如“±2的平方等于4，±2叫做4的平方根，那么2的平方根等于多少呢？如何表示呢？”从而引出平方根的概念和表示。接着研究带根号的数的小数表示，引出无理数的概念。这样设计，背景平淡，不易留下较为深刻的思维印记；可能还会有学生质疑研究无理数的必要性：“有平方等于2的数吗？”为何实数在勾股定理之后？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第70页。带来的不便：在“勾股定理”一章的教学中，因学生尚未学习开平方，故而需要精心选择有关问题涉及的数据。但换个角度看，如果能让学生在学习这一章时感受到数据需要选择，那么岂不更能激发其学习无理数的欲望吗？为何实数在勾股定理之后？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第71页。运算能力与算理教学有一种比较流行的说法：当今学生的运算的能力大不如从前。这种说法所说的“运算能力”实际上更多指的是“计算技能”，强调的是“熟练程度”。北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第72页。就计算技能而言，可能真的今不如昔！计算技术进步的一个必然结果。当今智能化加速了这种趋势。要与时俱进。数学教育强调的是“运算能力”。运算能力与算理教学北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第73页。课标：主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。运算能力：前提——理解算理；结果——会算和算正确。不过分强调速度，不过分强调技巧（学数学与学财会的差别）。运算能力与算理教学北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第74页。数学运算包括算理和算法两个方面：算理———为什么这样算，算法——怎样算。教学实践中重算法，轻算理？案例1：有理数的除法运算能力与算理教学北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第75页。主要内容是利用除法和乘法的关系，探索有理数的除法法则1和除法法则2。在探究法则1环节，设计了三个问题，基本没有作任何解释，放手让学生分组探究：（1）根据乘法法则计算下列算式：2×（-3），（-4）×（-3），8×9，2×4，2×（-4），（-2）×（-4）。运算能力与算理教学北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第76页。

（2）利用除法是乘法的逆运算确定下列除法算式的值：

（-6）÷（-3），12÷（-4），72÷9，8÷4，（-8）÷（-4），8÷（-4）。

（3）结合有理数的乘法法则，观察除法算式商的符号及其绝对值与被除数和除数的关系，归纳总结出有理数的除法法则。运算能力与算理教学北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第77页。课堂效果：一个小组：“除以一个数等于乘以这个数的倒数”；另一小组“除以一个数等于乘以这个数的倒数；同号得正，异号得负；0除以任何数都得0”；还有一小组是

“同号得正，异号得负”。问题出在哪里？运算能力与算理教学北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第78页。学生清楚“除法是乘法的逆运算”的意思吗？（-6）÷（-3），这是有理数的除法，计算这个式子就是要寻求一个数“”，使得

（-3）×=-6（除数×商=被除数）；

因为（-3）×2=-6，所以（-6）÷（-3）=2运算能力与算理教学北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第79页。案例2：用两种方法解分式方程为什么可以交叉相乘？依据是什么？它与常规解法有什么异同？运算能力与算理教学北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第80页。案例3：方差运算能力与算理教学北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第81页。除以同一个不为0的数恰当把握：解方程的依据是什么？运算能力与算理教学北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第82页。考点选择不太合适运算能力与算理教学北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第83页。运算能力与算理教学过分强调计算速度是没有道理的，速度的训练是导致学生课业负担加重的主要原因。素养培养是慢功夫。数学学习是需要思考的，教师的一项重要责任，就是要引导和启发学生学会思考、敢于思考、善于思考。速度要求要适当北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第84页。从核心素养的高度

理解教材、把握教学

——图形与几何北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第85页。图形与几何领域有何教育价值？演绎证明？空间观念，几何直观，推理能力以传统平面几何内容为例，谈推理能力的设计北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第86页。人类很早就在生活和实践中认识了许多几何知识。但它们大都是粗浅的、直观的、经验性的和零散的。以泰勒斯为代表的数学家开始尝试将几何结果排成逻辑链条；排在前面的可以推导出排在后面的，因而有了“证明”的念头。毕达哥拉斯学派在此基础上又进行了更深入的研究。几何发展史有怎样的启示？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第87页。柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，提出了“分析法与综合法”。亚里斯多德提倡演绎方法，提出的“三段论”对几何学的发展影响巨大。

他关注演绎系统的构建：A为何成立？因为B；而B为何成立？因为C；……因此要讲究证明就必须有出发点，叫做公设。几何发展史有怎样的启示？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第88页。柏拉图提供方法，亚里士多德供演绎架构，还有许多数学家累积了更多的几何知识。这一切都预示着，更伟大的作品将要出现。几何发展史有怎样的启示？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第89页。欧几里得的《原本》（theElements）。对前人积累的大量数学成果进行了整理，采用了前所未有的独特编写方式：提出5条公设、5条公理；每一卷前面都列出本卷所要用到的概念的定义，共计119个定义。以此为基础推导出所有的定理。几何发展史有怎样的启示？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第90页。欧几里得的贡献在于：不仅仅作出了证明，更重要的是，他是在这种公理体系中作出的证明。这种论证方法的优越性十分明显，每一个命题都与前一个命题有着十分清晰而明确的联系，可以避免循环论证。这是公理化方法的初始，在人类思想史上具有里程碑意义。几何发展史有怎样的启示？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第91页。《原本》的漏洞：有些定义模糊不清，有些概念根本就没有定义；而作为推理依据的公设与公理严重不足，因此在证明某些定理时，欧几里得不得不借助图形直观。第5公设与非欧几何的诞生公设5.

两条直线被第三条直线所截，如果同侧两个内角之和小于2直角，那么这两条直线在这一侧相交。几何发展史有怎样的启示？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第92页。直到19世纪末，希尔伯特在前人工作的基础提出了一个比较完善的几何公理体系：列出了三个基本对象：点、直线、平面提出了三个基本关系：结合关系——点在直线上、点在平面上；顺序关系——一点在另两点之间；合同关系——两线段合同、两角合同几何发展史有怎样的启示？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第93页。规定了5五组公理（共20条）：结合公理8条、顺序公理4条、合同公理5条、平行公理1条、连续公理2条基本对象与基本关系统称为基本概念，它们是不加定义的，只受5组公理的制约几何发展史有怎样的启示？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第94页。由希尔伯特的结合、顺序、合同、连续4组公理所建立的几何体系称为绝对几何。在此基础上，若增加欧几里得平行公理就可以得到欧氏几何体系；若增加罗巴切夫斯基平行公理就可以得到罗氏几何体系。几何发展史有怎样的启示？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第95页。启示人类首先认识的几何知识是一个个具体且零散的知识；认识方法更多是今天所说的合情推理。演绎推理的方法是几何发展到一定阶段的产物，需要一系列的铺垫工作，而且与文化环境有密切的关系。几何发展史有怎样的启示？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第96页。公理化方法的最大作用不是发现知识，而是对既有知识进行整理；它不是从一开始就有的，只有相关知识积累的一定程度后，它才有产生的必要。几何发展史有怎样的启示？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第97页。几何学习难在哪里？语言难。平面几何所用的语言及有关术语有其独特性和抽象性，与学生之前接触的数学语言区别较大，很多学生在相当时期内不适应、不习惯、不理解这种用语。此外，文字语言、图形语言和符号语言的转换对学生来说也是一个难点。北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第98页。技能难。比如，平面几何证明的书写方式与之前代数中用到的推理书写方式有区别。尽管本质上大都是三段论，但在代数中的书写更接近生活语言，而在几何中则是采用了简化的书写方式，很多学生不习惯这种表达方式。另外，在画图、识图等方面学生也存在诸多障碍。几何学习难在哪里？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第99页。思路难。证明思路的获得基本上无程序可言，有关规律的总结需要教师、学生做很多深度挖掘，对思维的灵活性要求更高。教材的设计不可能消灭难点，只能分散难点，尽量帮助学生渡过难关。几何内容的变化趋势：内容在不断减少；内在逻辑严谨性的要求在不断减弱；证明的难度在不断降低。几何学习难在哪里？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第100页。平面几何内容分哪几个阶段？第一阶段：基本平面图形，相交线与平行线，三角形，生活中的轴对称（简单的轴对称图形），勾股定理第二阶段：平行线的证明，三角形的证明第三阶段：平行四边形，特殊平行四边形，图形的相似，直角三角形的边角关系，圆北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第101页。第一阶段整体描述：以发展合情推理为主，由浅入深逐步渗透演绎推理（说理）基本特点：以直观、操作、折纸、画图、度量及轴对称等实验性方法为主，借助观察、比较、类比、归纳等合情推理获得结论；从“相交线与平行线”开始，逐步有意识地渗透简单的演绎推理训练（说理）。平面几何内容分哪几个阶段？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第102页。设计意图：发展合情推理。这一阶段由于尚未引入证明，所以就为用合情推理研究图形提供了比较充分的时间和空间。同时，初步形成自觉探究、发现的意识，学会探索、发现几何图形性质的基本方法，并在这一过程中感悟数学的基本思想，积累基本的数学活动经验。平面几何内容分哪几个阶段？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第103页。防冒进。这一阶段没有正式引入证明，是为了限制证明的使用，防止脱离学生的认知实际，过早地、不适当地拔高证明的难度，使部分学生失去学习的兴趣、丧失学好数学的信心。平面几何内容分哪几个阶段？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第104页。

打好基础。在这一阶段，力图在几何语言、识图画图、简单推理等方面打好基础，有计划地逐步提出并加强说理的要求，为演绎证明做好准备。

几何语言常用几何用语的习惯与转换。比如，经常让学生“说”——说自己是如何想的，说自己是如何画的……让学生“说”方法，“说”解题过程，给每一位学生“说”的机会，鼓励学生大胆地“说”。三种形式互相转化。平面几何内容分哪几个阶段？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第105页。

画图、识图

注重画图、识图技能的训练，特别是一些反映重要概念、结论的典型图形及其变式，使学生能够真正抓住几何概念、结论所反映的几何图形的本质属性，并在头脑中形成相应的几何形象。平面几何内容分哪几个阶段？

简单演绎推理

从简单的情形开始，循序渐进训练说理，重在对因果关系的理解。比如，对于有关几何结论，要让学生理解它的条件和结论，弄清适用范围等。北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第106页。第二阶段整体描述：以演绎推理为主，学习综合法证明基本特点：正式引入证明（启动仪式），以平行线、三角形全等的综合法证明为主；所证明的结论有相当一部分是第一阶段探索过的。平面几何内容分哪几个阶段？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第107页。设计意图：

基本掌握综合法证明的表达方式。

初步积累分析证明思路的经验。平面几何内容分哪几个阶段？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第108页。第三阶段整体描述：把合情推理与演绎推理合二为一，边探索边证明设计意图：在这一阶段，把合情推理与演绎推理融为一体，进一步提高学生推理能力的水平，逐步提升综合能力。平面几何内容分哪几个阶段？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第109页。三步走——第一步形式：因为……，根据……，所以……。如图，AB∥CD，如果∠1=∠2，那么EF与AB平行吗？说说你的理由。推理表达方式是如何设计的？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第110页。

解：因为∠1=∠2，

根据“内错角相等，两直线平行”，

所以EF∥CD。

又因为AB∥CD，

根据“平行于同一条直线的两条直线平行”，

所以EF∥AB。推理表达方式是如何设计的？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第111页。特点：与生活中的说理语言类似，又便于与之后的综合法证明表达方式相衔接。目的：理解“因”“果”“由因得果的依据”这三者之间的逻辑关系，在从事“推理”活动之初，将注意力放到对“条件与结论的逻辑关系”的理解上；为后面几何证明做些铺垫；为有条理地进行思考和有根据地进行表达发挥积极的引导作用。推理表达方式是如何设计的？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第112页。三步走——第二步形式：∵……（注明理由），∴……（注明理由）。已知：如图，AB∥CD，如果∠1=∠2。求证：EF∥AB。推理表达方式是如何设计的？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第113页。

证明：∵∠1=∠2，

∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行）。

又∵AB∥CD，

∴EF∥AB（平行于同一条直线的两条直线平行）。特点：符号化，详注理由。目的：进一步理解“因”“果”“由因得果的依据”这三者之间的逻辑关系。推理表达方式是如何设计的？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第114页。随着学生对“条件与结论的逻辑关系”理解的深入，逐步减少对理由的标注。三步走——第三步形式：∵……，∴……”。不再标注理由。推理表达方式是如何设计的？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第115页。已知：如图，AB∥CD，如果∠1=∠2。求证：EF∥AB。证明：∵∠1=∠2，

∴EF∥CD。

又∵AB∥CD，

∴EF∥AB。推理表达方式是如何设计的？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第116页。第一阶段，基本概念、名词术语、符号等都将集中出现。这些知识从表面上看似乎不难，加之枯燥乏味，学生往往掉以轻心；教师也常常因为这些内容比较零碎，不太重视，想尽早进入平面几何教学的“华彩乐章”。为何不宜过早引入几何证明？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第117页。从技能和能力的要求看，平面几何教学需要学生逐步具备识图、画图、作图，正确地理解和表述几何语言、分析的方法、说理的技能等等。这些技能和思想方法，学生在学习平面几何以前没有得到过系统的训练和培养。因此，平面几何教学在技能、能力和思想方法的要求上，具有“突变性”的特点。为何不宜过早引入几何证明？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第118页。把两个特点结合起来考虑，应该利用第一阶段知识难度不大的时机，有计划有重点地逐步训练学生掌握学好几何所必须具备的基础性技能和思想方法，而不应急于进入推理论证教学。同时，不宜把这些训练安排在第二阶段后去进行。因为第二阶段已是诸种技能和能力的综合运用阶段。到那时再开始进行基本的训练，就为时太晚了。为何不宜过早引入几何证明？北师大初中数学教材解读全文共136页，当前为第119页。思路比格式重要得多：在平面几何教学中提高学生的推理能力，最需要下功夫之处是