2022-2023学年北京市海淀区高二年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年北京市海淀区高二下学期3月月考数学试题一、单选题1．复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】直接利用复数的除法运算，结合复数的几何意义即可.【详解】复数，则其在复平面所对应的点为，故其在第四象限，故选：D.2．函数的单调增区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函数的导数，再解不等式即可作答．【详解】函数定义域为R，求导得：，由，解得，所以函数的单调递增区间是．故选：C3．函数（

）A．有极大值1，无极小值 B．无极大值，也无极小值C．有极小值0，极大值1 D．有极小值1，无极大值【答案】D【分析】直接求导得，利用导数与极值的关系即可得到答案.【详解】，，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以当时，函数有极小值，无极大值，故选：D.4．在四面体中，点为棱的中点.设,，，那么向量用基底可表示为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根据点为棱的中点，则，然后利用空间向量的基本定理，用表示向量即可.【详解】点为棱的中点，，，又，，故选B.【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，以及向量的中点公式，要求熟练掌握，同时考查了转化与划归的思想的应用，属于基础题.5．已知为等比数列，为其前项和，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出、的值，再利用等比数列的求和公式可求得的值.【详解】设等比数列的公比为，则，则，所以，，因为，即，，解得，因此，.故选：C.6．已知是等差数列，是其前项和.则“”是“对于任意且，”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用等差数列前n项和的函数性质判断“对于任意且，”与“”推出关系，进而确定它们的关系.【详解】由等差数列前n项和公式知：，∴要使对于任意且，，则，即是递增等差数列，∴“对于任意且，”必有“”，而，可得，但不能保证“对于任意且，”成立，∴“”是“对于任意且，”的必要而不充分条件.故选：B.7．已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，过作的垂线，垂足为.若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由抛物线定义及已知条件知△为等边三角形，进而可求.【详解】由抛物线的定义知：，又，∴△为等边三角形，易知：.故选：C.8．设，若为函数的极大值点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.当时，由，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故.当时，由时，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故.综上所述，成立.故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.9．数列的通项公式为，，前项和为，给出下列三个结论：①存在正整数，使得；②存在正整数，使得；③记则数列有最小项，其中所有正确结论的序号是（

）A．① B．③ C．①③ D．①②③【答案】C【解析】由，令，求得，得到，可判定①正确；由当时，，且单调递增，结合基本不等式，可判定②不正确；由，且当时，，且单调递增，可判定③正确.【详解】由题意，数列的通项公式为，令，即，解得或（舍去），即，所以，即存在正整数，使得，所以①正确；由，可得当时，，且单调递增，当且时，可得，，所以；当且时，，当且仅当时等号成立，综上可得，不存在正整数，使得，所以②不正确；由数列的通项公式为，可得，且当时，，且单调递增，所以，所以当时，数列有最小项，所以③正确.故选：C.10．已知函数，若存在非零实数，使得成立､则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】不妨设，然后分和两种情况讨论求解.【详解】不妨设，当时，，，所以不存在非零实数，使得成立；当时，若存在非零实数，使得成立，则方程有正根，即函数与有交点，先考虑函数的图象与直线相切的情况，设切点为，则，得，令，则，所以函数在上单调递增，则，所以方程的根只有一个，即，所以，所以函数的图象与直线相切时，切点为原点，所以要使函数的图象与直线有交点，只需，即，所以实数k的取值范围为．故选：A.【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的应用，解题的关键是将问题转化为当时，函数与有交点，然后利用导数有几何意义求解函数的图象与直线相切的情况，从而可得答案，考查数学转化思想，属于较难题.二、双空题11．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则_________；的离心率为_________.【答案】

1

【分析】求出渐近线，利用渐近线垂直得到，求出和离心率.【详解】由题意得：两条渐近线方程为，且，解得：，此时离心率为故答案为：1，三、填空题12．若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是_________【答案】【详解】由题意该函数的定义域，由．因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点．解法1（图像法）再将之转化为与存在交点．当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填.解法2（分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得四、双空题13．已知是等差数列,,且成等比数列,则______________;的前项和______________．【答案】

-5

【分析】(1)设出等差数列的公差,根据成等比数列,列出式子,将均用代替,解出,即可求的值;(2)由上一空求得的,根据等差数列前项和公式代入即可求出答案.【详解】解:由题知是等差数列,不妨记公差为,因为成等比数列,,所以,即,解得:,故;由于,,所以.故答案为:-5;五、填空题14．已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为__________.【答案】【分析】利用分离参数法得，，，，从而转化为直线与函数图象交点个数问题，利用数形结合的思想即可得到答案.【详解】当时，令，则，令，，，令，即，解得，此时单调递增，令，即，解得，此时单调递减，故在时，取得最大值，且当趋近于0时，趋近于负无穷，当趋近于正无穷时，趋近于0，且大于0，当时，，当时，，故此时不是零点，所以，令，，令，，根据符合函数单调性可知，此时函数单调递减，当趋近于负无穷时，趋近于0，且小于0，当趋近于0时，趋近于负无穷，在同一坐标系中作出与如下图所示，题目转化为与函数与在图像上有两交点，故由图得.故答案为：.15．已知数列满足，给出下列命题：①当时，数列为递减数列；②当时，数列不一定有最大项；③当时，数列为递减数列；④当为正整数时，数列必有两项相等的最大项.请写出正确的命题的序号__________．【答案】③④【详解】分析：由于，再根据k的条件讨论即可得出.详解：①当时，，，当时，，因此数列不是递减数列，故①不正确；②当时，，由于因此数列一定有最大项，故②不正确；③当时，，，因此数列为递减数列，正确；④当为正整数时，，当时，，当时，令，解得，则，当时，，结合②，数列必有两项相等的最大项，故正确.综上可知：只有③④正确.故答案为③④.点睛：本题考查了数列的单调性，分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.六、解答题16．已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）在数列中，，，求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先利用解出，然后利用可推出，可证明数列是等比数列，从而得出；（2）利用累加求通项和等比数列求和公式可得答案.【详解】（1）当n=1时，，

∴a1=2.

当时，∵

①

②①-②得：，即∴数列是首项为2，公比为3的等比数列.

∴.（2）∵，∴当时，

相加得.

当n=1时，，

∴.【点睛】递推数列求数列通项公式，对于形如a(n+1)=an+f(n)或者a(n+1)-an=f(n)的关系式，其中f(n)可以为常数(此时为等差数列)、也可以是关于n的函数如一次函数、分式函数、二次函数和指数函数等，此时求解通项公式时均可使用累加法.17．设函数，曲线在点处的切线与轴垂直.(1)若，求在区间上的值域；(2)若有三个零点，求实数的取值范围；(3)当有三个零点，且满足，记，请直接写出的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)先应用曲线在点处的切线与轴垂直可得，再应用单调性求最值即可；(2)把有三个零点转化为极大值大于零，极小值小于零，计算即可；(3)因为有三个零点，则可求范围.【详解】（1）因为,所以,曲线在点处的切线与轴垂直.所以,可得,,令,所以在区间,上单调递增，令,在区间上单调递减，因为,所以,,,所以在区间上的值域为（2）有三个零点，则,,则实数的取值范围（3）当有三个零点，且满足，记,则,所以可得.18．已知函数（，为正实数）．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若函数的最小值为，求的取值范围．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）见解析，（Ⅲ）【分析】(I)先对函数求导，然后根据导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线方程；(II)先对函数求导，可得．通过讨论a﹣2的正负，判断导数在[0，+∞）上的符号，进而求出函数的单调区间；(III)结合（II）中函数单调区间，可求函数取得最小值的条件及最小值，从而可求a的范围.【详解】(I)当时，，则所以.又，因此所求的切线方程为；(II)当，即时，因为，所以，所以函数在上单调递增.当，即时，令，则（），解得.当时，，当时，.所以函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为；(III)由(II)知当时，函数在上单调递增，则的最小值为，满足题意.当时，函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为，则的最小值为，而，不合题意.所以的取值范围是.19．数字的任意一个排列记作，设为所有这样的排列构成的集合.集合任意整数都有，集合任意整数都有（1）用列举法表示集合；（2）求集合的元素个数；（3）记集合的元素个数为，证明：数列是等比数列.【答案】(1),；(2)的元素个数为1；(3)证明见解析【分析】(1)集合属于单调递增排列,集合属于实数对,利用列举法表示集合即可；(2)根据题意知、,所以．所以集合的元素个数为1．(3)由(2)知,.先求得.当时,考虑中的元素.分类讨论：假设与两种情况,再结合等比数列的定义进行证明．【详解】(1),(2)考虑集合中的元素.由已知,对任意整数都有,所以,所以.由的任意性可知,是的单调递增排列,所以.又因为当时,对任意整数都有.所以,所以.所以集合的元素个数为1.(3)由(2)知,.因为,所以.当时,考虑中的元素.