材料力学圆轴扭转

材料力学圆轴扭转第1页，共88页，2023年，2月20日，星期一

杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（torsion）。本章主要分析圆轴扭转时横截面上的剪应力以及两相邻横截面的相对扭转角，同时介绍圆轴扭转时的强度与刚度设计方法。第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第2页，共88页，2023年，2月20日，星期一圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计圆杆扭转时的变形及刚度条件工程中承受扭转的圆轴外加扭力矩、扭矩与扭矩图结论与讨论第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算剪应力互等定理剪切胡克定律第3页，共88页，2023年，2月20日，星期一工程中承受扭转的圆轴第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算返回返回总目录第4页，共88页，2023年，2月20日，星期一请判断哪一杆件将发生扭转？当两只手用力相等时，拧紧螺母的工具杆将产生扭转。工程中承受扭转的圆轴第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第5页，共88页，2023年，2月20日，星期一请判断哪一杆件将发生扭转？拧紧螺母的工具杆不仅产生扭转，而且产生剪切。工程中承受扭转的圆轴第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第6页，共88页，2023年，2月20日，星期一传动轴请判断哪些零件将发生扭转？传动轴将产生扭转工程中承受扭转的圆轴第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第7页，共88页，2023年，2月20日，星期一工程中承受扭转的圆轴第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第8页，共88页，2023年，2月20日，星期一请判断哪一杆件将发生扭转？连接汽轮机和发电机的传动轴将产生扭转。工程中承受扭转的圆轴第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第9页，共88页，2023年，2月20日，星期一工程中承受扭转的圆轴第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第10页，共88页，2023年，2月20日，星期一工程中承受扭转的圆轴第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第11页，共88页，2023年，2月20日，星期一工程中承受扭转的圆轴第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第12页，共88页，2023年，2月20日，星期一工程中承受扭转的圆轴第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第13页，共88页，2023年，2月20日，星期一工程中承受扭转的圆轴第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第14页，共88页，2023年，2月20日，星期一请判断轴受哪些力？将发生什么变形？工程中承受扭转的圆轴第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第15页，共88页，2023年，2月20日，星期一外加扭力矩、扭矩与扭矩图返回返回总目录第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第16页，共88页，2023年，2月20日，星期一外加扭力矩、扭矩与扭矩图第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴计算中，通常给出传动功率P和转递n，则传动轴所受的外加扭力矩Me可用下式计算：

其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/分（r/min）。如果功率P的单位用马力（1马力=735.5N•m/s），则第17页，共88页，2023年，2月20日，星期一外加扭力矩、扭矩与扭矩图第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力——扭矩，圆轴两端受外加扭力矩Me作用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩,称为扭矩（twistmoment），用Mx表示。

nMeMeMxMeMx+第18页，共88页，2023年，2月20日，星期一外加扭力矩、扭矩与扭矩图第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力——扭矩，圆轴两端受外加扭力矩Me作用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩,称为扭矩（twistmoment），用Mx表示。

MeMeMeMx_nMx第19页，共88页，2023年，2月20日，星期一如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线方向所有横截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在轴上的外力偶矩。扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为扭矩图(diagramoftorsionmoment)。绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似。外加扭力矩、扭矩与扭矩图第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算当在轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴各段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用截面法确定各段横截面上的扭矩。第20页，共88页，2023年，2月20日，星期一例题1圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单位为N.m，尺寸单位为mm。试：画出圆轴的扭矩图。

外加扭力矩、扭矩与扭矩图第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第21页，共88页，2023年，2月20日，星期一解：1．确定控制面

外加力偶处截面A、B、C、D均为控制面。

2．应用截面法，由平衡方程确定各段圆轴内的扭矩

。

外加扭力矩、扭矩与扭矩图第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第22页，共88页，2023年，2月20日，星期一

3．建立Mx－x坐标系，画出扭矩图建立Mx－x坐标系，其中x轴平行于圆轴的轴线，Mx轴垂直于圆轴的轴线。将所求得的各段的扭矩值，标在Mx－x坐标系中，得到相应的点，过这些点作x轴的平行线，即得到所需要的扭矩图。

外加扭力矩、扭矩与扭矩图第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第23页，共88页，2023年，2月20日，星期一剪应力互等定理剪切胡克定律第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算返回返回总目录第24页，共88页，2023年，2月20日，星期一第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算剪应力互等定理剪切胡克定律

考察承受剪应力作用的微元体，假设作用在微元左、右面上的剪应力为，这两个面上的剪应力与其作用面积的乘积，形成一对力，二者组成一力偶。为了平衡这一力偶，微元的上、下面上必然存在剪应力ˊ，二者与其作用面积相乘后形成一对力，组成另一力偶。为保持微元的平衡，这两个力偶的力偶矩必须大小相等，方向相反。第25页，共88页，2023年，2月20日，星期一xyzdxdydz第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算剪应力互等定理剪切胡克定律

微元能不能平衡？哪些力互相平衡？怎样才能平衡？第26页，共88页，2023年，2月20日，星期一第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算剪应力互等定理剪切胡克定律

xyzdxdydz怎样才能平衡？根据力偶平衡理论第27页，共88页，2023年，2月20日，星期一第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算剪应力互等定理剪切胡克定律

xyzdxdydz剪应力成对定理在两个互相垂直的平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线，这就是剪应力成对定理（pairingprincipleofshearstresses）。第28页，共88页，2023年，2月20日，星期一第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算剪应力互等定理剪切胡克定律

O剪切胡克定律当在弹性范围内加载时，剪应力与剪应变成正比:这种线性关系称为剪切胡克定律。比例常数G称为材料的切变模量。第29页，共88页，2023年，2月20日，星期一圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算返回返回总目录第30页，共88页，2023年，2月20日，星期一应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的内力分量——扭矩，但是不能确定横截面上各点剪应力的大小。为了确定横截面上各点的剪应力，在确定了扭矩后，还必须知道横截面上的剪应力是怎样分布的。圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第31页，共88页，2023年，2月20日，星期一应力分布应力公式变形应变分布平面假定物性关系静力方程圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算确定横截面上剪应力的方法与过程第32页，共88页，2023年，2月20日，星期一

平面假定

变形协调方程

物性关系——剪切胡克定律

静力学方程

圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第33页，共88页，2023年，2月20日，星期一

平面假定圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第34页，共88页，2023年，2月20日，星期一假定：圆轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平面，两相邻横截面刚性地相互转过一角度。这一假定称为平面假定。圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第35页，共88页，2023年，2月20日，星期一圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第36页，共88页，2023年，2月20日，星期一

变形协调方程圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第37页，共88页，2023年，2月20日，星期一若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱，根据上述结论，在dx长度上，虽然所有圆柱的两端面均转过相同的角度d，但半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同，半径越小者剪应变越小。圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第38页，共88页，2023年，2月20日，星期一设到轴线任意远处的剪应变为（），则从图中可得到如下几何关系：

圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第39页，共88页，2023年，2月20日，星期一

物性关系——剪切胡克定律圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第40页，共88页，2023年，2月20日，星期一O剪切胡克定律圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第41页，共88页，2023年，2月20日，星期一圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第42页，共88页，2023年，2月20日，星期一圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第43页，共88页，2023年，2月20日，星期一

静力学方程圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第44页，共88页，2023年，2月20日，星期一圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第45页，共88页，2023年，2月20日，星期一式中GIP—扭转刚度；IP—横截面的极惯性矩。圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第46页，共88页，2023年，2月20日，星期一

圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第47页，共88页，2023年，2月20日，星期一圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第48页，共88页，2023年，2月20日，星期一圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第49页，共88页，2023年，2月20日，星期一最大剪应力Wp——扭转截面模量。圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第50页，共88页，2023年，2月20日，星期一截面的极惯性矩与扭转截面模量=d/D

对于直径为d

的实心圆截面

对于内、外直径分别为d

和

D

的圆环截面圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第51页，共88页，2023年，2月20日，星期一受扭圆轴的强度设计准则圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算与抗压杆的强度设计相似，为了保证圆轴扭转时安全可靠地工作，必须将圆轴横截面上的最大剪应力max限制在一定的数值以下，即：

这一关系式称为受扭圆轴的强度设计准则，或称圆轴扭转的强度条件。

第52页，共88页，2023年，2月20日，星期一受扭圆轴的强度设计准则圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算[

]为许用剪应力；

max是指圆轴所有横截面上最大剪应力中的最大者，对于等截面圆轴，最大剪应力发生在扭矩最大的横截面上的边缘各点；对于变截面圆轴，如阶梯轴，最大剪应力不一定发生在扭矩最大的截面，这时需要根据扭矩Mx和相应扭转截面模量WP的数值综合考虑才能确定。

第53页，共88页，2023年，2月20日，星期一已知：P＝7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比=0.5。二轴长度相同。例题2求:

实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第54页，共88页，2023年，2月20日，星期一解：首先根据轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第55页，共88页，2023年，2月20日，星期一解：对于空心轴，则有算得d2＝0.5D2=23mm圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第56页，共88页，2023年，2月20日，星期一解：确定实心轴与空心轴的重量之比空心轴D2＝46mmd2＝23mm实心轴d1=45mm在长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第57页，共88页，2023年，2月20日，星期一已知：P1＝14kW,n1=n2=120r/min,z1=36,

z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.求:各轴横截面上的最大切应力。3例题3圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第58页，共88页，2023年，2月20日，星期一P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/min3解：计算各轴的功率与转速圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第59页，共88页，2023年，2月20日，星期一Mx1=T1=1114N.mMx2=T2=557N.mMx3=T3=185.7N.m3解：计算各轴的扭矩圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第60页，共88页，2023年，2月20日，星期一3解：计算各轴的横截面上的最大切应力圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第61页，共88页，2023年，2月20日，星期一由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1＝2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的剪应力分布，有图中（A）、（B）、（C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正确的？

例题4圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第62页，共88页，2023年，2月20日，星期一

解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。例题4圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第63页，共88页，2023年，2月20日，星期一

解：因此，在里、外层交界处二者具有相同的剪应变。由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层（圆环截面）的剪切弹性模量（G1＝2G2），所以内层在二者交界处的剪应力一定大于外层在二者交界处的剪应力。据此，答案（A）和（B）都是不正确的。例题4圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第64页，共88页，2023年，2月20日，星期一

解：在答案（D）中，外层在二者交界处的剪应力等于零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的剪应变不为零，根据剪切胡克定律，剪应力也不可能等于零。例题4圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算根据以上分析，正确答案是（C）。第65页，共88页，2023年，2月20日，星期一圆杆扭转时的变形及刚度条件

返回返回总目录第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第66页，共88页，2023年，2月20日，星期一圆杆扭转时的变形及刚度条件

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算受扭圆轴的相对扭转角圆杆受扭矩作用时，dx微段的两截面绕轴线相对转动的角度称为相对扭转角沿轴线方向积分，得到第67页，共88页，2023年，2月20日，星期一圆杆扭转时的变形及刚度条件

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算受扭圆轴的相对扭转角对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，两端面的相对扭转角为：对于各段扭矩不等或截面极惯性矩不等的阶梯状圆轴，轴两端面的相对扭转角为：第68页，共88页，2023年，2月20日，星期一圆杆扭转时的变形及刚度条件

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算单位长度的相对扭转角在很多情形下，两端面的相对扭矩角不能反映圆轴扭转变形的程度，因而更多采用单位长度扭转角表示圆轴的扭转变形，单位长度扭转角即扭转角的变化率。单位长度相对扭转角为：第69页，共88页，2023年，2月20日，星期一圆杆扭转时的变形及刚度条件

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算受扭圆轴的刚度设计准则为了机械运动的稳定和工作精度，机械设计中要根据不同要求，对受扭圆轴的变形加以限制，亦即进行刚度设计。扭转刚度设计是将单位长度上的相对扭转角限制在允许的范围内，即必须使构件满足刚度设计准则或称刚度条件：

对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，刚度设计准则又可以写成：

第70页，共88页，2023年，2月20日，星期一圆杆扭转时的变形及刚度条件

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算受扭圆轴的刚度设计准则其中，[]为单位长度上的许用相对扭转角，其数值根据轴的工作要求而定。例如，精密机械的轴[]＝(0.25~0.5)()／m；一般传动轴[]＝(0.5~1.0)()／m；刚度要求不高的轴[]＝2（）／m。

第71页，共88页，2023年，2月20日，星期一圆杆扭转时的变形及刚度条件

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算受扭圆轴的刚度设计准则

需要注意的是：刚度设计中要注意单位的一致性。上式不等号左边的单位为rad/m；而右边通常所用的单位为()／m。因此，在实际设计中，若不等式两边均采用rad／m，则必须在不等式右边乘以（π／180）；若两边均采用()／m，则必须在左边乘以（180／π）。第72页，共88页，2023年，2月20日，星期一钢制空心圆轴的外直径D＝100mm，内直径d＝50mm。若要求轴在2m长度内的最大相对扭转角不超过1.5，材料的剪切弹性模量G＝80.4GPa。圆杆扭转时的变形及刚度条件

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算例题5

解：1．确定轴所能承受的最大扭矩根据刚度设计准则，有

1.求该轴所能承受的最大扭矩；2.确定此时轴横截面上的最大剪应力。第73页，共88页，2023年，2月20日，星期一圆杆扭转时的变形及刚度条件

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算例题5

解：1．确定轴所能承受的最大扭矩根据刚度设计准则，有

由已知条件，许用的单位长度上相对扭转角为空心圆轴截面的极惯性矩轴所能承受的最大扭矩为第74页，共88页，2023年，2月20日，星期一圆杆扭转时的变形及刚度条件

第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算例题5轴所能承受的最大扭矩为＝9.688×103N.m＝9.688kN.m第75页，共88页，2023年，2月20日，星期一

结论与讨论返回返回总目录第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算第76页，共88页，2023年，2月20日，星期一

圆轴强度与刚度设计的一般过程

关于公式的应用条件

开口与闭口薄壁圆环的扭转切应力结论与讨论第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算

矩形截面杆扭转时横截面上的剪应力第77页，共88页，2023年，2月20日，星期一圆轴强度与刚度设计的一般过程结论与讨论第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算

根据轴传递的功率以及轴每分钟的转数，确定作用在轴上的外加力偶的力偶矩。

应用截面法确定轴的横截面上的扭矩，当轴上同时作用有两个以上的绕轴线转动的外加扭力矩时，需要画出扭矩图。

根据轴的扭矩图，确定可能的危险面以及危险面上的扭矩数值。校核、设计轴的直径以及确定许用载荷。

计算危险截面上的最大剪应力或单位长度上的相对扭转角。

根据需要，应用强度设计准则与刚度设计准则对圆轴进行强度与刚度校核，设计轴的直径以及确定许用载荷。第78页，共88页，2023年，2月20日，星期一结论与讨论第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算需要指出的是，工程结构与机械中有些传动轴都是通过与之连接的零件或部件承受外力作用的。这时需要首先将作用在零件或部件上的力向轴线简化，得到轴的受力图。在这种情形下，圆轴将同时承受扭转与弯曲，而且弯曲可能是主要的。这一类圆轴的强度设计比较复杂。圆轴强度与刚度设计的一般过程此外，还有一些圆轴所受的外力(大小或方向)随着时间的改变而变化。