数学三考研复习配套光盘2004年试题答案和评分参考_第1页
数学三考研复习配套光盘2004年试题答案和评分参考_第2页
数学三考研复习配套光盘2004年试题答案和评分参考_第3页
数学三考研复习配套光盘2004年试题答案和评分参考_第4页
数学三考研复习配套光盘2004年试题答案和评分参考_第5页
已阅读5页,还剩24页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

2004 入学统一考试数学试题答案和评分参考数学(.曲线ylnx上与直线xy1垂直的切线方程 yx1已知f(ex)xex,且f(1)0,则f(x) 1(ln Lx2y22L

xdy2ydx3 3 方程x2 4x 2y0(x0)的通解 y1

设矩阵A 0,矩阵B满足ABA*2BA*E,其中A*为A的伴随矩阵

1是单位矩阵,则B 设随量X服从参数为的指数分布,则P{X

DX xx0时的无穷小量x0

cost2dt,

x0 tdt,x0

,的是前一个的高阶无穷小确的排列次序 ,(A),, ,, (C),, ,,设函数f(x)连续且f(0)0则存在0使 f(x)在(0,)内单调增加 (B)f(x)在(,0)内单调减少(C)对任意的x(0,)有f(x)f(0) (D)对任意的x(,0)有f(x)f(0)设an为正项级数下列结论中正确的 若limnan=0,则级数an收敛 若存在非零常数,使得limnan,则级数an发散

若级数a收敛,则lim 0n

若级数an发散,则存在非零常数,使得limnan f(x为连续函数,F(t1dy

f(x)dx

F(2)等 2f(2) f(2) f(2) (D)0设A是3阶方阵将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q 1 1

111 111

0 (B)

1

0

01

0

0

0

设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵则必 设 量X服从正态分布N(0,1),对给定的(01),数u满P{Xu}若P{Xx}则x等 u 2

u 2

2

u1设 量X,X ,X(n1)独立同分布,且其方差为20.令Y X 2

1n n Cov(X1,Y) n

Cov(X1,Y)2

Y)n22 n

Y)n12n44设eabe2,证明ln2bln2a (ba)证法1设(xln2x

x,则(x2lnx

1ln,(x 5xe时,(x0,故(x从而当exe2时,(x(e24

0 ……9即当exe2时,(x)单调增加.因此当exe2时,(b)(a即ln2b4bln2a

4a,故ln2bln2a

4(ba ……12证法2对函数ln2x在[a,b]上应用日中值定理,ln2bln2a2ln(baa 3设(t)lnt,则(t)1lnt,当te时,(t0,即(t9t从而((e2)ln

tlne22,故ln2bln2a4(ba) ……12 某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开伞,以增,使飞机迅速并停下.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为 经测试,伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k6.0106).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?解由题设,飞机的质量m=9000kg,着陆时的水平速度v0700kmh.从飞机接触跑道开始记时,设t时刻飞机的滑行距离为x(t),速度为v(t).法 kv. ……4又dvdvdxvdv,故由以上两式得dxmdv ……7 dx x(t)mv

因v(0vx(00,故Cm

x(tm(vk当v(t)0x(t)k

6.0

11法 kv, ……4 v

kdt.

两端积分得通解v

m,代入初始条件

v0解得Cv0tt故v(t)v0em

k

7

v(t)dt 0ek

0

11法

d2xk

d2x

kdx0 ……4m ,m ,k

dt m k其特征方程为20,解之得0,,故xCCem ……7 k

0,

k

2em

,得

k0于是x(t) 0(1k

m).当t时,x(t) 0k

11I2x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy,其中z1x2y2z0的上侧 解取xoyx2y21所围部分的下侧,记为由与围成的空I2x3dydz2y3dzdx3(z2 2x3dydz2y3dzdx3(z22x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy6(x2y2 3

1 2 2=60d0 (zr)rdz=120[r(1r2

r(1r)]dr ……92x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy

3dxdy3x2y2因此I23 ……12设有方程xnnx10n为正整数.xn当1

nn

x收敛证fn(x)xnx1.x0f(xnxn1n0nnn故fn(x)在[0,)上单调增加 ……3fn(0)10fn(1)n0xnnx10x1 1

……6由xnnx10与xn0,知0xn n

,故当1时,0

(

.……9 n而正项级数n

1时,级数

收敛 ……11zz(xyx26xy10y22yzz2180zz(xy的解因为x26xy10y22yzz2180 所以2x6y2yx2zx0,6x20y2z2yy2zy0 ……2z

x3y x令令

,得

3x10yz

,故

z

x xx26xy10y22yzz218

,可得y3z

yz

……5由于22

2z2(z

2z0,62

2

2z

y

202z2z2y2z2(z

2z2z y

y

……9A

,B161

1,C2

5ACB20 0A10(9,3)z(xyz(9,3)36ACB2

1,B 1,C 5 0A10,从而点(-9,3)z(xy6z(9,3)3 12 (1a)xx x02x(2a)x 设有齐次线性方程组

(n2),anx1nx2 (na)xn解法 对方程组的系数矩阵A作初等行变换, 1 1A

2

0a n aa a0r(A1<n,故方程组有非零解,其同解方程组为x1x2xn0(1,1,0,,0)T(1,0,1,,0)T, (1,0,0,,1)T12xk11其中k1,4a0时,对矩阵B1 1 an(n 0 B 0

0.6 1

1可知an(n1rA)n1n2 2xx 3xx

,由此得基础解系为12,,n)于是方程组的通解为xk,其中k为任意常数. ……9分解法2方程组的系数行列式为1 A 2

an(n ……32 n故当A0,即a0或a 2a0时,对系数矩阵A

1 1 1 1 1 A n 0 故方程组的同解方程组为x1x2 xn由此得基础解系为(1,1,0, (1,0,1,,0)T (1,0,0,,1)T

xk11kn1n1,其中k1,,kn1为任意常数 ……6a

时,对系数矩阵A1 1 1 1 2 2 0A n a 1a 1 1 1

0 0 0 0 1 1 2xx 3xx 故方程组的同解方程组为

,由此得基础解系为12,,n)于是方程组的通解为xk其中k为任意常数 ……921)(9分 设矩阵A

3的特征方程有一个二重根,求aA

5解AEA

2)(2818 2 若2是特征方程的二重根,则有2216183a0,解得a2 ……4 3此时,A的特征值为2,2,6,矩阵2E-A= 3的秩为1,故2对应的线性无 ……6若2不是特征方程的二重根,则28183a为完全平方,从而183a163解得a23

33

3 32,故4 1 ……922)(9分 ,P(B|A) ,P(A|B) X A发生,Y1,B发生

P( 解(I)由于P(AB)P(A)P(B|A) ,P(B) ……2 P(A| 所以P{X1,Y1}P(AB)

P{X1,Y0}P(AB)P(A)P(AB) 6P{X0,Y1}P(AB)P(B)P(AB)1P{X0,Y0}P(AB)1P(AB)=1P(A)P(B)P(AB)3(P{X0,Y01

1

26 1 4

6 则EX ,EY ,DX ,DY= ,E(XY)= 故Cov(X,Y)E(XYEXEY

1

15DX

……91

,x

x11.X

,为来自总体X

(II)的最大似然估计量,x解Xf(xx1x (I)由于EXxf(x;)dx1xx1dx1 ……21X

X1

X

……4

,

1(i1,2,,

6L()f(xi;) xn

nxi1(i1,2,,nL()0,取对数得lnL()nln1)lnxi

dlnL()

nln

,令dlnL()0,可得 n n

ilni

.n.

……9lnXi数学(二.设f(x)lim(n1)x,则f(x)的间断点为x nnx2y(x由参数方程

yy(x

设函数zz(x,y)由方程ze2x3z2y确定,则3zz 微分方程yx3)dx2xdy0(5)

65

y1x3 5二、选择题(8432分.在每小题给出的四个选项中,(7)设f(x)x(1x), x0f(x的极值点,但(00)yx0f(x的极值点,但(00)y

f(x)的拐点f(x)的拐点x0f(x的极值点,且(00)yf(x的拐点n)(1)(1122n xn)(1)(1122n lim

等 (A)2ln2xdx (B)22lnxdx (C)22ln(1x)dx (D)2ln2(1 (8)微分方程yyx21sinx的特解形式可设 yax2bxcx(AsinxBcosx)yx(ax2bxcAsinxBcosx)yax2bxcAcosx设函数f(u)连续,区域D(x,y)x2y22y,则f(xy)dxdy等 D (A)1 f(xy)dy (B)20 f( (C)d2sinf(r2sincos)dr (D)d2sinf(r2sincos)rdr (11)(12)12cosx 求极限lim3 1x0x 解法 原式lim

……3

(sin

……6 ……9 1

sinx

102x02cos 2原式lim

……3 lim

……6

……8 limcosx1

10 f(x在()上有定义在区间[02f(xx(x24,若对任意xf(x)kf(x2,其中k为常数.f(x在[20](II)问k为何值时,解(I)当2x0,即0x22时,

f(x)x0处可导f(x)kf(x2)k(x2)[(x2)24kx(x2)(x4 3由题设知f(0)0 ……4

f(x)f(0)

x(x24)

6

x

f(0)limf(x)f(0)

kx(x2)(x

8k 8 x 令f(0)f(0),得k1.即当k1时,f(x)在x0处可导 ……10 (17(

f(x

sintdt2f(x是以为周期的周期函数;(II)f(x的值域22解(I)f(x) sintdt ……3设tuf(x)

sin(u)du

sinuduf(x,……5 f(x是以为周期的周期函数因为sinx在(,)上连续且周期为,故只需在[0,]上讨论其值域.因为f(x)sin(x)sinxcosxsinx, ……8分2f(x)0xx3 由于f() 4sintdt4

2,f )

4sintdt4

3sintdt4

4sintdt22f(0)2sintdt1,f()2(sint)dt102因而f(x)的最小值是2 ,故f(x)的值域是[2 2].……112ee 曲线y 与直线x0,xt(t0)及y0围成一曲边梯形.该曲边梯形绕2求S(t)(II)Vt

limS(t)tF解(I)S(t)02 ……2texe texex20

dx2

)dx,4(2(t texexV(t)0ydx0S

)dx 62以 2. ……7VF(t)t

etet)2 ……8 exex et limS(t)lim20

)

11 tF (ee2

t2(ee)(ee lietlit 12tet19(12分)(15)20(11分)(16) zf(xye)f

, 解 2xfyexyf, ……3 z2yfxexyf 52z

xyxy xy 2x[f11(2 f12xe xye ye[f21( f22xe 10 (1a)xxx 2x(2a)x2x2x0 0

4x4x4x(4a)x0 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.1A作初等行变换, 1 1A=

2 3 4

0

……2 由此得基础解系为(1,1,0,0)T,(1,0,1,0)T,(1,0, ……4 ……5 1 0 当a0时,B ……6

a10rA34

3x 0 4xx 由此得基础解系为(1,2,3,4)T ……8所以所求方程组的通解为xk,其中k为任意常数 ……9 1 2 解法2方程组的系数行列式A ……3 3 4 A0,即a0或a10时,方程组有非零解 1 1 1 1

1 1 1 1 当a0时,对系数矩阵A作初等行变换,有A 3 0 4 故方程组的同解方程组为x1x2x3x4其基础解系为11,100)T,210,10)T,3100,1)Txk11k22k33,其中k1k2k3为任意常数.6分a10A作初等行变换,有 9 1 1 1

20

9111 21

000 210 A 3 0 3010 3010

400

400 xx

,其基础解系为1,2,3,4)Txx34x 所以所求方程组的通解为xk,其中k为任意常数 ……923(9分)(21)数学(.若limsinx(cosxb)5,则a ,b x0exf(uv)f[xg(yyxg(y)g(y)g(y2 u

gxex,1x 设f(x) 2,则1f(x1)dx 1,x 二次型f(x,x,x)(xx)2(xx)2(xx)2的秩为 (6) 12Y1Y2YnX和Y21X)1X) (

YE[ j ]2n1n2|x|sin(xf(x)

x(x1)(x

(A)(1, (B)(0, (C)(1, (D)(2, 设f(x)在(,+)内有定义,且f(x)a,g(x)f(x),x0, ,xx=0必是g(x)的第一类间断点 (B)x=0必是g(x)的第二类间断点(C)x=0必是g(x)的连续点 (D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关(8) (1)若(u2n1u2n)收敛,则un收敛 (2)若un收敛,则 n1

(3)若lim 1,则un发散.(4)若(unvn)收敛,则un,vn都收敛n (1) (2) (3) (1)设f(x)在[a,b]上连续,且f(a)0,f(b)0,则下列结论中错误的 x0(a,bfx0fx0(a,bfx0>fx0(a,bf(x00x0(a,bfx0=设n阶矩阵A与B等价,则必 当|A|a(a0)时,|B|a (B)当|A|a(a0)时,|B|a(C)当|A|0时,|B|0 (D)当|A|0时,|B|0 nAA*0,若ξ,ξ,ξ,ξAxb (B)仅含一个非零解向量(C)含有两个线性无关的解向量 (D)含有三个线性无关的解向量(13)158分

sin2

cos2 ) x2

1sin2 cos li

xsinxcosx=

……2 li x0sin2 x2x1sin= =lim

……4……61=lim ……8 6x 168分x2x2D

y)dDx2y24和(x1)2y21

x2x2

Dx2y2y)dD

x2y2 ……2(x2y2 =x2y2d 2d2r2dr0

……4 = 22

yD

y

20

r2dr 9

…7 x2x2D

y)d

(32) 89解法 DydD

1D原式=D=2[

x2y2dx2y2dD上

x2y2d ……2 22d r2drdr2dr ……5

2cos=24416)16(3 ……8 9注:

x2y2d11分;D上

x2y2d22分178分 f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足af(t)dtag(t)dtx[ab af(t)dtag(t)dt.axf(x)dxaxg(x)dxx证F(x)f(xg(x)G(x)aF(t)dt由题设知G(x)0,bx[a,b],G(a)G(bb)0,G(x)bF(x) ……2从而

xF(x)dx

xdG(x)xG(x)b

4 由于G(x)0,x[a,b],故有aG(x)dx ……6 即axF(x)dx0.因此axf(x)dxaxg(x)dx ……8设某商品的需求函数为Q1005PP0,20),Q为需求量EdEd解(I)

PQ'Q

20

……2 由R=PQ,得dRQPQ'Q(1PQ')Q(1E) ……4 P又由Ed20P1,得P= ……5当10<P<20时,Ed>1,于是dR0 ……7故当10<P<20时,降低价格反而使收益增加 ……9xxx xxx

(xS(x2 24 246求:(I)S(x(II)S(x)的表达式S(x)x4

S(0)

2 24 246

1S(x)x3x5

x(x2x4

……2 2 24x[

2 242

x3,y(0)0的解 ……42(II)

xy2

3ye3

xe

dxC]

x 1Ce2 ……7 由初始条件y(0)=0,得C= ……8x x 故y e21,因此和函数S(x) e2 ……9 α11,2,0)Tα21,α2,3α)Tα31,b2,α2b)Tβ1,3,3)T,试讨论ab为何值时,β可由α1α2α3 解设有数k1,k2,k3,使得k1α1k2α2k3α3β. ……1分记A(α1,α2,α3).对矩阵(A,β) (A,β)(A,β) a b

……3 a

a 1

当a0时,有(A,β) 1 0 可知r(A)r(A,β).故方程组(*)无解,β不能由α1,α2,α3线性表示 ……5当a0,且ab时 r(A)r(A,β)3,故方程组(*)有唯一解k11

k1

k30β可由

,

,

β

)α1

7 ab0时,对矩阵Aβ

11aaA) 1 ……9a0 00可知r(A)r(A,β)2 k11

k1c

k3c,其中c为任意常数 ……11 β1a)α1ac)α2cα3 131 b b 设n阶矩阵A 1 )解(I)1当b0|EA

=[λ1(n1)b][λ1b)]n1,3 Aλ11n1)bλ2λn1bλ11n1)b,设Aλ1的一个特征向量为11 b b ,

向量为k1k(1,1,1,,1)Tk为任意不为零的常数). ……5分对于2n1b,解齐次线性方程组[(1b)EA]x0,由 (1b)EA

b

0 ξ2(1,1,0,,0)T,ξ3(1,0,1,,0)T,,n(1,0,0,,1)T故全部特征向量为k22k33knn(k2,k3,,kn是不全为零的常数 ……7 当b0λ1λn191当b0AnP1,2,,nP1APdiag1(n1)b,1b,,1 1112当b0时,AE,对任意可逆矩阵P,均有P1APE. 注:(1,1,1,,1)T也可由求解齐次线性方程组(EA)x0得出.12213分)(22)设随量X的分布函数为F(x,α,β)

α1 x 其中参数α1 X1X2XnX的简单随机样本当α1时,β

x x当α1时,ββ2时,求未知参数α的最大似然估计量β x解当α1时,X的概率密度为f(x,β)xβ ……10,xEX

xf(x;β)dx

x

dx

……2

x

β令ββ1

XX

X

4Xx1x2,,xn xi1(i1,2,,L()f(xi;) xn 6 nxi1(i1,2,,nLβ)0,取对数得lnLβ)nlnββ1)lnxi

d[lnL(β)]

nln

,令d[lnL(

lnx0ii i

解得β ……9 ln

ln当β2时,X的概率密度为f(x,β)x3 x0,xXx1x2,,xn

xi(i1,2,,i12nL()f(x;)(xi12n

x

11 xi(i1,2,nαL(α越大,即αˆmin{x1x2xn}.于是α的最大似然估计量为ˆmin{X1X2Xn}13数学(四.(1) e 设y e2x dx e2

, x1 21

2f(x1)dx

f(x)

,x 222A00

0 0BP1APPB20042A2 0 0

a111b1,0,0)TAxb (6)(7)(8)(8) 1, 设f 0, 0

f(t)dt 1,x F(x)x0点不连续F(x)在()F(x)f(x(11)(12)(13)(14)

f(x)(15)(8分)(15)(16)(8分)(16)(17)(本题满分8分)f(uv)fu(u,vfv(u,vuv.y(xe2xf(xx所满足解y2e2xf(x,x)e2xfu(x,x)e2xfv(x,x)2yx2e2x ……3分因此,所求的一阶微分方程为y2y ……4解得ye2dx(x2e2xe2dxdx ……6=(1x3C)e23

……8189分)(18)199分e2x,xF(x)e2x,x0S表示夹在x轴与曲线y=F(x)之间的面积.对任何t表示矩形txt,0yF(t)的面积.S(tSS1(t(IIS(t)的最

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论