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文档简介
2004 入学统一考试数学试题答案和评分参考数学(.曲线ylnx上与直线xy1垂直的切线方程 yx1已知f(ex)xex,且f(1)0,则f(x) 1(ln Lx2y22L
xdy2ydx3 3 方程x2 4x 2y0(x0)的通解 y1
设矩阵A 0,矩阵B满足ABA*2BA*E,其中A*为A的伴随矩阵
1是单位矩阵,则B 设随量X服从参数为的指数分布,则P{X
DX xx0时的无穷小量x0
cost2dt,
x0 tdt,x0
,的是前一个的高阶无穷小确的排列次序 ,(A),, ,, (C),, ,,设函数f(x)连续且f(0)0则存在0使 f(x)在(0,)内单调增加 (B)f(x)在(,0)内单调减少(C)对任意的x(0,)有f(x)f(0) (D)对任意的x(,0)有f(x)f(0)设an为正项级数下列结论中正确的 若limnan=0,则级数an收敛 若存在非零常数,使得limnan,则级数an发散
若级数a收敛,则lim 0n
若级数an发散,则存在非零常数,使得limnan f(x为连续函数,F(t1dy
f(x)dx
F(2)等 2f(2) f(2) f(2) (D)0设A是3阶方阵将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q 1 1
111 111
0 (B)
1
0
01
0
0
0
设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵则必 设 量X服从正态分布N(0,1),对给定的(01),数u满P{Xu}若P{Xx}则x等 u 2
u 2
2
u1设 量X,X ,X(n1)独立同分布,且其方差为20.令Y X 2
1n n Cov(X1,Y) n
Cov(X1,Y)2
Y)n22 n
Y)n12n44设eabe2,证明ln2bln2a (ba)证法1设(xln2x
x,则(x2lnx
1ln,(x 5xe时,(x0,故(x从而当exe2时,(x(e24
0 ……9即当exe2时,(x)单调增加.因此当exe2时,(b)(a即ln2b4bln2a
4a,故ln2bln2a
4(ba ……12证法2对函数ln2x在[a,b]上应用日中值定理,ln2bln2a2ln(baa 3设(t)lnt,则(t)1lnt,当te时,(t0,即(t9t从而((e2)ln
tlne22,故ln2bln2a4(ba) ……12 某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开伞,以增,使飞机迅速并停下.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为 经测试,伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k6.0106).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?解由题设,飞机的质量m=9000kg,着陆时的水平速度v0700kmh.从飞机接触跑道开始记时,设t时刻飞机的滑行距离为x(t),速度为v(t).法 kv. ……4又dvdvdxvdv,故由以上两式得dxmdv ……7 dx x(t)mv
因v(0vx(00,故Cm
x(tm(vk当v(t)0x(t)k
6.0
11法 kv, ……4 v
kdt.
两端积分得通解v
m,代入初始条件
v0解得Cv0tt故v(t)v0em
k
7
v(t)dt 0ek
0
11法
d2xk
d2x
kdx0 ……4m ,m ,k
dt m k其特征方程为20,解之得0,,故xCCem ……7 k
0,
k
2em
,得
k0于是x(t) 0(1k
m).当t时,x(t) 0k
11I2x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy,其中z1x2y2z0的上侧 解取xoyx2y21所围部分的下侧,记为由与围成的空I2x3dydz2y3dzdx3(z2 2x3dydz2y3dzdx3(z22x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy6(x2y2 3
1 2 2=60d0 (zr)rdz=120[r(1r2
r(1r)]dr ……92x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy
3dxdy3x2y2因此I23 ……12设有方程xnnx10n为正整数.xn当1
nn
x收敛证fn(x)xnx1.x0f(xnxn1n0nnn故fn(x)在[0,)上单调增加 ……3fn(0)10fn(1)n0xnnx10x1 1
……6由xnnx10与xn0,知0xn n
,故当1时,0
(
.……9 n而正项级数n
1时,级数
收敛 ……11zz(xyx26xy10y22yzz2180zz(xy的解因为x26xy10y22yzz2180 所以2x6y2yx2zx0,6x20y2z2yy2zy0 ……2z
x3y x令令
,得
3x10yz
,故
z
x xx26xy10y22yzz218
,可得y3z
yz
……5由于22
2z2(z
2z0,62
2
2z
y
202z2z2y2z2(z
2z2z y
y
……9A
,B161
1,C2
5ACB20 0A10(9,3)z(xyz(9,3)36ACB2
1,B 1,C 5 0A10,从而点(-9,3)z(xy6z(9,3)3 12 (1a)xx x02x(2a)x 设有齐次线性方程组
(n2),anx1nx2 (na)xn解法 对方程组的系数矩阵A作初等行变换, 1 1A
2
0a n aa a0r(A1<n,故方程组有非零解,其同解方程组为x1x2xn0(1,1,0,,0)T(1,0,1,,0)T, (1,0,0,,1)T12xk11其中k1,4a0时,对矩阵B1 1 an(n 0 B 0
0.6 1
1可知an(n1rA)n1n2 2xx 3xx
,由此得基础解系为12,,n)于是方程组的通解为xk,其中k为任意常数. ……9分解法2方程组的系数行列式为1 A 2
an(n ……32 n故当A0,即a0或a 2a0时,对系数矩阵A
1 1 1 1 1 A n 0 故方程组的同解方程组为x1x2 xn由此得基础解系为(1,1,0, (1,0,1,,0)T (1,0,0,,1)T
xk11kn1n1,其中k1,,kn1为任意常数 ……6a
时,对系数矩阵A1 1 1 1 2 2 0A n a 1a 1 1 1
0 0 0 0 1 1 2xx 3xx 故方程组的同解方程组为
,由此得基础解系为12,,n)于是方程组的通解为xk其中k为任意常数 ……921)(9分 设矩阵A
3的特征方程有一个二重根,求aA
5解AEA
2)(2818 2 若2是特征方程的二重根,则有2216183a0,解得a2 ……4 3此时,A的特征值为2,2,6,矩阵2E-A= 3的秩为1,故2对应的线性无 ……6若2不是特征方程的二重根,则28183a为完全平方,从而183a163解得a23
33
3 32,故4 1 ……922)(9分 ,P(B|A) ,P(A|B) X A发生,Y1,B发生
P( 解(I)由于P(AB)P(A)P(B|A) ,P(B) ……2 P(A| 所以P{X1,Y1}P(AB)
P{X1,Y0}P(AB)P(A)P(AB) 6P{X0,Y1}P(AB)P(B)P(AB)1P{X0,Y0}P(AB)1P(AB)=1P(A)P(B)P(AB)3(P{X0,Y01
1
26 1 4
6 则EX ,EY ,DX ,DY= ,E(XY)= 故Cov(X,Y)E(XYEXEY
1
15DX
……91
,x
x11.X
,为来自总体X
(II)的最大似然估计量,x解Xf(xx1x (I)由于EXxf(x;)dx1xx1dx1 ……21X
X1
X
……4
,
1(i1,2,,
6L()f(xi;) xn
nxi1(i1,2,,nL()0,取对数得lnL()nln1)lnxi
dlnL()
nln
,令dlnL()0,可得 n n
ilni
.n.
……9lnXi数学(二.设f(x)lim(n1)x,则f(x)的间断点为x nnx2y(x由参数方程
yy(x
设函数zz(x,y)由方程ze2x3z2y确定,则3zz 微分方程yx3)dx2xdy0(5)
65
y1x3 5二、选择题(8432分.在每小题给出的四个选项中,(7)设f(x)x(1x), x0f(x的极值点,但(00)yx0f(x的极值点,但(00)y
f(x)的拐点f(x)的拐点x0f(x的极值点,且(00)yf(x的拐点n)(1)(1122n xn)(1)(1122n lim
等 (A)2ln2xdx (B)22lnxdx (C)22ln(1x)dx (D)2ln2(1 (8)微分方程yyx21sinx的特解形式可设 yax2bxcx(AsinxBcosx)yx(ax2bxcAsinxBcosx)yax2bxcAcosx设函数f(u)连续,区域D(x,y)x2y22y,则f(xy)dxdy等 D (A)1 f(xy)dy (B)20 f( (C)d2sinf(r2sincos)dr (D)d2sinf(r2sincos)rdr (11)(12)12cosx 求极限lim3 1x0x 解法 原式lim
……3
(sin
……6 ……9 1
sinx
102x02cos 2原式lim
……3 lim
……6
……8 limcosx1
10 f(x在()上有定义在区间[02f(xx(x24,若对任意xf(x)kf(x2,其中k为常数.f(x在[20](II)问k为何值时,解(I)当2x0,即0x22时,
f(x)x0处可导f(x)kf(x2)k(x2)[(x2)24kx(x2)(x4 3由题设知f(0)0 ……4
f(x)f(0)
x(x24)
6
x
f(0)limf(x)f(0)
kx(x2)(x
8k 8 x 令f(0)f(0),得k1.即当k1时,f(x)在x0处可导 ……10 (17(
f(x
sintdt2f(x是以为周期的周期函数;(II)f(x的值域22解(I)f(x) sintdt ……3设tuf(x)
sin(u)du
sinuduf(x,……5 f(x是以为周期的周期函数因为sinx在(,)上连续且周期为,故只需在[0,]上讨论其值域.因为f(x)sin(x)sinxcosxsinx, ……8分2f(x)0xx3 由于f() 4sintdt4
2,f )
4sintdt4
3sintdt4
4sintdt22f(0)2sintdt1,f()2(sint)dt102因而f(x)的最小值是2 ,故f(x)的值域是[2 2].……112ee 曲线y 与直线x0,xt(t0)及y0围成一曲边梯形.该曲边梯形绕2求S(t)(II)Vt
limS(t)tF解(I)S(t)02 ……2texe texex20
dx2
)dx,4(2(t texexV(t)0ydx0S
)dx 62以 2. ……7VF(t)t
etet)2 ……8 exex et limS(t)lim20
)
11 tF (ee2
t2(ee)(ee lietlit 12tet19(12分)(15)20(11分)(16) zf(xye)f
, 解 2xfyexyf, ……3 z2yfxexyf 52z
xyxy xy 2x[f11(2 f12xe xye ye[f21( f22xe 10 (1a)xxx 2x(2a)x2x2x0 0
4x4x4x(4a)x0 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.1A作初等行变换, 1 1A=
2 3 4
0
……2 由此得基础解系为(1,1,0,0)T,(1,0,1,0)T,(1,0, ……4 ……5 1 0 当a0时,B ……6
a10rA34
3x 0 4xx 由此得基础解系为(1,2,3,4)T ……8所以所求方程组的通解为xk,其中k为任意常数 ……9 1 2 解法2方程组的系数行列式A ……3 3 4 A0,即a0或a10时,方程组有非零解 1 1 1 1
1 1 1 1 当a0时,对系数矩阵A作初等行变换,有A 3 0 4 故方程组的同解方程组为x1x2x3x4其基础解系为11,100)T,210,10)T,3100,1)Txk11k22k33,其中k1k2k3为任意常数.6分a10A作初等行变换,有 9 1 1 1
20
9111 21
000 210 A 3 0 3010 3010
400
400 xx
,其基础解系为1,2,3,4)Txx34x 所以所求方程组的通解为xk,其中k为任意常数 ……923(9分)(21)数学(.若limsinx(cosxb)5,则a ,b x0exf(uv)f[xg(yyxg(y)g(y)g(y2 u
gxex,1x 设f(x) 2,则1f(x1)dx 1,x 二次型f(x,x,x)(xx)2(xx)2(xx)2的秩为 (6) 12Y1Y2YnX和Y21X)1X) (
YE[ j ]2n1n2|x|sin(xf(x)
x(x1)(x
(A)(1, (B)(0, (C)(1, (D)(2, 设f(x)在(,+)内有定义,且f(x)a,g(x)f(x),x0, ,xx=0必是g(x)的第一类间断点 (B)x=0必是g(x)的第二类间断点(C)x=0必是g(x)的连续点 (D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关(8) (1)若(u2n1u2n)收敛,则un收敛 (2)若un收敛,则 n1
(3)若lim 1,则un发散.(4)若(unvn)收敛,则un,vn都收敛n (1) (2) (3) (1)设f(x)在[a,b]上连续,且f(a)0,f(b)0,则下列结论中错误的 x0(a,bfx0fx0(a,bfx0>fx0(a,bf(x00x0(a,bfx0=设n阶矩阵A与B等价,则必 当|A|a(a0)时,|B|a (B)当|A|a(a0)时,|B|a(C)当|A|0时,|B|0 (D)当|A|0时,|B|0 nAA*0,若ξ,ξ,ξ,ξAxb (B)仅含一个非零解向量(C)含有两个线性无关的解向量 (D)含有三个线性无关的解向量(13)158分
sin2
cos2 ) x2
1sin2 cos li
xsinxcosx=
……2 li x0sin2 x2x1sin= =lim
……4……61=lim ……8 6x 168分x2x2D
y)dDx2y24和(x1)2y21
x2x2
Dx2y2y)dD
x2y2 ……2(x2y2 =x2y2d 2d2r2dr0
……4 = 22
yD
y
20
r2dr 9
…7 x2x2D
y)d
(32) 89解法 DydD
1D原式=D=2[
x2y2dx2y2dD上
x2y2d ……2 22d r2drdr2dr ……5
2cos=24416)16(3 ……8 9注:
x2y2d11分;D上
x2y2d22分178分 f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足af(t)dtag(t)dtx[ab af(t)dtag(t)dt.axf(x)dxaxg(x)dxx证F(x)f(xg(x)G(x)aF(t)dt由题设知G(x)0,bx[a,b],G(a)G(bb)0,G(x)bF(x) ……2从而
xF(x)dx
xdG(x)xG(x)b
4 由于G(x)0,x[a,b],故有aG(x)dx ……6 即axF(x)dx0.因此axf(x)dxaxg(x)dx ……8设某商品的需求函数为Q1005PP0,20),Q为需求量EdEd解(I)
PQ'Q
20
……2 由R=PQ,得dRQPQ'Q(1PQ')Q(1E) ……4 P又由Ed20P1,得P= ……5当10<P<20时,Ed>1,于是dR0 ……7故当10<P<20时,降低价格反而使收益增加 ……9xxx xxx
(xS(x2 24 246求:(I)S(x(II)S(x)的表达式S(x)x4
S(0)
2 24 246
1S(x)x3x5
x(x2x4
……2 2 24x[
2 242
x3,y(0)0的解 ……42(II)
xy2
3ye3
xe
dxC]
x 1Ce2 ……7 由初始条件y(0)=0,得C= ……8x x 故y e21,因此和函数S(x) e2 ……9 α11,2,0)Tα21,α2,3α)Tα31,b2,α2b)Tβ1,3,3)T,试讨论ab为何值时,β可由α1α2α3 解设有数k1,k2,k3,使得k1α1k2α2k3α3β. ……1分记A(α1,α2,α3).对矩阵(A,β) (A,β)(A,β) a b
……3 a
a 1
当a0时,有(A,β) 1 0 可知r(A)r(A,β).故方程组(*)无解,β不能由α1,α2,α3线性表示 ……5当a0,且ab时 r(A)r(A,β)3,故方程组(*)有唯一解k11
k1
k30β可由
,
,
β
)α1
7 ab0时,对矩阵Aβ
11aaA) 1 ……9a0 00可知r(A)r(A,β)2 k11
k1c
k3c,其中c为任意常数 ……11 β1a)α1ac)α2cα3 131 b b 设n阶矩阵A 1 )解(I)1当b0|EA
=[λ1(n1)b][λ1b)]n1,3 Aλ11n1)bλ2λn1bλ11n1)b,设Aλ1的一个特征向量为11 b b ,
向量为k1k(1,1,1,,1)Tk为任意不为零的常数). ……5分对于2n1b,解齐次线性方程组[(1b)EA]x0,由 (1b)EA
b
0 ξ2(1,1,0,,0)T,ξ3(1,0,1,,0)T,,n(1,0,0,,1)T故全部特征向量为k22k33knn(k2,k3,,kn是不全为零的常数 ……7 当b0λ1λn191当b0AnP1,2,,nP1APdiag1(n1)b,1b,,1 1112当b0时,AE,对任意可逆矩阵P,均有P1APE. 注:(1,1,1,,1)T也可由求解齐次线性方程组(EA)x0得出.12213分)(22)设随量X的分布函数为F(x,α,β)
α1 x 其中参数α1 X1X2XnX的简单随机样本当α1时,β
x x当α1时,ββ2时,求未知参数α的最大似然估计量β x解当α1时,X的概率密度为f(x,β)xβ ……10,xEX
xf(x;β)dx
x
dx
……2
x
β令ββ1
Xβ
XX
X
4Xx1x2,,xn xi1(i1,2,,L()f(xi;) xn 6 nxi1(i1,2,,nLβ)0,取对数得lnLβ)nlnββ1)lnxi
d[lnL(β)]
nln
,令d[lnL(
lnx0ii i
解得β ……9 ln
ln当β2时,X的概率密度为f(x,β)x3 x0,xXx1x2,,xn
xi(i1,2,,i12nL()f(x;)(xi12n
x
11 xi(i1,2,nαL(α越大,即αˆmin{x1x2xn}.于是α的最大似然估计量为ˆmin{X1X2Xn}13数学(四.(1) e 设y e2x dx e2
, x1 21
2f(x1)dx
f(x)
,x 222A00
0 0BP1APPB20042A2 0 0
a111b1,0,0)TAxb (6)(7)(8)(8) 1, 设f 0, 0
f(t)dt 1,x F(x)x0点不连续F(x)在()F(x)f(x(11)(12)(13)(14)
f(x)(15)(8分)(15)(16)(8分)(16)(17)(本题满分8分)f(uv)fu(u,vfv(u,vuv.y(xe2xf(xx所满足解y2e2xf(x,x)e2xfu(x,x)e2xfv(x,x)2yx2e2x ……3分因此,所求的一阶微分方程为y2y ……4解得ye2dx(x2e2xe2dxdx ……6=(1x3C)e23
……8189分)(18)199分e2x,xF(x)e2x,x0S表示夹在x轴与曲线y=F(x)之间的面积.对任何t表示矩形txt,0yF(t)的面积.S(tSS1(t(IIS(t)的最
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