数学三考研复习配套光盘2004年试题答案和评分参考

2004 入学统一考试数学试题答案和评分参考数学（.曲线ylnx上与直线xy1垂直的切线方程 yx1已知f(ex)xex，且f(1)0，则f(x) 1(ln Lx2y22L

xdy2ydx3 3 方程x2 4x 2y0(x0)的通解 y1

设矩阵A 0，矩阵B满足ABA*2BA*E，其中A*为A的伴随矩阵

1是单位矩阵，则B 设随量X服从参数为的指数分布，则P{X

DX xx0时的无穷小量x0

cost2dt,

x0 tdt,x0

，的是前一个的高阶无穷小确的排列次序 ，(A),, ,, (C),, ,,设函数f(x)连续且f(0)0则存在0使 f(x)在(0,)内单调增加 (B)f(x)在(,0)内单调减少(C)对任意的x(0,)有f(x)f(0) (D)对任意的x(,0)有f(x)f(0)设an为正项级数下列结论中正确的 若limnan=0，则级数an收敛 若存在非零常数，使得limnan，则级数an发散

若级数a收敛，则lim 0n

若级数an发散,则存在非零常数，使得limnan f(x为连续函数，F(t1dy

f(x)dx

F(2)等 2f(2) f(2) f(2) (D)0设A是3阶方阵将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q 1 1

111 111

0 (B)

1

0

01

0

0

0

设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵则必 设 量X服从正态分布N(0,1)，对给定的(01)，数u满P{Xu}若P{Xx}则x等 u 2

u 2

2

u1设 量X,X ,X(n1)独立同分布，且其方差为20.令Y X 2

1n n Cov(X1,Y) n

Cov(X1,Y)2

Y)n22 n

Y)n12n44设eabe2，证明ln2bln2a (ba)证法１设(xln2x

x，则(x2lnx

1ln，(x 5xe时，(x0,故(x从而当exe2时，(x(e24

0 ……9即当exe2时，(x)单调增加.因此当exe2时，(b)(a即ln2b4bln2a

4a，故ln2bln2a

4(ba ……12证法２对函数ln2x在[a,b]上应用日中值定理，ln2bln2a2ln(baa 3设(t)lnt，则(t)1lnt，当te时，(t0，即(t9t从而((e2)ln

tlne22，故ln2bln2a4(ba) ……12 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开伞，以增，使飞机迅速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为 经测试，伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k6.0106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？解由题设，飞机的质量m=9000kg，着陆时的水平速度v0700kmh.从飞机接触跑道开始记时，设t时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).法 kv. ……4又dvdvdxvdv，故由以上两式得dxmdv ……7 dx x(t)mv

因v(0vx(00，故Cm

x(tm(vk当v(t)0x(t)k

6.0

11法 kv, ……4 v

kdt.

两端积分得通解v

m，代入初始条件

v0解得Cv0tt故v(t)v0em

k

7

v(t)dt 0ek

0

11法

d2xk

d2x

kdx0 ……4m ,m ,k

dt m k其特征方程为20，解之得0,，故xCCem ……7 k

0,

k

2em

，得

k0于是x(t) 0(1k

m).当t时，x(t) 0k

11I2x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy，其中z1x2y2z0的上侧 解取xoyx2y21所围部分的下侧，记为由与围成的空I2x3dydz2y3dzdx3(z2 2x3dydz2y3dzdx3(z22x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy6(x2y2 3

1 2 2=60d0 (zr)rdz=120[r(1r2

r(1r)]dr ……92x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy

3dxdy3x2y2因此I23 ……12设有方程xnnx10n为正整数.xn当1

nn

x收敛证fn(x)xnx1.x0f(xnxn1n0nnn故fn(x)在[0,)上单调增加 ……3fn(0)10fn(1)n0xnnx10x1 1

……6由xnnx10与xn0，知0xn n

，故当1时，0

(

.……9 n而正项级数n

1时，级数

收敛 ……11zz(xyx26xy10y22yzz2180zz(xy的解因为x26xy10y22yzz2180 所以2x6y2yx2zx0，6x20y2z2yy2zy0 ……2z

x3y x令令

，得

3x10yz

，故

z

x xx26xy10y22yzz218

，可得y3z

yz

……5由于22

2z2(z

2z0，62

2

2z

y

202z2z2y2z2(z

2z2z y

y

……9A

，B161

1，C2

5ACB20 0A10(9,3)z(xyz(9,3)36ACB2

1，B 1，C 5 0A10，从而点(-9,3)z(xy6z(9,3)3 12 (1a)xx x02x(2a)x 设有齐次线性方程组

(n2),anx1nx2 (na)xn解法 对方程组的系数矩阵A作初等行变换， 1 1A

2

0a n aa a0r(A1<n，故方程组有非零解，其同解方程组为x1x2xn0(1,1,0,,0)T(1,0,1,,0)T, (1,0,0,,1)T12xk11其中k1,4a0时，对矩阵B1 1 an(n 0 B 0

0.6 1

1可知an(n1rA)n1n2 2xx 3xx

，由此得基础解系为12,,n)于是方程组的通解为xk，其中k为任意常数. ……9分解法2方程组的系数行列式为1 A 2

an(n ……32 n故当A0，即a0或a 2a0时，对系数矩阵A

1 1 1 1 1 A n 0 故方程组的同解方程组为x1x2 xn由此得基础解系为(1,1,0, (1,0,1,,0)T (1,0,0,,1)T

xk11kn1n1,其中k1,,kn1为任意常数 ……6a

时，对系数矩阵A1 1 1 1 2 2 0A n a 1a 1 1 1

0 0 0 0 1 1 2xx 3xx 故方程组的同解方程组为

，由此得基础解系为12,,n)于是方程组的通解为xk其中k为任意常数 ……921)（9分 设矩阵A

3的特征方程有一个二重根，求aA

5解AEA

2)(2818 2 若2是特征方程的二重根，则有2216183a0,解得a2 ……4 3此时，A的特征值为2,2,6,矩阵2E-A= 3的秩为1，故2对应的线性无 ……6若2不是特征方程的二重根，则28183a为完全平方，从而183a163解得a23

33

3 32，故4 1 ……922)（9分 ,P(B|A) ,P(A|B) X A发生，Y1,B发生

P( 解（I）由于P(AB)P(A)P(B|A) ，P(B) ……2 P(A| 所以P{X1,Y1}P(AB)

P{X1,Y0}P(AB)P(A)P(AB) 6P{X0,Y1}P(AB)P(B)P(AB)1P{X0,Y0}P(AB)1P(AB)=1P(A)P(B)P(AB)3（P{X0,Y01

1

26 1 4

6 则EX ,EY ，DX ，DY= ，E(XY)= 故Cov(X,Y)E(XYEXEY

1

15DX

……91

,x

x11.X

,为来自总体X

（II）的最大似然估计量,x解Xf(xx1x （I）由于EXxf(x;)dx1xx1dx1 ……21X

X1

X

……4

,

1(i1,2,,

6L()f(xi;) xn

nxi1(i1,2,,nL()0，取对数得lnL()nln1)lnxi

dlnL()

nln

，令dlnL()0，可得 n n

ilni

.n.

……9lnXi数学（二.设f(x)lim(n1)x,则f(x)的间断点为x nnx2y(x由参数方程

yy(x

设函数zz(x,y)由方程ze2x3z2y确定,则3zz 微分方程yx3)dx2xdy0（5）

65

y1x3 5二、选择题（8432分.在每小题给出的四个选项中，（7）设f(x)x(1x)， x0f(x的极值点,但(00)yx0f(x的极值点,但(00)y

f(x)的拐点f(x)的拐点x0f(x的极值点,且(00)yf(x的拐点n)(1)(1122n xn)(1)(1122n lim

等 （A）2ln2xdx （B）22lnxdx （C）22ln(1x)dx （D）2ln2(1 （8）微分方程yyx21sinx的特解形式可设 yax2bxcx(AsinxBcosx)yx(ax2bxcAsinxBcosx)yax2bxcAcosx设函数f(u)连续,区域D(x,y)x2y22y,则f(xy)dxdy等 D （A）1 f(xy)dy （B）20 f( （C）d2sinf(r2sincos)dr （D）d2sinf(r2sincos)rdr （11）（12）12cosx 求极限lim3 1x0x 解法 原式lim

……3

（sin

……6 ……9 1

sinx

102x02cos 2原式lim

……3 lim

……6

……8 limcosx1

10 f(x在（）上有定义在区间[02f(xx(x24,若对任意xf(x)kf(x2,其中k为常数.f(x在[20](II)问k为何值时,解(I)当2x0,即0x22时,

f(x)x0处可导f(x)kf(x2)k(x2)[(x2)24kx(x2)(x4 3由题设知f(0)0 ……4

f(x)f(0)

x(x24)

6

x

f(0)limf(x)f(0)

kx(x2)(x

8k 8 x 令f(0)f(0)，得k1.即当k1时，f(x)在x0处可导 ……10 (17（

f(x

sintdt2f(x是以为周期的周期函数；(II)f(x的值域22解(I)f(x) sintdt ……3设tuf(x)

sin(u)du

sinuduf(x，……5 f(x是以为周期的周期函数因为sinx在(,)上连续且周期为，故只需在[0,]上讨论其值域.因为f(x)sin(x)sinxcosxsinx， ……8分2f(x)0xx3 由于f() 4sintdt4

2，f )

4sintdt4

3sintdt4

4sintdt22f(0)2sintdt1，f()2(sint)dt102因而f(x)的最小值是2 ，故f(x)的值域是[2 2].……112ee 曲线y 与直线x0,xt(t0)及y0围成一曲边梯形.该曲边梯形绕2求S(t)(II)Vt

limS(t)tF解(I)S(t)02 ……2texe texex20

dx2

)dx,4(2(t texexV(t)0ydx0S

)dx 62以 2. ……7VF(t)t

etet)2 ……8 exex et limS(t)lim20

)

11 tF (ee2

t2(ee)(ee lietlit 12tet19（12分）（15）20（11分）（16） zf(xye)f

， 解 2xfyexyf, ……3 z2yfxexyf 52z

xyxy xy 2x[f11(2 f12xe xye ye[f21( f22xe 10 (1a)xxx 2x(2a)x2x2x0 0

4x4x4x(4a)x0 试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.1A作初等行变换， 1 1A=

2 3 4

0

……2 由此得基础解系为(1,1,0,0)T，(1,0,1,0)T，(1,0, ……4 ……5 1 0 当a0时，B ……6

a10rA34

3x 0 4xx 由此得基础解系为(1,2,3,4)T ……8所以所求方程组的通解为xk,其中k为任意常数 ……9 1 2 解法2方程组的系数行列式A ……3 3 4 A0，即a0或a10时,方程组有非零解 1 1 1 1

1 1 1 1 当a0时，对系数矩阵A作初等行变换,有A 3 0 4 故方程组的同解方程组为x1x2x3x4其基础解系为11,100)T,210,10)T,3100,1)Txk11k22k33,其中k1k2k3为任意常数.6分a10A作初等行变换，有 9 1 1 1

20

9111 21

000 210 A 3 0 3010 3010

400

400 xx

，其基础解系为1,2,3,4)Txx34x 所以所求方程组的通解为xk,其中k为任意常数 ……923（9分）（21）数学（.若limsinx(cosxb)5，则a ，b x0exf(uv)f[xg(yyxg(y)g(y)g(y2 u

gxex,1x 设f(x) 2，则1f(x1)dx 1,x 二次型f(x,x,x)(xx)2(xx)2(xx)2的秩为 （6） 12Y1Y2YnX和Y21X)1X) (

YE[ j ]2n1n2|x|sin(xf(x)

x(x1)(x

(A)(1, (B)(0, (C)(1, (D)(2, 设f(x)在(,+)内有定义，且f(x)a，g(x)f(x),x0， ,xx=0必是g(x)的第一类间断点 (B)x=0必是g(x)的第二类间断点(C)x=0必是g(x)的连续点 (D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关（8） (1)若(u2n1u2n)收敛，则un收敛 (2)若un收敛，则 n1

(3)若lim 1，则un发散.(4)若(unvn)收敛，则un,vn都收敛n (1) (2) (3) (1)设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)0,f(b)0，则下列结论中错误的 x0(a,bfx0fx0(a,bfx0>fx0(a,bf(x00x0(a,bfx0=设n阶矩阵A与B等价,则必 当|A|a(a0)时,|B|a (B)当|A|a(a0)时,|B|a(C)当|A|0时,|B|0 (D)当|A|0时,|B|0 nAA*0，若ξ,ξ,ξ,ξAxb (B)仅含一个非零解向量(C)含有两个线性无关的解向量 (D)含有三个线性无关的解向量（13）158分

sin2

cos2 ) x2

1sin2 cos li

xsinxcosx=

……2 li x0sin2 x2x1sin＝ ＝lim

……4……61＝lim ……8 6x 168分x2x2D

y)dDx2y24和(x1)2y21

x2x2

Dx2y2y)dD

x2y2 ……2（x2y2 =x2y2d 2d2r2dr0

……4 = 22

yD

y

20

r2dr 9

…7 x2x2D

y)d

(32) 89解法 DydD

1D原式=D=2[

x2y2dx2y2dD上

x2y2d ……2 22d r2drdr2dr ……5

2cos=24416)16(3 ……8 9注：

x2y2d11分；D上

x2y2d22分178分 f(x)，g(x)在[a,b]上连续，且满足af(t)dtag(t)dtx[ab af(t)dtag(t)dt.axf(x)dxaxg(x)dxx证F(x)f(xg(x)G(x)aF(t)dt由题设知G(x)0，bx[a,b]，G(a)G(bb)0，G(x)bF(x) ……2从而

xF(x)dx

xdG(x)xG(x)b

4 由于G(x)0，x[a,b]，故有aG(x)dx ……6 即axF(x)dx0.因此axf(x)dxaxg(x)dx ……8设某商品的需求函数为Q1005PP0,20)，Q为需求量EdEd解(I)

PQ'Q

20

……2 由R=PQ，得dRQPQ'Q(1PQ')Q(1E) ……4 P又由Ed20P1，得P= ……5当10<P<20时，Ed>1，于是dR0 ……7故当10<P<20时，降低价格反而使收益增加 ……9xxx xxx

(xS(x2 24 246求：(I)S(x(II)S(x)的表达式S(x)x4

S(0)

2 24 246

1S(x)x3x5

x(x2x4

……2 2 24x[

2 242

x3,y(0)0的解 ……42(II)

xy2

3ye3

xe

dxC]

x 1Ce2 ……7 由初始条件y(0)=0，得C= ……8x x 故y e21，因此和函数S(x) e2 ……9 α11,2,0)Tα21,α2,3α)Tα31,b2,α2b)Tβ1,3,3)T,试讨论ab为何值时，β可由α1α2α3 解设有数k1,k2,k3,使得k1α1k2α2k3α3β. ……1分记A(α1,α2,α3).对矩阵(A,β) (A,β)(A,β) a b

……3 a

a 1

当a0时，有(A,β) 1 0 可知r(A)r(A,β).故方程组(*)无解，β不能由α1,α2,α3线性表示 ……5当a0,且ab时 r(A)r(A,β)3，故方程组(*)有唯一解k11

k1

k30β可由

,

,

β

)α1

7 ab0时，对矩阵Aβ

11aaA) 1 ……9a0 00可知r(A)r(A,β)2 k11

k1c

k3c，其中c为任意常数 ……11 β1a)α1ac)α2cα3 131 b b 设n阶矩阵A 1 )解(I)1当b0|EA

＝[λ1(n1)b][λ1b)]n1,3 Aλ11n1)bλ2λn1bλ11n1)b，设Aλ1的一个特征向量为11 b b ,

向量为k1k(1,1,1,,1)Tk为任意不为零的常数)． ……5分对于2n1b，解齐次线性方程组[(1b)EA]x0，由 (1b)EA

b

0 ξ2(1,1,0,,0)T，ξ3(1,0,1,,0)T，,n(1,0,0,,1)T故全部特征向量为k22k33knn(k2,k3,,kn是不全为零的常数 ……7 当b0λ1λn191当b0AnP1,2,,nP1APdiag1(n1)b,1b,,1 1112当b0时，AE，对任意可逆矩阵P,均有P1APE． 注：(1,1,1,,1)T也可由求解齐次线性方程组(EA)x0得出.12213分)（22）设随量X的分布函数为F(x,α,β)

α1 x 其中参数α1 X1X2XnX的简单随机样本当α1时,β

x x当α1时,ββ2时,求未知参数α的最大似然估计量β x解当α1时，X的概率密度为f(x,β)xβ ……10，xEX

xf(x;β)dx

x

dx

……2

x

β令ββ1

Xβ

XX

X

4Xx1x2,,xn xi1(i1,2,,L()f(xi;) xn 6 nxi1(i1,2,,nLβ)0，取对数得lnLβ)nlnββ1)lnxi

d[lnL(β)]

nln

，令d[lnL(

lnx0ii i

解得β ……9 ln

ln当β2时，X的概率密度为f(x,β)x3 x0，xXx1x2,,xn

xi(i1,2,,i12nL()f(x;)(xi12n

x

11 xi(i1,2,nαL(α越大，即αˆmin{x1x2xn}.于是α的最大似然估计量为ˆmin{X1X2Xn}13数学（四.（1） e 设y e2x dx e2

, x1 21

2f(x1)dx

f(x)

,x 222A00

0 0BP1APPB20042A2 0 0

a111b1,0,0)TAxb （6）（7）（8）（8） 1, 设f 0, 0

f(t)dt 1,x F(x)x0点不连续F(x)在()F(x)f(x（11）（12）（13）（14）

f(x)(15)(8分)（15）(16)(8分)（16）(17)(本题满分8分)f(uv)fu(u,vfv(u,vuv.y(xe2xf(xx所满足解y2e2xf(x,x)e2xfu(x,x)e2xfv(x,x)2yx2e2x ……3分因此，所求的一阶微分方程为y2y ……4解得ye2dx(x2e2xe2dxdx ……6＝(1x3C)e23

……8189分)（18）199分e2x,xF(x)e2x,x0S表示夹在x轴与曲线y=F(x)之间的面积.对任何t表示矩形txt，0yF(t)的面积.S(tSS1(t(IIS(t)的最