概率论与数理统计第三讲

概率论与数理统计第三讲1第1页，共33页，2023年，2月20日，星期一

全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率.综合运用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0一、全概率公式第2页，共33页，2023年，2月20日，星期一

例1有三个箱子，分别编号为1、2、3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2个红球3白球，3号箱装有3个红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.解：记Bi={球取自i号箱},

i=1,2,3;

A={取得红球}即A=B1A+B2A+B3A，

A发生总是伴随着B1，B2，B3之一同时发生，P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)运用加法公式得123且B1A、B2A、B3A两两互斥第3页，共33页，2023年，2月20日，星期一将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)代入数据计算得：P(A)=8/15第4页，共33页，2023年，2月20日，星期一也称满足上述条件的B1,B2,…,Bn为完备事件组.定义设S为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn为E的一组事件.若则称B1,B2,…,Bn为样本空间S的一个划分.第5页，共33页，2023年，2月20日，星期一全概率公式:

设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1,B2,…,Bn为S的一个划分，且有P(Bi)>0，i=1,2,…,n,则在较复杂情况下直接计算P(A)不易,但A总是伴随着某个Bi出现，适当地去构造这一组Bi往往可以简化计算.第6页，共33页，2023年，2月20日，星期一某一事件A的发生有各种可能的原因，如果A是由原因Bi(i=1,2,…,n)所引起，则A发生的概率是每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式.或理解为：全概率公式应用演示实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”第7页，共33页，2023年，2月20日，星期一有三个箱子，分别编号为1、2、3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2个红球3个白球，3号箱装有3个红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白?二、贝叶斯公式第8页，共33页，2023年，2月20日，星期一某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.记Bi={球取自i号箱},i=1,2,3;

A={取得红球}求P(B1|A)运用全概率公式计算P(A)将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式1231红4白?第9页，共33页，2023年，2月20日，星期一该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.贝叶斯公式：

设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1,B2,…,Bn为S的一个划分，且P(A)>0，P(Bi)>0，（i=1,2,…,n）,则第10页，共33页，2023年，2月20日，星期一例2某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则表示“抽查的人不患癌症”.已知P(C)=0.005,P()=0.995,

P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04解:设C={抽查的人患有癌症}，

A={试验结果是阳性}，求P(C|A).第11页，共33页，2023年，2月20日，星期一现在来分析一下结果的意义.由贝叶斯公式，可得代入数据计算得:

P(C｜A)=0.10662.检出阳性是否一定患有癌症?

1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？第12页，共33页，2023年，2月20日，星期一如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率P(C)=0.005

患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为

P(C｜A)=0.1066说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？第13页，共33页，2023年，2月20日，星期一2.检出阳性是否一定患有癌症?

试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为

P(C｜A)=0.1066即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66%(平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.

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贝叶斯公式在贝叶斯公式中，P(Bi)和P(Bi|A)分别称为原因的验前概率和验后概率.P(Bi)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不知道事件A是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.当有了新的信息（知道A发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Bi|A)有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。第15页，共33页，2023年，2月20日，星期一在不了解案情细节(事件A)之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为比如原来认为作案可能性较小的某甲，现在变成了重点嫌疑犯.例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人.甲乙丙P(B1)P(B2)P(B3)但在知道案情细节后,这个估计就有了变化.P(B1|A)知道A发生后P(B2

|A)P(B3|A)最大偏小第16页，共33页，2023年，2月20日，星期一例3

由于随机干扰，在无线电通讯中发出信号“•”,收到信号“•”、“不清”、“—”的概率分别为0.7、0.2、0.1；发出信号“—”,收到信号“•”、“不清”、“—”的概率分别为0.0、0.1、0.9.已知在发出的信号中,“•”和“—”出现的概率分别为0.6和0.4,试分析,当收到信号“不清”时,原发信号为“•”和“—”的概率哪个大？解设原发信号为“•”为事件

B1，原发信号为“—”为事件

B2，收到信号“不清”为事件A.例6第17页，共33页，2023年，2月20日，星期一已知：可见,当收到信号“不清”时,原发信号为

“•”的可能性大.第18页，共33页，2023年，2月20日，星期一显然P(A|B)=P(A)这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.A={第二次掷出6点}，B={第一次掷出6点}，先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设三、事件的独立性第19页，共33页，2023年，2月20日，星期一由乘法公式知，当事件A、B独立时，定义若两事件A、B满足

P(AB)=P(A)P(B)则称A、B独立，或称A、B相互独立.有P(AB)=P(A)P(B)容易证明,若两事件A、B独立，则

也相互独立.第20页，共33页，2023年，2月20日，星期一例4从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记

A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可见,P(AB)=P(A)P(B)

由于P(A)=4/52=1/13,说明事件A、B独立.问事件A、B是否独立？解：P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.例如两人射击.第21页，共33页，2023年，2月20日，星期一四、多个事件的独立性将两事件独立的定义推广到三个事件：对于三个事件A、B、C，若

P(AB)=P(A)P(B)四个等式同时

P(AC)=P(A)P(C)成立,则称事件

P(BC)=P(B)P(C)A、B、C相互

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)独立.

注：关系式(1)—(3)成立时,称A,B,C两两独立

两两独立相互独立第22页，共33页，2023年，2月20日，星期一

推广到n个事件的独立性定义,可类似写出：包含等式总数为：设A1,A2,…,An是

n个事件，如果对任意k(1<k

n),任意1i1<i2<…<ik

n,具有等式则称A1,A2,…,An为相互独立的事件.两个推论（p27）.第23页，共33页，2023年，2月20日，星期一

例5甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.设A={飞机被击落}

Bi={飞机被i个人击中},i=1,2,3由全概率公式

P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)则A=B1A+B2A+B3A解:依题意，P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,

P(A|B3)=1第24页，共33页，2023年，2月20日，星期一可求得:为求P(Bi),

设Hi={飞机被第i人击中},i=1,2,3将数据代入计算得:P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.

P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)第25页，共33页，2023年，2月20日，星期一于是

P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+

P(B3)P(A|B3)=0.458=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飞机被击落的概率为0.458.P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.第26页，共33页，2023年，2月20日，星期一对独立事件，许多概率计算可得到简化：例6三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？

解：将三人编号为1，2，3，五、独立性在概率计算中的应用所求为P(A1+A2+A3)记Ai={第i个人破译出密码}i=1,2,3第27页，共33页，2023年，2月20日，星期一记Ai={第i个人破译出密码}i=1,2,312所求为P(A1+A2+A3)已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4

P(A1+A2+A3)=1-[1-P