材料力学扭转截面几何性质

材料力学扭转截面几何性质第1页，共42页，2023年，2月20日，星期一概述构件的横截面积都是具有一定几何形状的平面图形，构件的承载能力（强度，刚度，稳定性等）都与平面图形的一些几何性质（横截面积，极惯性矩等）有关。因此需要第2页，共42页，2023年，2月20日，星期一第7章平面图形的几何性质zcycyycdAzz0§7.1静矩和形心1静矩

同一图形：坐标轴不同-静矩不同，数值可正，可负，可为零！量纲：第3页，共42页，2023年，2月20日，星期一2.形心第4页，共42页，2023年，2月20日，星期一3组合图形的静矩和形心zcycyycdAzz0组合图形第5页，共42页，2023年，2月20日，星期一注:1静矩有符号.2当Sz=0yc=0，即平面图形对某一轴的静矩为零，则该轴必然过形心

3当yc=0Sz=0，即若某一轴通过形心，则图形对该轴的静矩为零。

4由平面图形的形心必在对称轴上，故平面图形对于对称轴的静矩总是等于零。5静矩是截面对于一定的坐标轴而言的，同一截面对于不同的坐标轴，其静矩不同。第6页，共42页，2023年，2月20日，星期一解：zybhc已知：矩形截面b×h求：sz和

sy第7页，共42页，2023年，2月20日，星期一已知：图示图形求：zc和yc解：1012080C1(560)C2(455)10zy第8页，共42页，2023年，2月20日，星期一yydAzz0ρA§4.2惯性矩和惯性半径1惯性矩2惯性半径第9页，共42页，2023年，2月20日，星期一3极惯性矩yydAzz0ρA第10页，共42页，2023年，2月20日，星期一2空心圆dρDdA0ρdρDdA0dρ1圆第11页，共42页，2023年，2月20日，星期一5组合图形的惯性矩yydAzz0ρA4惯性矩与极惯性积的关系第12页，共42页，2023年，2月20日，星期一yzydyhbc已知：矩形求：Iy和Iz解：第13页，共42页，2023年，2月20日，星期一zyDc已知：实心圆截面直径D,空心圆截面直径D、d.求：Iy和Iz。解：1实心圆2空心圆d第14页，共42页，2023年，2月20日，星期一§4.3惯性积1y、z之一为图形对称轴则Iyz=0；zz-zy0dAdA2惯性积为零的一对座标轴称为惯性主轴；3通过形心的主轴称为形心主轴或形心惯性主轴；第15页，共42页，2023年，2月20日，星期一§4.4平行移轴公式yydAzz0Azcycczcycab图形对平行于形心轴y、z轴的惯性矩和惯性积为：图形对形心轴的惯性矩和惯性积为：第16页，共42页，2023年，2月20日，星期一yydAzz0Azcycczcycab第17页，共42页，2023年，2月20日，星期一已知：T形截面。求：Izc解：形心c(0yc)1002014020cc1c2yc1yczyzcⅠⅡ第18页，共42页，2023年，2月20日，星期一作业4.24.74.9第19页，共42页，2023年，2月20日，星期一第三章扭转§3–1扭转的概念外力特点：在杆件上作用着大小相等、转向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两组平行力偶系。

第20页，共42页，2023年，2月20日，星期一轴：以扭转变形为主的杆件。

变形的特点：当杆件发生扭转变形时，任意两个横截面将绕杆轴线作相对转动而产生相对角位移。这种相对角位移称为扭转角，用表示。

第21页，共42页，2023年，2月20日，星期一§3–2外力偶矩的计算，扭矩和扭转图一、外力偶矩的计算已知轴所传递的功率和轴的转速，则外力偶矩（N•m）N——功率，单位为千瓦（KW）n——转速，单位为rod/min

N——功率，单位为马力n——转速，单位为rod/min第22页，共42页，2023年，2月20日，星期一二、扭转时的内力——扭矩MeMeMeMxx右:ΣMx=0,Me

–Mx´=0

Mx´=Me

Mx、Mx´为扭矩扭矩的符号规定：按右手螺旋法则，扭矩矢量方向与截面外法线相同为正，反之为负。扭矩左:ΣMx=0,

Mx

–Me=0

Mx

=Mex第23页，共42页，2023年，2月20日，星期一三、扭矩图例题：1、一传动轴作200r／min的匀速转动，轴上装有五个轮子。主动轮2输入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的功率为18kW、12kW、22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。第24页，共42页，2023年，2月20日，星期一第25页，共42页，2023年，2月20日，星期一一薄壁圆筒扭转时的应力

r>>t为薄壁圆筒Lmφrtm§3.3纯剪切现象：1圆周线的形状大小不变相邻两周线之间距离不变，但发生了相对转动。2各纵向线仍然平行，但倾斜了相同的角度γ（剪应变）,矩形歪斜成平行四边形第26页，共42页，2023年，2月20日，星期一mxTLmφrtm由平衡条件

试中：r为圆筒的平均半径。第27页，共42页，2023年，2月20日，星期一二、剪应力互等定理

由平衡方程

结论：在互相垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等；二者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离两平面的交线，这种关系称剪应力互等定理。

纯剪切应力状态:单元体上只有剪应力而无正应力的情况。τ=τ

´τdytdx=τ´dxtdyLmφrtm第28页，共42页，2023年，2月20日，星期一τγτγ

τ＝

Gγ四E、G和μ之间的关系三剪应变、剪切胡克定律剪应变在弹性范围内,剪切胡克定律G--剪切弹性模量lφRγ第29页，共42页，2023年，2月20日，星期一§3–4圆轴扭转时的应力及强度计算一、横截面上的应力1、变形几何关系

平面假设：Lmφtm圆轴的各个横截面,变形后仍保持为平面,形状和大小不变,半径仍保持为直线,并且相邻两截面间的距离不变.第30页，共42页，2023年，2月20日，星期一表面剪应变2、物理关系内部剪应变第31页，共42页，2023年，2月20日，星期一3、静力关系——截面对形心的极惯性矩（与截面形状、大小有关的几何量）——抗扭截面模量（系数）

当ρ=R时第32页，共42页，2023年，2月20日，星期一极惯性矩和抗扭截面模量（1）圆（2）空心圆dρDdA0ρdρDdA0dρ第33页，共42页，2023年，2月20日，星期一二、强度计算——抗扭截面模量（系数）

解决三类强度问题：§3–5圆轴扭转时的变形和刚度计算

扭转角：任意两横截面相对转过的角度第34页，共42页，2023年，2月20日，星期一l1l2l3T1Ip1T2Ip2T3Ip3T(x)Ip(x)x1扭转角(1)等直圆轴(2)阶梯轴(3)变截面轴2单位长度扭转角3扭转刚度条件[φ]—许用单位长度扭转角rad/m0/m第35页，共42页，2023年，2月20日，星期一例题：

1、有一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮。轴的直径分别为d1=40rmn，d2=70mm，已知轮3输入的功率为N3=30kW，轮1输出的功率为N1=13kW。轴作匀速转动，转速n=200r／min。若材料的容许剪应力[]=60MPa，G=8104MPa，轴的容许单位长度扭转角为[]=2／m，试校核该轴的强度和刚度。第36页，共42页，2023年，2月20日，星期一2、图示为装有四个皮带轮的一根实心圆轴的计算简图。已知m1=1.5kN.m，m2=3kN.m，m3=9kN.m，m4=4.5kN.m；各轮的间距为l1=0.8m，l2=1.0m，l3=1.2m；材料的[]=80GPa，[]=0.3/m，G=80GPa.(1)设计轴的直径D；(2)若轴的直径D0=105mm，试计算全轴的相对扭转角D-A第37页，共42页，2023年，2月20日，星期一3、有一外径为100mm、内径为80mm的空心圆轴，与一直径为80mm的实心圆轴用键相连接。在A轮处由电动机带动，输入功率N1=150kW；在B、C轮处分别负载N2=75kW，N3=75kW。若已知轴的转速为n=300r／min，容许剪应力[]=45MPa；键的尺寸为10mml0mm30mm，其容许应力为[]=100MPa和[c]=280MPa。(1)校核空心轴及实心轴的强度（不考虑键槽的影响）；(2)求所需键数n。P第38页，共42页，2023年，2月20日，星期一§3–6扭转静不定问题已知:AB阶梯轴两端固定,C处作用外力偶矩m,AC抗扭刚度为G1Ip1,CB抗扭刚度为G2Ip2.求:轴的扭矩.解:1静力学关系2变形几何关系mACBab扭转静不定问题mBACBmmAxABCmm第39页，共42页，2023年，2月20日，星期一3物理关系解出:ACBmabmBACBmmA第40页，共42页，2023年，2月20日，星期一§3–7非圆轴截面杆扭转的概念矩形截面杆扭转分自由扭转和约束扭转。杆两端无约束，翘曲程度不受任何限制的情况，属于自由扭转。此时，杆各横截面的翘曲程度相同，纵向纤维长度无变化，横截面上只有剪应力，没有正应力。杆一端被约束，杆各横截面的翘曲程度不同，横截面上不但有剪应力，还有正应力，这属于约束扭转。