2016年数学全真模拟试卷二

2016年数学全真模援卷二

试题I

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.觥答案触蜗在答题卡.相.应位置上.

1.复数牡j.(i为虚数单位)的模为一•

【答案】夕

2.已知向量ag,2),b[32),则a(ab)=1•

【答案】4

3.在标号为0,1,2的三张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为奇数的概

是4.

【答案】2

3

4.下表是某同学五次数学附加题测试的得分，则该歌描度二=,

星期—二三四五

件数3621302835

【答案】146.

5

5.命题："若aO,则2>0_____

a”的否命题是“

【答案】若a=6,则20

a<

6.将函数ysinx的图象向右至少平移个单位可得到函数ycosx的面象.

【答案】.

+

=2(©"—)■

7.若函数x-4

f(x)(e为自然对数的底数)是奇函数，则数m的的*

X

e1

【答案】1==-

8.量是等差数列｛an｝的前n项的和.若az7,S77,则a?的值上.

【答案】13

9.给血下列等式：

\*2+>£"c=©s-

4

TT

222cos

8

1

8+)2+点=2cosn,

16'

€NL式:

请从中归纳第n

n个2

【答案】2cos31

10.在锐角ABC中，若tanA,tanB,tanC依次成等差数列，tiShAtanC的值为.

【答案】

1+++=允

【解析】昨题戢anBtanAtanC,_因的BC,所以tanAtanBtanCtanAtanB

tanC,所以tanAtanC3：+=一+—=

22

11.在平面直角坐标熠y中，若直战x2y0与圆C：(xa)(yb)5相切，且圆©

在直绷勺上方，捌）的最大值为.

【答案】25

8LLJ=«+>+=

a72b

【解析】易得5,又圆心在直口郑J上方，所以a2b0,从而a2b5,因为

（上）

______2________

a2b

abv2，所以25a'b5时等号成立，），从而ab

—abs（当且仅当a2b,即5

2824

a+B=a-P=a

25F-------

的最大值为.

.8

12.己知tan()1,tan()2,4’的值为.

„[a+P+a-a+[a-[+a+?a-:

【答案】-3P[a+P-a-P]a+Pa邛+a+Pa-P

sin()cos()cos()sin(

【解析】

cos2cos()()cos()cos()sin()sin(

tan(ptan()_(

-}

1tan()tan()=.一

x20

>,

13.已知实数x,y满晶0,

[_]设max3xy,4x2y,划的取值范圉上.

xy<,

o

=-=-={}€[_]€[]

（max{a,b}表示a,b两数中的较大数）

【答案】10,8

【解析】设

Zi3xy,Z24x2y,则maxZi,z?,易得Zi10,6,Z20,8,

2

贝ijz€[-40,8].

14.若基函数f(x)nxta'R)及其导函数f'(x)在区间(0,*)上的单调性一致(同为增函数或同

为减函数).则实数a的取值范围是—―.

【答案】(1，+8)

【解析】易得f(x)=ax,f(x)=a(a-1)x，当a,1时,f(x)0,f(x)0；30a1

，・，・，

时，f(x),0,f(x)、0；当a时，f(x)0,f(x)-0；当a-0时，f(x)飞，

"=<'<">e+s

f(x)0；当a0时，f(x)0,f(x)0,综上得，a(1,).

二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤.

15.(本题满分14分)

在平面直角坐标系中，设向量m=(V3cosA,sinA),n=(cosB,-石sinB),其中A,B为

△ABC的两个内角.

(1)若mLi,求证：C为直角;

(2)若m〃n,求证：B为锐角.

【解】(1)易得mntosAcosB-sinAsinB)=v?cos(A^B),(3分)

_L•=+=

因为mn,所以mn0,即cos()cosn

<+<=AB

2

+——

因为0AB兀，且函数ycosx在(0,7T)内是单调减函数,

所以AB\亩4为直。；(6分)卜

？=

(2)因为m//n,所以3cosA3sinBsin£cosB0,

即sinAcos=B-3cosAsinB0.(8分)

口

因为A,B是三是三内，角十所以pnsAccnD._<

++

于是tanA3tanB,因而A,B中恰有一个是钝角.(10分)

从而tanAtanB3tanBtanB2tanB

tan(AB)0

22

1tanAtanB13tanB13tanB

所以tanB0,即证B为锐角.(14分)

16.(本题满分14分)

3

如图，在四棱锥P-ABCD中，NPAB为二面角P-AD-B的平面角.

（1）求证：平面PAB'平面ABCD；

±

（2）若BC平面PAB,求证：AD〃平面PBC.

Z--

证明：（1）因为PAB为二面角PADB的平面角,

11

所以PAAD,BAAD,（2分）

n=

又PAABA,

U

PA,AB平面PAB,

所以AD平面PAB,(5分)

u

又AD平面ABCD,

±

故平面PAB平面ABCD：(7分)

(2)由(1)得，AD平面PAB,

又BC平面PAB,

所以AD//BC,（10分）

（Z

又AD平面PBC,

U

BC平面PBC，

所以AD〃平面PBC.（14分）

17.(本题满分14分)

+=

如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B是圆O：221

_xy

与x轴的两个交点(点B在点A右侧)，点Q(2,0),x轴

上方的动点P使直线PA,PQ,PB的斜率存在且依次成等差

数列.

(1)求证：动点P的横坐标为定值；

(2)设直线PA,PB与圆O的另一个交点分别为S,T.

-(第17题)

求证：点Q,S,T三点共线.

【证】(1)由题设知，A(1?0),B(1,0)=+=+-

设P(xb,yo)(yo0),则kV。，yoy

P。刈2k，k

PAPB

Xo1X)1

因为kpA»kpQ,kpB成等差数列,

4

所以2kpo-kw+kps,即——Ny

x2X1X

o00

由于y丰，所以0=-4

00x,即证;（7分）

2

（2）由（1)知，(-40yy=_2y

00

P.yk+:y,k

22

PA0PB

1+=+;[(+3)-(-)]=

1

22

2

直线8的方程为yk(-x1),ftA2212

=PA——X手丁备(x1)1kx1k0，

+PAPA

24

2，从而y

于是点S的横坐标Xsy

-s1g______0

2

+0+

y

14y

o

+

14

2

同理可得十4y_9+=12yo+

o

（11分）

Xy

TT

22

94y94y

00

4y4yo

因为V、

x2(14y)2(14y)34y

000

y

12y12yz4y

T

00

212y2

x2(4y9)2(94y)934y

000

Z=a

所以直线QS和直线QT的斜率相等,

a

故点S,T,Q共线.（14分）

a

18.（本题满分16分）=

如图，圆。的半魁＜二,A,B为圆。上的两个定点，且AOB90,P为优弧AB的中点.

设C,D（C在D左侧）沟优弧AB（不含蕈点）上的两个不同的动点/且DD//AB.

=xyja=va

P

记POD,四边形ABCD的面积为S.

=—+

(1)求S关于的函数关系；

=—（+「a,（+Ca）O

(2)求s的最大值及此舟的大小.

解:（1）设过圆心。作AB的垂线分别与AB,CD交于点E,F,

AB

易得AB2,OE1,

（第18题）

①当071P

时，如图1,F

2C

D

易得CD22sin,OF2cos

O

所以1()()AB

SABCDOEOFE

2

图1

1222sin12cos

2

5

=G(sina+cosa)-*2sinacosa+1；(3分)

⑦当Cl一工…—A(+).一工X”&=+O；(5分)

a一时，s-ABCDEF一

222

③当n<a<3LJT时，融,

24

易得CD=2x夜sin(n-a)=2a,OF=^cos(T-a)=-^cosa

所以=1(+).()

刈“SABCDOEOF

2

=1x(2+26sina)x(i+V2cos«)

2

=«(a+a)+aa+

2sincos2sincos1；

==「(a+a)+aa+

国

综上得，点+a2=听（如＞一）2sincos1,03TT

（9分）

4

<a<-一va+-v<(a+—)

TT

(2)令tsincos2sin

e(4

因为0GTTTT\TT,从而TT

,所以40sin<1,

+L=(+9)4

—+=e(

故t0,，（12分）

a=—

2

此时S2221

2tt11t2t0,2,

22

所以当t2时，Smax4,此时TT.(16分)

4

1)€

19.（本题满16。）｝

设数列必e购n项羽且

S,Sn2an2，nN.

(1)求数列a｛的通叫公式;

2S

(2)设数列2n；

a=的前n1赚Tn-求

判断数列3°a中是否存在二叫戈等差数声If并呼饵的纶-

(3)n

解：⑴当n1府，&2的二2=，解得a12.＜（1分）

当n＞2时，aSS12a22a122a2a1,即a。2a。1.

nnnnnnn

a

因为&0,所以n2,从而数列an是以2为首项，2为公比的等比数列,

a1

所以2

a.（5分）

n

6

(2)因为2=(2)=4喑=

nn.

a，所以24

n3

(}n

故数列2

兔以4%直,，/彳公比的等比数列,

n

从而=±二)=_(「)

S-2'41(7分)

2n

12

4144

{_}/_

TI41,

)=-+-

S.(10分)

所以2Kg

Tn2

3中存在三项成等差数列，不妨设第，）项成等差数列,

（3）假设an,k(mnk

(_n)=_+_

匕n2L（12分）

副3n3,m33,涓|j2323"2"3

因为mnk,W.m,n,kN,

所以n+10{k.}

nnmmkk

因为2323232

mmnn

23232

所以3nS3m2、飞匠盾’

=<+——++

所以数列3na（不存在三网成等差数列.（16分）

20.（本题满16分）

设速上在函数

的图象不间断

（1）求m,n的值；

（2）设a,b互为相反数，且f（x）是R上的单调函数，求a的取值范围

(3)若a1,bR.试讨诒数g(x)f(x)b的零点的个数，并说明理由•

解：(1)依题意，f(0)1,f(4)0,

n1

即，

64a16(b4a)4(4bm)n0

7

解得Ji(3分)

m4,

（2）因为=（-）

y是减函数，且f（x）是R上的单调函数，

-（-）=------

a

所以在yalog4x1中，摩孽*'<。，+故^0,(5分)

xln4

3(4)2j41)1

7ax-bax-bx中，其中aq0,

4

△=

yax々xa一一，导函数的瀛i-5<

'3104x

2=+1一一（+一）+

3

故J2+aa1^（，辗里10

双10012(4<a;(8分)

14

+

321

（3）易得函数

=f(x)x(b4)x48x1

4

r

则（X)3x2G4)x)/b,

x()(+8)

4

刖式’2

其判4b16b；70.

祀（X）。的丙根的，X(XX),

——2-------4——2-----------------

列表:

X,XXiXi,X2

X2x2，

+=+>1+=>

/(9+-_(2)++1___0<

f(x),极大福极小值

当b>0时,

又f(0)+b=1*b<0,f(4)b+b=£

(-)+=—+----------()++=—>

f(2)b84(b4)24b1b153b0,

42

方程在（0,4）上有两解，方程一共有两个解；（10分）

（―^）+=—+=

当b1时，1'0x4

+=+>b有<log0.5（b），log4x1b0有一解

又f(0)b1b0,f(4)bb0,

1

11(4)11130

bbbbb,

284244

故方程在（0,4）上有两解，方程共有4个解；（12分）

当・1vbvO时，10

b无解，Iog4x1b0有一解，

2

又f(0)b1b0,f(4)bb0,

方程在(0,4)内只有一解，方程共两解；(14分)

8

当b=0时，有x_4和x_工两解，b1时，有x_0,_1，上

==2=X=,X=4三个解,

2

〉一

综上得，当b1时，g（x）有2个零点；

当b-1时，g（x）有3个零点；

当b'7时，g（x）有4个零点.（16分）

试题n（附加题）

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四J题请帖其中两题，.并在相应的答题区域内作答..若

多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（几何证明选讲）

如图，已知△ABC的两条内角平分线AD,BE交于点

求证：C,D,E,F四点共圆.

N=。-（N+N）

证明：依题意得，AFB180BAFAFB

=-,（N+N

180

=°一（BAG2）

ABC0

O2C

（第21-A）

1

Z=Z1802180

Z+N=120,运分）°

又DFEAFB,

所以DFEC12060180,

故C,D,E,F四点共圆.（10分）

「

B.（矩阵与变换）一」=1-

已知矩阵入[]125

B满足AXB,求矩阵X.

21

15

｛二:

解：设X

12aa2b5,

由（7分）

2

1b2ab15,

9

a=7,

解得八1x=I.（10分）

b=1，

此时LIJ

C.（极坐标与参数方程）

P0z

设点A为轴:2cos在极@k上方的一点，且0TT

<AOxW,以A为直角顶点，A0

4

（P。）p=e（Po）

为一条直角边作等腰直角三角酢B（B在A的右下方）,求点B的轨迹方程.

e.=Lp

解：设As2coso，D,,

-0+09=0—

-2

2，o

依题管,=Q0

7a0

2"oTT

0

0

代入o2cosoTT7TT2TT

4<<

4

所以点B的轨迹方程为22COSTT7TT2TT

4<<.（10分）

4

++X）

D.（不等式选讲（+（+

+=（+）

已知正数a,b,c,d满足bcd1,求证:acbdadbe>1.

2

222>22

证明：因中*afbp）abcdabccPabcd2abcdabcd,

又ab1,cd1,

所以acbdadbeN1.（10分）

【必做题】黎、23题，每题10分，共涉分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出

字说明、证明过程或演算骤

22.假定某篮球运动员每次投篮曲率均为p（0<p<1）.现有次投篮机会,并规定连演次投篮

均不中即终止投篮.已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完3次投篮机会的概率是

21

25

（1）求p的值;

（2）设该运动员投篮命次数为,求的概率分布及数学期望E（）•

解"（1）设事符：’恰用完3次投篮机会'；则其对立事华：“前两次投篮均不中'；

10

依题意，p（A）=『P（A）=1一（1为f=©,

25

解得p='；（3分）

5t

（2）依题意，一的所有可能值为0,1,2,3,

P(0)1p,

1-==(~)或-)(-)=一

224

m1ppip125

327

PQ_3)_p工