数学建模之稳定性模型

第六章稳定性模型(móxíng)捕鱼业的持续(chíxù)收获军备竞赛种群的相互竞争种群的相互依存种群的弱肉强食第一页，共47页。稳定性模型(móxíng)对象仍是动态过程，而建模目的是研究(yánjiū)时间充分长以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定。不求解微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)，而是用微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)稳定性理论研究平衡状态的稳定性。第二页，共47页。捕鱼业的持续(chíxù)收获再生资源〔渔业、林业(línyè)等〕与非再生资源〔矿业等〕再生资源应适度开发——在持续(chíxù)稳产前提下实现最大产量或最正确效益。问题及分析在鱼量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最正确。如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，那么捕捞量稳定。背景第三页，共47页。产量(chǎnliàng)模型假设(jiǎshè)无捕捞时鱼的自然(zìrán)增长服从Logistic规律单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模捕捞情况下渔场鱼量满足不需要求解x(t),只需知道x(t)稳定的条件r~固有增长率,N~最大鱼量h(x)=Ex,E~捕捞强度x(t)~渔场鱼量第四页，共47页。一阶微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)的平衡点及其稳定性一阶非线性〔自治(zìzhì)〕方程F(x)=0的根x0~微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)的平衡点设x(t)是方程的解，若从x0某邻域的任一初值出发，都有称x0是方程(1)的稳定平衡点不求x(t),判断x0稳定性的方法——直接法(1)的近似线性方程第五页，共47页。产量(chǎnliàng)模型平衡点稳定性判断(pànduàn)x0稳定(wěndìng),可得到稳定(wěndìng)产量x1稳定,渔场枯槁E~捕捞强度r~固有增长率第六页，共47页。产量(chǎnliàng)模型在捕捞量稳定的条件下，控制(kòngzhì)捕捞强度使产量最大图解法P的横坐标x0~平衡点y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的纵坐标h~产量(chǎnliàng)产量最大f与h交点Phmx0*=N/2P*y=E*x控制渔场鱼量为最大鱼量的一半第七页，共47页。效益(xiàoyì)模型假设(jiǎshè)鱼销售价格p单位(dānwèi)捕捞强度费用c单位时间利润在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大.稳定平衡点求E使R(E)最大渔场鱼量收入T=ph(x)=pEx支出S=cE第八页，共47页。EsS(E)T(E)0rE捕捞(bǔlāo)过度封闭式捕捞追求(zhuīqiú)利润R(E)最大开放式捕捞(bǔlāo)只求利润R(E)>0R(E)=0时的捕捞强度(临界强度)Es=2ER临界强度下的渔场鱼量捕捞过度ERE*令=0第九页，共47页。军备竞赛描述(miáoshù)双方(国家或国家集团)军备竞赛过程解释(jiěshì)(预测)双方军备竞赛的结局假设(jiǎshè)1〕由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备增加越快；2〕由于经济实力限制，一方军备越大，对自己军备增长的制约越大；3〕由于相互敌视或领土争端，每一方都存在增加军备的潜力。进一步假设1〕2〕的作用为线性；3〕的作用为常数目的第十页，共47页。建模军备竞赛的结局(jiéjú)微分方程的平衡点及其稳定性x(t)~甲方军备(jūnbèi)数量，y(t)~乙方军备(jūnbèi)数量,~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量(shùliàng)的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力。t时的x(t)，y(t)第十一页，共47页。线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性平衡点P0(x0,y0)=(0,0)~代数方程的根若从P0某邻域的任一初值出发，都有称P0是微分方程的稳定平衡点记系数矩阵特征方程特征根第十二页，共47页。线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性特征根平衡点P0(0,0)微分方程一般解形式平衡点P0(0,0)稳定平衡点P0(0,0)不稳定1,2为负数(fùshù)或有负实部p>0且q>0p<0或q<0第十三页，共47页。平衡点稳定性判断(pànduàn)系数矩阵平衡点(x0,y0)稳定的条件模型军备竞赛第十四页，共47页。模型(móxíng)的定性解释双方军备稳定(时间充分长后趋向(qūxiàng)有限值)的条件双方经济制约(zhìyuē)大于双方军备刺激时，军备竞赛才会稳定，否那么军备将无限扩张。平衡点2)假设g=h=0,那么x0=y0=0,在>kl下x(t),y(t)0,即友好邻国通过裁军可到达永久和平。模型,~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力。第十五页，共47页。3）若g,h不为零，即便双方一时和解，使某时x(t),y(t)很小，但因，也会重整军备。4）即使某时一方(由于战败或协议)军备大减,如x(t)=0，也会因使该方重整军备，即存在互不信任()或固有争端()的单方面裁军不会持久。模型的定性(dìngxìng)解释,~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量(shùliàng)的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力。模型第十六页，共47页。种群(zhǒnɡqún)的相互竞争一个自然环境中有两个种群生存，它们(tāmen)之间的关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。当两个种群为争夺食物来源和生存空间相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的到达(dàodá)环境容许的最大容量。建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件。第十七页，共47页。模型(móxíng)假设有甲乙两个(liǎnɡɡè)种群，它们单独生存时数量变化均服从Logistic规律;两种群在一起生存时，乙对甲增长(zēngzhǎng)的阻滞作用与乙的数量成正比;甲对乙有同样的作用。对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1)的1倍。对甲增长的阻滞作用，乙大于甲乙的竞争力强模型第十八页，共47页。模型(móxíng)分析(平衡点及其稳定性)(二阶)非线性(自治)方程的平衡点及其稳定性平衡点P0(x10,x20)~代数方程的根若从P0某邻域的任一初值出发，都有称P0是微分方程的稳定平衡点模型(móxíng)第十九页，共47页。判断(pànduàn)P0(x10,x20)稳定性的方法——直接法(1)的近似(jìnsì)线性方程平衡点P0稳定(对2,1)p>0且q>0平衡点P0不稳定(对2,1)p<0或q<0第二十页，共47页。仅当1,2<1或1,2>1时，P3才有意义(yìyì)模型(móxíng)第二十一页，共47页。平衡点稳定性分析(fēnxī)平衡点Pi稳定(wěndìng)条件：p>0且q>0第二十二页，共47页。种群竞争(jìngzhēng)模型的平衡点及稳定性不稳定(wěndìng)平衡点2>1,1>1,P1,P2是一个种群(zhǒnɡqún)存活而另一灭绝的平衡点P3是两种群共存的平衡点1<1,2<1P1稳定的条件1<1?1<12<1稳定条件第二十三页，共47页。0S1S2S3平衡点稳定性的相轨线分析(fēnxī)从任意(rènyì)点出发(t=0)的相轨线都趋向P1(N1,0)(t)P1(N1,0)是稳定(wěndìng)平衡点(1)2>1,

1<1tx1,x2tx1,x2tx1,x2第二十四页，共47页。P1P2有相轨线趋向(qūxiàng)P1有相轨线趋向(qūxiàng)P2P1稳定的条件(tiáojiàn)：直接法2>1P1,P2都不(局部)稳定0(3)1<1,2<10(2)1>1,2<10(4)1>1,2>1加上与(4)相区别的1<1

P2稳定

P3稳定P1全局稳定第二十五页，共47页。结果(jiēguǒ)解释对于消耗(xiāohào)甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1)的1倍。对甲增长的阻滞作用，乙小于甲乙的竞争力弱P1稳定(wěndìng)的条件：1<1,2>12>1甲的竞争力强甲到达最大容量，乙灭绝

P2稳定的条件：1>1,2<1

P3稳定的条件：1<1,2<1通常11/2，P3稳定条件不满足第二十六页，共47页。种群(zhǒnɡqún)的相互依存甲乙两种群的相互依存有三种(sānzhǒnɡ)形式1)甲可以单独生存，乙不能单独生存；甲乙一起生存时相互提供食物(shíwù)、促进增长。2)甲乙均可以单独生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。3)甲乙均不能单独生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。第二十七页，共47页。模型(móxíng)假设甲可以单独生存，数量变化服从Logistic规律(guīlǜ);甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。乙不能单独生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进(cùjìn)增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用(服从Logistic规律)。模型乙为甲提供食物是甲消耗的1倍甲为乙提供食物是乙消耗的2倍第二十八页，共47页。种群依存(yīcún)模型的平衡点及稳定性P2是甲乙(jiǎyǐ)相互依存而共生的平衡点稳定条件不稳定平衡点第二十九页，共47页。平衡点P2稳定性的相轨线0

1<1,2>1,12<1P2稳定(wěndìng)第三十页，共47页。12<1~2>1前提(qiántí)下P2存在的必要条件结果(jiēguǒ)解释2>1~甲必须(bìxū)为乙提供足够的食物——甲为乙提供的食物是乙消耗的2倍1<1~2>1,12<1的需要，且1必须足够小，才能在2>1条件下使12<1成立

P2稳定条件：1<1,2>1,12<1甲可以独自生存乙不能独立生存第三十一页，共47页。种群(zhǒnɡqún)的弱肉强食(食饵-捕食者模型)种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成(xíngchéng)食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。模型的历史背景——一次世界大战期间(qījiān)地中海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞)，但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？第三十二页，共47页。食饵(shíěr)〔甲〕数量x(t),捕食者〔乙〕数量y(t)甲独立(dúlì)生存的增长率r乙使甲的增长率减小，减小量与y成正比乙独立(dúlì)生存的死亡率d甲使乙的死亡率减小，减小量与x成正比方程(1),(2)无解析解食饵-捕食者模型(Volterra)a~捕食者掠取食饵能力b~食饵供养捕食者能力第三十三页，共47页。Volterra模型(móxíng)的平衡点及其稳定性平衡点稳定性分析(fēnxī)P点稳定性不能用近似线性方程(xiànxìnɡfānɡchénɡ)分析p=0,q>0P:临界状态q<0P´不稳定第三十四页，共47页。tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.9269………5.10009.616216.72355.20009.017316.2064………9.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用数学(shùxué)软件MATLAB求微分方程数值解x~y面上的相轨线第三十五页，共47页。计算结果〔数值(shùzí)，图形〕x(t),y(t)是周期函数，相图(xiānɡtú)(x,y)是封闭曲线观察，猜测x(t),y(t)xmax65.5,xmin6,ymax20.5,ymin用数值积分可算出x(t),y(t)一周期(zhōuqī)的平均值：x(t)的平均值约为25,y(t)的平均值约为10。食饵-捕食者模型(Volterra)第三十六页，共47页。消去dt用相轨线分析点稳定性c由初始条件确定(quèdìng)取指数第三十七页，共47页。x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面(píngmiàn)上讨论相轨线的图形用相轨线分析点稳定性相轨线时无相轨线以下设第三十八页，共47页。y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0xx0P0x1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1),Q4(x,y2)相轨线退化为P点

存在x1<x0<x2,使f(x1)=f(x2)=p存在y1<y0<y2,使g(y1)=g(y2)=q相轨线是封闭曲线族xQ3Q4f(x)xx0fm0g(y)gmy0y0相轨线P~中心(zhōngxīn)第三十九页，共47页。相轨线是封闭(fēngbì)曲线x(t),y(t)是周期函数(周期记T)求x(t),y(t)在一周期的平均值轨线中心用相轨线分析点稳定性第四十页，共47页。•T2T3T4T1PT1

T2

T3

T4x(t)的“相位(xiàngwèi)〞领先y(t)模型(móxíng)解释初值相轨线的方向(fāngxiàng)第四十一页，共47页。模型(móxíng)解释r~食饵(shíěr)增长率d~捕食者死亡率b~食饵供养(gōngyǎng)捕食者能力捕食者数量食饵数量Pr/a