华师大版九年级下第27章圆2圆中的计算问题公开课比赛一等奖

《圆中的计算问题》同步练习一、选择题1.已知圆心角为60°的扇形面积为24π，那么扇形的半径为（） π π2.如图，在⊙O中，弦BC＝1，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则的长是（）A.π B. C. D.3.如图，点A、B、C在半径为6的⊙O上，的长为2π，则∠ACB的大小是（）° ° ° °4.如图，CD为⊙O的弦，直径AB为4，AB⊥CD于E，∠A＝30°，则扇形BOC的面积为（）A. B. C.π D.5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝6，阴影部分图形的面积为（）π π π D.π二、填空题6.一个扇形的弧长是，它的面积是，这个扇形的圆心角度数是。7.如图，A，B，C是⊙O上三点，若∠ABC＝120°，⊙O的半径为2，则劣弧AC的长为。8.如图，在矩形ABCD中，连接AC，以点B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点E，已知BE＝3，BC＝3，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）。9.如图，在△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A＝60°，∠B＝100°，BC＝2，则扇形BDE的面积为。10.矩形ABDC中，对角线相交于O，以C为圆心，CD长为半径画弧，交AC于F，点O在圆弧上，若AB＝6，则阴影部分的面积为。三、解答题11.如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC。（1）求证：AE＝ED；（2）若AB＝8，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积。12.如图，AB是⊙O的直径，AB＝12，弦CD⊥AB于点E，∠DAB＝30°。（1）求扇形OAC的面积；（2）求弦CD的长。13.如图，A，B，C是⊙O上三点，其中＝2，过点B画BD⊥OC于点D。（1）求证：AB＝2BD；（2）若AB＝2，CD＝1，求图中阴影部分的面积。14.文艺复兴时期，意大利艺术大师达。芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题。已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积。证明：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，S4＝，S5＝，S6＝+，S阴影＝S1+S6＝S1+S2+S3＝。15.如图，在△ABC中，AB＝AC，E在AC上，经过A，B，E三点的圆O交BC于点D，且D点是弧BE的中点，（1）求证AB是圆的直径；（2）若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积；（3）当∠A为锐角时，试说明∠A与∠CBE的关系。

参考答案一、选择题1.【分析】利用扇形的面积公式计算即可。【解答】解：设扇形的半径为r。由题意：＝24π，∴r2＝144，∵r＞0，∴r＝12，故选：A。【点评】本题考查扇形的面积公式，解题的关键是记住扇形的面积公式：S扇形＝。2.【分析】连接OB，OC。首先证明△OBC是等边三角形，再利用弧长公式计算即可。【解答】解：连接OB，OC。∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝1，∴的长＝＝，故选：B。【点评】本题考查弧长公式，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型。3.【分析】连结OA、OB。先由的长为2π，利用弧长计算公式求出∠AOB＝40°，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得到∠ACB＝∠AOB＝20°。【解答】解：连结OA、OB。设∠AOB＝n°。∵的长为2π，∴＝2π，∴n＝60，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB＝∠AOB＝30°。故选：B。【点评】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理的应用，掌握弧长的公式l＝是解题的关键。4.【分析】连接AC，由垂径定理的CE＝DE，根据线段垂直平分线的性质得到AC＝AD，由等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠DAB＝30°，由圆周角定理得到∠COB＝60°，根据扇形面积的计算公式即可得到结论。【解答】解：连接AC，∵CD为⊙O的弦，AB是⊙O的直径，∴CE＝DE，∵AB⊥CD，∴AC＝AD，∴∠CAB＝∠DAB＝30°，∴∠COB＝60°，∴扇形BOC的面积＝＝，故选：B。【点评】本题考查的是扇形的面积的计算，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解答此题的关键。5.【分析】连接BC，OD，设CD交AB于E。想办法证明BC∥OD，推出S△BCD＝S△BCO，S阴＝S扇形OBC，即可解决问题；【解答】解：连接BC，OD，设CD交AB于E。∵∠BOC＝2∠CDB，∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△BOC是等边三角形，∴∠CBO＝60°，∵CD⊥AB，CD＝6，∴＝，CE＝ED＝3，∴∠BOC＝∠BOD＝60°，EO＝，OC＝2，∴∠CBO＝∠BOD，∴BC∥OD，∴S△BCD＝S△BCO，∴S阴＝S扇形OBC＝＝2π。故选：C。【点评】本题考查扇形的面积公式，平行线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型。二、填空题6.【分析】设扇形的半径为r，圆心角为n°。利用扇形面积公式求出r，再利用弧长公式求出圆心角即可。【解答】解：设扇形的半径为r，圆心角为n°。由题意：•π•r＝π，∴r＝4，∴＝π，∴n＝120，故答案为120°【点评】本题考查扇形的面积的计算，弧长公式等知识，解题的关键是掌握基本知识，属于中考常考题型。7.【分析】在优弧AC上取一点D，连接AD，CD，根据圆内接四边形的性质得到∠ADC＝60°，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ADC＝120°，根据弧长的公式计算即可。【解答】解：在优弧AC上取一点D，连接AD，CD，∵∠ABC＝120°，∴∠ADC＝60°，∴∠AOC＝2∠ADC＝120°，∴劣弧AC的长＝＝π，故答案为：π。【点评】本题考查了弧长的计算，圆内接四边形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键。8.【分析】连接BF，作BH⊥AC于H，根据正切的定义得到∠BAC＝60°，根据等边三角形的性质得到∠ABF＝60°，AF＝AB＝3，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，【解答】解：如图，连接BF，作BH⊥AC于H，由题意得，BA＝BE＝3，tan∠BAC＝＝，则∠BAC＝60°，又BA＝BF，∴△ABF是等边三角形，∴∠ABF＝60°，AF＝AB＝3，则BH＝AB×sin∠BAC＝，∴图中阴影部分的面积＝﹣×3×＝﹣，故答案为：﹣。【点评】本题考查的是矩形的性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式是解题的关键。9.【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据三角形的外角的性质求出∠BDE，根据扇形面积公式计算。【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝100°，∴∠C＝20°，∵BD＝DC＝1，DE＝DB，∴DE＝DC＝1，∴∠DEC＝∠C＝20°，∴∠BDE＝40°，∴扇形BDE的面积＝＝，故答案为：。【点评】本题考查的是扇形面积计算，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握扇形面积公式S扇形＝πR2是解题的关键。10.【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC，OD＝AD，OC＝BC，推出△OCD是等边三角形，得到∠DCO＝60°，求得BD＝18，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论。【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，OD＝AD，OC＝BC，∴OD＝OC，∵CD＝OC，∴△OCD是等边三角形，∴∠DCO＝60°，∵AB＝CD＝6，∴BD＝18，∴阴影部分的面积＝S△BCD﹣S扇形COD＝×18×6﹣＝54﹣18π，故答案为：54﹣18π。【点评】本题考查扇形的面积公式，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用扇形的面积公式以及三角形的面积公式，本题属于中等题型。三、解答题11.【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEO＝90°，再利用垂径定理证明即可。（2）根据S阴＝S扇形OAD﹣S△ADO计算即可。【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，∴AE＝ED；（2）连接CD，OD，∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD＝30°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠AOC＝∠OCB+∠OBC＝60°，∵∠COD＝2∠CBD＝60°，∴∠AOD＝120°，∴S阴＝S扇形OAD﹣S△ADO＝﹣•4×2＝﹣4【点评】本题考查扇形的面积公式，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型。12.【分析】（1）根据垂径定理得到＝，根据圆周角定理求出∠CAB，根据三角形内角和定理求出∠AOC，根据扇形面积公式计算；（2）根据正弦的定义求出CE，根据垂径定理计算即可。【解答】解：（1）∵弦CD⊥AB，∴＝，∴∠CAB＝∠DAB＝30°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴∠AOC＝120°，∴扇形OAC的面积＝＝12π；（2）由圆周角定理得，∠COE＝2∠CAB＝60°，∴CE＝OC×sin∠COE＝3，∵弦CD⊥AB，∴CD＝2CE＝6。【点评】本题考查的是扇形面积计算，圆周角定理，垂径定理的应用，掌握扇形面积公式是解题的关键。13.【分析】（1）如图，延长BD交⊙O于E，根据垂径定理得到BE＝2BD，＝2，求得＝，于是得到结论；（2）如图，连接OB，设⊙O的半径为r，根据勾股定理列方程得到r＝2，根据三角函数的定义得到∠BOC＝60°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论。【解答】解：（1）如图，延长BD交⊙O于E，∵BD⊥OC，∴BE＝2BD，＝2，∵＝2，∴＝，∴AB＝BE，∴AB＝2BD；（2）如图，连接OB，设⊙O的半径为r，∵AB＝2，CD＝1，∴BD＝，在Rt△OBD中，r2＝（r﹣1）2+（）2，解得：r＝2，∵sin∠BOC＝，∴∠BOC＝60°，∴阴影部分的面积＝﹣××1＝﹣。【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，扇形的面积，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键。14.【分析】利用图形的拼割，正方形的性质，寻找等面积的图形，即可解决问题；【解答】证明：由题意：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，S4＝S2，S5＝S3，S6＝S4+S5，S阴影面积＝S1+S6＝S1+S2+S3＝2。故答案为：S2，S3，S4，S5，2。【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、扇形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型。15.【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的三线合一得到AD⊥BC，根据圆周角定理的推论证明；（2）连接OE，根据扇形面积公式计算即可；（3）由（1）知AB是直径，得到∠BEA＝90°，根据余角的性质得到∠EBC＝∠CAD，等量代换即可得到结论。【解答】解：（1）连结AD，∵D是中点，∴∠BAD＝∠CAD，又∵AB＝AC，∴AD⊥BD