华师大版八年级下函数及其图象1变量与函数“十市联赛”一等奖

《变量与函数》典例精析【例1】写出下列各问题的函数关系式，并指出其中的常量与变量、自变量与函数．（1）运动员在200米一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t（秒）与跑步的速度v(米/秒)的关系式．（2）n边形的对角线条数S与边数n之间的关系式．【解析】（1）由路程=速度×时间，可得vt=200，即t=.路程始终保持不变，所以200是常量，时间、速度的值在改变，因此，v、t是变量.由于t是随v改变而发生变化的，因此，v是自变量，t是v的函数．（2）从n边形的一个顶点引对角线，共可引（n－3）条对角线，则从n个顶点出发共引n（n－3）条对角线，但由于重复计算了一次，故对角线条数为，即可得出S与n的关系式.在这个问题中，S、n是变量，由于n的每一个值S都有唯一的值与之对应，所以n是自变量，S是n的函数．【答案】（1）t=，其中200是常量，v、t是变量，v是自变量，t是v的函数．（2）S=，其中，3是常量，S、n是变量，n是自变量，S是n的函数．【点评】利用我们所熟悉的公式作为相等关系，通过公式或公式的变形推导出函数关系．【例2】写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系，并求自变量x的取值范围．【解析】由三角形的内角和定理等于180º可知，y+2x=180º，所以y=180º-2x．又知x是等腰三角形的底角，所以x不可能大于或等于90º，因此，自变量x的取值范围是0＜x＜90º．【答案】y=180º-2x，0＜x＜90º．【点评】取值范围应满足实际问题有意义．【例3】一个正方形的边长为5cm，它的边长减少xcm后得到的新正方形的周长为ycm，写了y与x的关系式，并指出自变量的取值范围．【解析】周长y=4（5-x）；自变量的范围应能使正方形的边长是正数，即满足不等式组．【答案】y与x的函数关系式为y=20-4x，自变量的取值范围是0≤x<5．【点评】关系式用周长的计算公式，取值范围应考虑到每条边长均为正数．【例4】水是人类最宝贵的资源之一，我国水资源人均占有量远远低于世界平均水平.为了节约用水，保护环境，北京市自来水公司制定了节水措施，采用了分段计费的方法计算水费.具体方法是：若每月每户居民用水不超过4立方米时，按每吨2元计算；若每月每户居民用水超过4立方米时，超出部分按每吨元计算（不超过部分仍按每立方米2元计算）.设每户每月的用水量为x吨，交纳水费为y元，写出y与x的函数关系式，李涛同学家一月份交水费元，二月份交水费17元，三月份交水费8元，则李涛家第一季度共用水多少吨？【解析】由于用水量与水费的标准不同，所以不能用一个函数关系式表示，应采用分段考虑的方法.关于第一季度共用水的问题，应分别求出每月的用水量，再求和．【答案】当0≤x≤4时，y=2x；当x＞4时，y=2×4+(x-4)，即y=．因为＜2×4；8=2×4；12＞2×4，所以一月份、三月份的用水量均不超过4吨，三月份的用水量超过了4吨．所以，一月份用水量为：=(立方米)；二月份用水量为：4+=6(立方米)；三月份用水量为(立方米)，+6+4=(立方米)．答：李涛家第一季度共用水吨．【点评】本题在自变量取不同的范围时，函数满足的条件不同，我们常称之为分段函数．这种函数情况繁杂，应先根据自变量分别求出函数关系式，再观察问题中的自变量在哪个范围内，最终得到问题的答案．【例5】填写如图所示的加法表，然后把所有填有11的格子涂上颜色，看看你能发现什么?如果把这些涂色的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式．哪一个当自变量呢？自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围．【解析】当涂色的格子横向的加数为3时，纵向的加数是8；当纵向的加数为6时，横向的加数是5……．总之，它们的和是11．观察加法表中涂色的格子的横向的加数的数值范围，它是小于或等于10，如果把横向的加数当作自变量，就可以确定自变量的取值范围了．【答案】如图能发现涂黑的格子在一条斜线上．并且横、纵向两个加数的和是11，所以有x+y＝11，其函数关系式为：y＝11－x．自变量x的取值范围是：1≤x≤10．【点评】在变化过程中，两个变量，哪一个是自变量，哪一个是函数，不是固定不变的．在这个问题中，如果把纵向的加数当作自变量，那么，横向的加数就是它的函数．【例6】如图所示，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分面积ycm2与MA长度xcm之间的函数关系式.并求当MA=1cm时，重叠部分的面积是多少？【解析】由于在整个的运动过程中，重叠部分构成等腰直角三角形，MA的长度为x，重叠部分的面积为y，根据三角形的面积公式即可确定y与x的函数关系式.将x=1代入函数关系式，可求出重叠部分的面积．【答案】y与x的函数关系式为．当