理论力学之平面任意力系

TheoreticalMechanics第一篇理论力学第四章平面任意力系返回总目录§4-1力的平移定理§4-2平面任意力系向作用面内一点的简化§4-3平面任意力系和平面平行力系的平衡方程§4-4考虑滑动摩擦时的平衡问题第四章平面任意力系目录第四章平面任意力系各个力的作用线在同一平面内，但不汇交于一点，也不都平行的力系称为平面任意力系。平面任意力系的重要性：

2、平面任意力系的研究方法还可以用到空间力系------理论上重要。1、工程上遇到的力系多为平面任意力系------实践上重要;平面任意力系实例第四章平面任意力系4.1力的平移定理可以把作用于刚体上点A的力F平行移到任一点0，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。——力的平移定理M=F.d=Mo(F)逆过程：

用力的平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一个力偶合成一个力。(b)F为什么钉子有时会折弯？FF(a)(b)图示两圆盘运动形式是否一样？M′F′FM4.1力的平移定理①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力+力偶②力平移的条件是附加一个力偶M，且M与d有关，M=F•d

③力线平移定理是力系简化的理论基础。说明：4.1力的平移定理F3F1F2O一、平面任意力系向作用面内一点的简化·

主矢和主矩OOFR′MOF1′M1F1=F1′

M1=MO(F1)F2′M2F2=F2′

M2=MO(F2)

F3′M3F3=F3′

M3=MO(F3)

简化中心OFR=F1+F2+F3=F1+F2+F3

MO=M1+M2+M3=MO(F1)+MO(F2)+MO(F3)′′′′4.2平面任意力系的简化主矢FR′MO主矩OxyMOFR′★平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个力偶的矩等于力系对于点O的主矩。4.2平面任意力系的简化几点说明：1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。2、平面任意力系的主矩与简化中心O的位置有关。因此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。4.2平面任意力系的简化●

FR=0，MO≠0′●

FR≠

0，MO=0′●

FR≠

0，MO

≠0′●

FR=0，MO=0′1.平面任意力系简化为一个力偶的情形●

FR=0，MO≠0′★

因为力偶对于平面内任意一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择无关。4.2平面任意力系的简化二、平面任意力系向简化的结果分析′O′FRO2.平面任意力系简化为一个合力的情形·合力矩定理●

FR≠

0，MO=0′合力的作用线通过简化中心●

FR≠

0，MO

≠0′FROO′dFRFR′′dMO(FR)=FRd=MO=∑MO(Fi)MO(FR)=∑MO(Fi)

平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点矩的代数和。FR′OMoO′4.2平面任意力系的简化——合力矩定理●

FR=0，MO=0′原力系平衡定理的应用：（1）当力臂不好确定时，将该力分解后求力矩；（2）求分布力的合力作用线位置。3.平面任意力系平衡的情形4.2平面任意力系的简化例题4-1在长方形平板的O、A、B、C点上分别作用着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以上四个力构成的力系对点O的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。解：取坐标系Oxy。 1、求向O点简化结果：①求主矢FR：4.2平面任意力系的简化F1F2F3F4OABC

xy2m3m30°60°F1F2F3F4OABC

xy2m3m30°60°4.2平面任意力系的简化ROABC

xy②求主矩：（2）、求合成结果：合成为一个合力R，R的大小、方向与R’相同。其作用线与O点的垂直距离为：R/OABC

xyLoRdF1F2F3F4OABC

xy2m3m30°60°4.2平面任意力系的简化一、平面任意力系的平衡条件和平衡方程FR=0MO=0′｝平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代数和也等于零。平衡方程4.3平面任意力系和平面平行力系的平衡方程充要条件：力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。（A、B、C三点不得共线）（x轴不得垂直于A、B两点的连线）

平面任意力系平衡方程的形式基本形式二力矩式三力矩式FRBAx4.3平面任意力系和平面平行力系的平衡方程已知：M=Pa

求：A、B处约束反力。2a

PaMABCDFAxFAyFBxy解：（1）取刚架为研究对象解上述方程，得（2）画受力图（3）建立坐标系，列方程求解例题4-2

解法14.3平面任意力系和平面平行力系的平衡方程2a

PaMABCDFAxFAyFB

解法2解上述方程，得4.3平面任意力系和平面平行力系的平衡方程解法熟3解上述麦方程，寨得2a

PaMABCDFAxFAyFB4.3匆平面任喝意力系年和平面传平行力夹系的平咱衡方程AFAMAAFAxFAyMAAABqlF（1）固横定端支座求：A处约束限反力。既不能移动，又不能转动的约束——固定端原（插入珍端）约贫束固定端约束简图例题4-怀3（2）分贞布载荷的倡合力q(x)载荷集度PdPdP=q(x)dxq(x)AB合力大就小：由合力饿之矩定翠理：合力作用失线位置：hxdxlx4.3命平面众任意力系误和平面平得行力系的车平衡方程☆两个特例(a)凯均布载取荷Ph(b)三续角形分布耳载荷Phlq0qlxx4.3榆平面惰任意力系笋和平面平婆行力系的竖平衡方程ABqlF解：取AB梁为研桨究对象解上述方山程，得FAxFAyMAP4.3昌平面任奖意力系外和平面捡平行力扔系的平界衡方程FDECBAaaaMP例题4徐-4求：三尊杆对三干角平板ABC的约束舍反力。4.3谅平面愧任意力系扎和平面平赴行力系的汪平衡方程FAFBFCPACaaaMB解得:解：取三冶角形板ABC为研究对占象4.3誓平面咳任意力系嘱和平面平韵行力系的爽平衡方程例4-幼5试求图示裳两外伸梁细的约束力FRA、FRB，其中FP=10屑kN，FP1=2击0k泻N，q=2斩0k财N/m省，d=0.柔8m。解：1.刚选择研在究对象以解除连约束后仇的ABC梁为研栏究对象2.根貌据约束性泳质分析约锦束力A处为固定积铰链，约洗束力为铅仆垂方向与搁水平方向廊的分力FAy和FAx；B处为辊轴驰支座，为垂铅垂方向盛的约束力收，指向是芳未知的，阻可以假设坡为向上的FB。3.应的用平衡方想程确定未冬知力FAyFBFAx4.3尺平面纤任意力系晕和平面平视行力系的叹平衡方程FB=21掠kN（麦↑）FAy=1糖5k川N（↑宴）计算结果摧的校核FAyFBFAx4.3站平面任分意力系谎和平面括平行力窑系的平志衡方程例4-6外伸梁ABC上作用婆有均布漠载荷q=10网kN但/m，策集中力F=20柳kN，力妨偶矩m=10电kNm，求A、B支座的赶约束力某。解：以梁为销研究对象虎，画受力握图，列平枪衡方程4.3岗平面膝任意力系牵和平面平衔行力系的箩平衡方程例4-6外伸梁ABC上作用蜂有均布凝载荷q=10谋kN/m鼠，集中力F=20齐kN，力培偶矩m=10外kNm，求A、B支座的约溪束力。解：以梁胖为研究靠对象，坛画受力刻图，列丽平衡方才程4.3罩平面任呢意力系芝和平面奸平行力裳系的平望衡方程要注意泼的问题防：根据题爱意选择眠研究对史象。分析研究济对象的受毕力情况，宵正确地画岭出其受力扩图。研究对既象与其卖他物体绞相互连液接处的凡约束，侍按约束抢的性质泄表示约英束反力套；正确地挣运用二研力杆的仙性质和晌三力平靠衡定理犹来确定政约束反融力的方饲位；4.3塞平面超任意力系颈和平面平只行力系的蚊平衡方程两物体究之间相乡丰互作用碑的力要咬符合作鸽用与反狼作用定梳律。用几何法垮求解时，居按比例尺缝作出闭合向的力多边磁形，未知塔力的大小宏可按同一馋比例尺在偷图上量出普；用解析法奥求解时，由应适当地跳选取坐标昆轴。为避趋免解联立始方程，可允选坐标轴筋与未知力背垂直。根斯据计算结咏果的正负宜判定假设央未知力的饿指向是否题正确。4.3氧平面任劫意力系投和平面壁平行力臣系的平肚衡方程yxo（A、B两点的念连线不姿得与各旬力平行比）F3F2F1Fn二个方原程只能才求解二烦个未知劫量二力矩讯式4.3逼平面锹任意力系量和平面平爪行力系的进平衡方程二、平躬面平行嫁力系的扬平衡方住程解：取梁ABCD为研究松对象解得：已知：F=2kN，q=1张kN/m求：A、B支座反力伪。例题旨4-介7FNAFNBPD1m2m1mABCFq4.3计平面任掉意力系剑和平面渣平行力泼系的平晓衡方程物体系统畜：由若干选个物体膛通过适抄当的约贺束相互壳连接而硬成的系牵统。静定问题版：单个物飞体或物德体系未析知量的迎数目正湖好等于赴它的独谨立的平录衡方程弯的数目裳。超静定或袜静不定：未知量的伤数目多于痰独立的平友衡方程的拦数目。三、物填体系统构的平衡4.3沿平面任皮意力系甲和平面恐平行力笛系的平强衡方程独立的炭平衡方盾程数：效3未知力数亡：3独立的平六衡方程数踩=未知力逃数独立的润平衡方虾程数：傅3未知力数淘：4未知力数春>独立的颈平衡方程亿数静定问叙题超静定叫问题4.3枝平面悉任意力系户和平面平擦行力系的壶平衡方程独立的平滤衡方程数曲：6未知力忆数：6独立的窝平衡方慢程数=启未知力分数独立的华平衡方拜程数：为6未知力数丘：7未知力数寄>独立的枪平衡方程绸数静定问捎题超静定脆问题4.3须平面肺任意力系安和平面平翁行力系的善平衡方程求解过程葱中应注意姻以下几点首先判讨断物体煎系统是技否属于亮静定问旁题恰当地选缩慧择研究对狡象在一般巡寿情况下遥，首先藏以系统纪的整体活为研究伴对象，列这样则细不出现里未知的买内力，泊易于解坦出未知仰量。当颠不能求追出未知蛋量时应候立即选眠取单个葬物体或随部分物匙体的组香合为研屡究对象全，一般喷应先选抓受力简德单而作咬用又已侄知力的添物体为黎研究对棕象，求愁出部分脂未知量鸽后，再典研究其夏它物体情。4.3缎平面任胆意力系拖和平面沉平行力丸系的平武衡方程受力分析①首誓先从二阔力构件难入手，啄可使受饰力图比边较简单加，有利园于解题豆。②解博除约束舞时，要仗严格地锄按照约辱束的性趟质，画暖出相应畏的约束作力，切臂忌凭主复观想象陶画力。暑对于一辰个销钉为连接三外个或三掀个以上艰物体时昼，要明僵确所选罚对象中息是否包匀括该销杯钉？解少除了哪相些约束象？然后裤正确画蒙出相应疤的约束扛反力。③画受宾力图时，徐关键在于颜正确画出会铰链约束估力，除二影力构件外猪，通常用呈二分力表束示铰链反类力。④不改画研究魄对象的派内力。⑤两物榜体间的相坟互作用力啦应该符合谢作用与反嗓作用定律宴。4.3款平面饺任意力系誉和平面平疑行力系的钩平衡方程列平衡方脱程，求未签知量①列出恰当截的平衡方备程，尽量习避免在方减程中出现宴不需要求萌的未知量嚼。为此可掩恰当地运眯用力矩方傻程，适当伟选择两个摆未知力的旋交点为矩撒心，所选的汇坐标轴伞应与较亦多的未摔知力垂瓣直。②判断清楚毅每个研究热对象所受扯的力系及裙其独立方珠程的个数展及物体系哨独立平衡渴方程的总蓬数，避免列出我不独立的狼平衡方程疗。③解题时应税从未知力垒最少的方挂程入手，倡避免联立忠解。④校核。求短出全部所缎需的未知雄量后，可哑再列一个咱不重复的巧平衡方程租，将计算初结果代入巷，若满足仇方程，则奖计算无误梅。4.3尾平面任智意力系脉和平面闹平行力雨系的平踏衡方程例4-秒9佛图中AD＝DB＝2m项，CD＝DE＝1.针5m圾，Q＝12顶0k肺N，不狗计杆和干滑轮的头重量。徒试求支牛座A和B的约束力呆和BC杆的内力输。解：解欺除约束择，画整勿体受力盼图列平衡方竹程4.3拼平面任费意力系孙和平面奸平行力输系的平掘衡方程可用，验算FAy如下：4.3董平面任遮意力系听和平面鹿平行力咸系的平牧衡方程为求BC杆内力F，取CDE杆连滑轮律为研究对说象，画受哀力图。列遍方程：F=–1沟50k缓N，说明BC杆受压力怜。4.3酬平面惭任意力系摄和平面平封行力系的姓平衡方程求BC杆的内端力，也杰可以取ADB杆为研究宪对象，画梁受力图。4.3若平面任威意力系婶和平面杆平行力杏系的平傍衡方程例4-1路0某厂房用浩三铰刚架库，由于地缸形限制，他铰A及B位于不傲同高度宾，。刚吸架上的矩载荷已裙简化为欲两个集其中力F1及F2。试求C处的约访束力。分别取AC及BC两部分为太研究对象捡，画受力享图。解：本题是弓静定问题逐，但如以妥整个刚架你作为考察缠对象，不疲论怎样选需取投影轴踢和矩心，免每一平衡煌方程中至臭少包含两泽个未数，象而且不可迎能联立求淘解。4.3返平面任给意力系舌和平面容平行力务系的平释衡方程取AC为研究拳对象，腔画受力举图。取BC为研究对计象，画受味力图。联立求丝式解以上诵两式，病可得4.3依平面献任意力系滩和平面平爹行力系的险平衡方程例4-快11结构上作乳用载荷分士布如图，q1＝3奥kN/界m，q2＝0.5睁kN/萌m，力偶碍矩M＝2k脖Nm，试求鸦固定端A与支座B的约束反倡力和铰链C的内力取。解：先研究BC部分，性画受力户图。简化成合才力Fq＝q2×2。列驰方程如下倍：4.3枣平面任喂意力系姑和平面锤平行力飞系的平光衡方程再取AC部分画受搅力图，列蝇方程：4.3默平面曾任意力系瞎和平面平患行力系的含平衡方程例4-奔12三无重杆AC、B吧D、CD如图铰迈接，B处为光钉滑接触嗽，ABC额D为正方形晓，在CD杆距C三分之一岸处作用一颤垂直力近，富求铰链E处的反勺力。解：先你以整体菊为研究消对象，圈受力如券图，建性立如图直坐标。解得：4.3鸡平面些任意力系生和平面平劣行力系的敞平衡方程下面用不么同的方法晨求解。解1：烛先以DC为研究慕对象，车受力如躺图。再以BDC为研究对忆象，受力顾如图，建什立如图坐纸标。类似地工，亦可尼以DC溉和AC日D为研爷究对象炊，进行细求解。4.3寇平面产任意力系钻和平面平印行力系的处平衡方程解2：弟分别以ACD和AC为研究对劣象，受力屈如图。联立求解沾以上两方饭程即得同川样结果。类似地赚，亦可膀以BDC和BD为研究奶对象，燃进行求此解。4.3追平面任第意力系薯和平面夜平行力朴系的平快衡方程解3：分忧别以BD和AC为研究对翠象，受力晨如图。用、表示的约束反力和用、表示的约束反力本质上是同一个力。4.3厌平面哪任意力系愿和平面平仗行力系的颤平衡方程思考：图示结构，在水平杆AB上作用一铅垂向下的力，试证明AC杆所受的力与的作用位置无关。4.3惕平面任痒意力系剖和平面植平行力乞系的平惑衡方程例4-狗13：三根最等长同胃重均质拔杆（重W）如图在寸铅垂面内嚷以铰链和郑绳EF构成正痒方形。区已知：E、F是AB、BC中点，AB水平，位求绳EF的张力。解1：先以AB为研究对象，受力如图。设杆长为。再以整体步为研究对旁象，受力世如图。——（2）（1）4.3界平面任慎意力系张和平面局平行力仗系的平请衡方程最后以DC为研究羊对象，掠受力如茧图。——（3）联立求解（1）（2）（3）得：解2：先垄以BC为研究对惩象，受力胖如图。——（4）再以DC为研究对身象，受力订如图。——（5）最后以沉整体为音研究对膨象，受搏力如图织。——（6）4.3督平面卵任意力系萝和平面平饭行力系的概平衡方程联立求解陡（4）—度（6）即脚可的同样抓果。解3：虑先以BCD为研究帅对象，受力如图位。—（7）联立求解佛（3）（炎6）（7慨）即可得垫同样结果果。4.3吴平面任致意力系堆和平面串平行力缎系的平猾衡方程已知：P=0.4kN，Q=1.5kN，

sin=4/5例题4-14求：支座A、C的反力。AQCBPFAxFAyFCxFCy解：(1)取整体为阵研究对象解上述方第程，得4.3末平面任词意力系仰和平面后平行力稻系的平很衡方程AQCBPFAxFAyFCxFCy解上述方租程，得PABFBxFByFAxFAy解得:(2)取AB为研究卫对象代入（3承）式得4.3酱平面任炒意力系恐和平面无平行力初系的平滤衡方程EqaaaaaABCDFAyFAxFE求：A、E的约束反力和BC杆内力泰。例题锹4-难15解：(佛1)取整体效为研究果对象解得：4.3执平面镰任意力系悔和平面平瞎行力系的碰平衡方程CDqCDFDxFDy(2)取曲杆CD为研究汤对象解得：FC4.3股平面任嗽意力系谣和平面桶平行力扇系的平密衡方程BCqMCAq1m1mAC1m1mMqBFAxFAyMAFCxFCy

FB解：(1)取BC为研究对痛象解得:(2)取AC为研究对浆象解得:求：支座A、C的反力拒。例题4售-16已知：M=1槽0kN陈·m,q=2kN把/m4.3鲜平面任朵意力系兼和平面肢平行力滨系的平趣衡方程500NDCEFExFEyFDxFDy500N500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2mFAxFAyFB求：D、E的约束脉反力。解：(1)取CDE为研究务对象解上述方碎程，得(2)取整体援为研究断对象解得:4.3找平面蚁任意力系浇和平面平援行力系的灿平衡方程500NDCEFExFEyFDxFDy500N500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2mFAxFAyFBGEBFGxFGyFB(3)取BEG为研究烂对象解得:代入（度3）式黄得:4.3旋平面错任意力系先和平面平怒行力系的馒平衡方程解：(1)取整体跪为研究绕对象(2)取DEF杆为研灶究对象解得：aBCDAFEPaaaFCxFCyFBxFByPDFEFNEB求：A、D、B的约束反激力。例题四4-174.3冶平面任趁意力系压和平面冈平行力况系的平柄衡方程BDA(2)取DEF杆为研变究对象解得：PDFEFNEBFDyFDxFBxFByFAxFAy(3)取ADB杆为研愧究对象解得：4.3垫平面需任意力系些和平面平苗行力系的伙平衡方程aBCDAFEPaaa(a)aBCDAFEPaaa(b)aBCDAFEaaaM(c)aBCDAFEaaaM(d)4.3旬平面任逝意力系散和平面秋平行力忽系的平社衡方程PPABCDaaaa2a2aPFBxFByFCyFCxBCFAyPFAxAB求：A、D的约束反力。例题4-18解：(1)取BC杆为研粥究对象解得：(2)取AB杆为研蛾究对象解得：代入（3健）式解得描：4.3凝平面任召意力系申和平面华平行力戏系的平浪衡方程CD(3)取CD杆为研究议对象解得：FDxFDyMD4.3鸦平面牧任意力系姑和平面平吊行力系的鸽平衡方程qMABCDEH2m2m2m2m1m1m求：

A、B的约束反力。例题4-19已知：q=50kN/m,M=80kN·m解：(1)取DE杆为研扑究对象qMEDFDxFDyFHEH4.3作平面任民意力系赶和平面敲平行力目系的平腊衡方程qMABCDEH2m2m2m2m1m1m(2)取BDC杆为研易究对象BCDFCxFCyFNB(3)取整体为待研究对象解得：FNBFAxFAyMA4.3稀平面任痒意力系专和平面躺平行力匹系的平笑衡方程4.4浪考虑滑动弱摩擦时的电平衡问题一、摩贯擦现象类与摩擦之力当两物体云的接触表妙面有相对洽滑动或滑差动趋势时传，在接触予面所产生赛的切向阻绩力，称为滑动摩擦翼力，简称摩擦力。所以增膜大摩擦阅力的途光径为：①加大正体压力Fn,②加大摩咏