2023届远程授课山西省大同市第一中学数学高二第二学期期末联考试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，函数，若对任意给定的，总存在，使得，则的最小值为（）A． B． C．5 D．62．已知集合，，则集合中元素的个数为()A．2 B．3 C．4 D．53．已知曲线的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为()A．1 B．ln2 C．2 D．e4．我们正处于一个大数据飞速发展的时代，对于大数据人才的需求也越来越大，其岗位大致可分为四类：数据开发、数据分析、数据挖掘、数据产品.以北京为例，2018年这几类工作岗位的薪资（单位：万元/月）情况如下表所示.由表中数据可得各类岗位的薪资水平高低情况为A．数据挖掘>数据开发>数据产品>数据分析 B．数据挖掘>数据产品>数据开发>数据分析C．数据挖掘>数据开发>数据分析>数据产品 D．数据挖掘>数据产品>数据分析>数据开发5．已知为双曲线的右焦点，过原点的直线与双曲线交于，两点，若且的周长为，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．6．中国古代数学名著《九章算术•商功》中记载了一种名为“堑堵”的几何体：“邪解立方得二堑堵邪解堑堵”錾堵是一个长方体沿不在同一表面上的相对两棱斜截所得的立体图形其正视图和俯视图（直角三角形）如图所示，则该“堑堵”的外接球的大圆面积为（）A． B． C． D．7．已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（）A． B． C． D．8．设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A． B． C．-2 D．29．设为随机变量，，若随机变量的数学期望，则等于（）A． B．C． D．10．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数中的“…”代表无限次重复，设，则可以利用方程求得，类似地可得到正数=（）A．2 B．3 C．4 D．611．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为A．0.24 B．0.26 C．0.288 D．0.29212．已知，则的最小值是A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，且，则_______.14．设集合A＝，B＝{x|y＝ln(x2－3x)}，则A∩B中元素的个数是________.15．已知是与的等比中项，则圆锥曲线的离心率是__________．16．已知函数，且过原点的直线与曲线相切，若曲线与直线轴围成的封闭区域的面积为，则的值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前项和为，证明：．18．（12分）随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，在收费10元的基础上，每超过（不足，按计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.（1）计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101~300之间的概率；（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？19．（12分）已知,,设,且,求复数,.20．（12分）选修4一5:不等式选讲已知函数，.(1)当时,解不等式；(2)若对任意,存在,使得成立,求实数的取值范围.21．（12分）已知函数.（1）求函数的极值；（2）若函数有两个零点，且，证明：.22．（10分）在平面直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，以原点为极点，以轴为非负半轴为极轴，与坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线的极坐标方程为.(1)若直线与曲线有公共点，求倾斜角的取值范围；(2)设为曲线上任意一点，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】分析：先化简函数的解析式得，再解方程f(x)=0得到，再分析得到，再讨论a=0的情况得到w的范围，再综合即得w的最小值.详解：当a≠0时，，由f(x)=0得，因为所以，根据三角函数的图像得只要coswx=1满足条件即可，这时，所以当a=0时，，令f(x)=0，所以coswx=0，须满足综合得故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查函数的零点和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合思想方法.(2)解答本题的难点在讨论a≠0时，分析推理出.2、D【解析】由题意得，根据，可得的值可以是：，共有5个值，所以集合中共有5个元素，故选D.考点：集合的概念及集合的表示.3、D【解析】

对函数进行求导，然后让导函数等于2，最后求出切点的横坐标.【详解】，由题意可知，因此切点的横坐标为e，故选D.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了导数的运算法则，考查了数学运算能力.4、B【解析】

根据表格中的数据计算出各类岗位的平均薪资，比较大小后得出结论。【详解】由表格中的数据可知，数据开发岗位的平均薪资为（万元），数据分析岗位的平均薪资为（万元），数据挖掘岗位的平均薪资为（万元），数据产品岗位的平均薪资为（万元）。故选：B。【点睛】本题考查样本数据的平均数，熟练利用平均数公式计算样本数据的平均数，是解本题的关键，考查计算能力与数据分析能力，属于中等题。5、D【解析】

设双曲线的另一个焦点为，则根据双曲线的对称性得为矩形，，由条件可得，由双曲线的定义，再由勾股定理可解得离心率.【详解】设双曲线的另一个焦点为，由.根据双曲线的对称性得为矩形，如图，.又的周长为，则…………①.由双曲线的定义………………②由①，②得.在直角三角形中,.则，即，所以.故选：D【点睛】本题考查双曲线的对称性和定义，求双曲线的离心率，属于难题.6、B【解析】

首先根据题意得到“堑堵”是半个长方体的直三棱柱，再求其外接球的大圆面积即可.【详解】由题知：“堑堵”是半个长方体的直三棱柱，如图所示：设外接球大圆的半径为，.，所以外接球的大圆面积为.故选：B【点睛】本题主要考查三棱柱的外接球，同时考查三视图的直观图，属于中档题.7、B【解析】分析：通过f（x）的单调性，画出f（x）的图象和直线y=a，考虑四个交点的情况，得到x1=-2-x2，-1＜x2≤0，x3x4=4，再由二次函数的单调性，可得所求范围．详解：当x＞0时，f（x）=，可得f（x）在x＞2递增，在0＜x＜2处递减，

由f（x）=e

(x+1)2，x≤0，

x＜-1时，f（x）递减；-1＜x＜0时，f（x）递增，

可得x=-1处取得极小值1，

作出f（x）的图象，以及直线y=a，

可得e

(x1+1)2=e

(x2+1)2=，即有x1+1+x2+1=0，可得x1=-2-x2，-1＜x2≤0，可得x3x4=4，

x1x2+x3x4=4-2x2-x22=-（x2+1）2+5，在-1＜x2≤0递减，

可得所求范围为[4，5）．故选B.点睛：本题考查函数方程的转化思想，以及数形结合思想方法，考查二次函数的最值求法，化简整理的运算能力，属于中档题．8、A【解析】

根据函数的求导运算得到导函数，根据题干所给的垂直关系，得到方程，进而求解.【详解】由题意得，，∵在点处的切线与直线垂直，∴，解得，故选：A．【点睛】这个题目考查了函数的求导法则，涉及到导数的几何意义的应用，属于基础题.9、A【解析】

根据解得，所以.【详解】因为，得，即.所以.故选【点睛】本题主要考查二项分布，同时考查了数学期望，熟记公式是解题的关键，属于简单题.10、B【解析】

先阅读理解题意，再结合题意类比推理可得：设，解得，得解．【详解】解：依题意可设，解得，故选：．【点睛】本题考查类比推理，属于基础题．11、C【解析】

首先分析可能的情况：（白，非白，白）、（白，白，非白）、（非白，白，白），然后计算相应概率.【详解】因为摸一次球，是白球的概率是，不是白球的概率是，所以，故选C.【点睛】本题考查有放回问题的概率计算，难度一般.12、B【解析】

将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式求出代数式的最小值，然后在不等式两边同时除以可得出答案．【详解】因为，又，所以，当且仅当时取，故选B．【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，在利用基本不等式求最值时，要注意配凑“定值”的条件，注意“一正、二定、三相等”基本思想的应用．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】由题意可得解得.【名师点睛】（1）向量平行：，,.（2）向量垂直：.（3）向量的运算：.14、1.【解析】

求出A中不等式的解集，确定出解集的自然数解确定A，求出B中x的范围确定出B，找出两集合的交集，即可作出判断．【详解】由A中不等式变形得：2﹣2≤2x≤24，即﹣2≤x≤4，x∈N，∴A={0，1，2，3，4}，由B中y=ln（x2﹣3x），得到x2﹣3x＞0，解得：x＜0或x＞3，即B={x|x＜0或x＞3}，则A∩B={4}，即A∩B中元素个数为1，故答案为：1．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．15、或【解析】分析：根据等比中项，可求出m的值为；分类讨论m的不同取值时圆锥曲线的不同，求得相应的离心率。详解：由等比中项定义可知所以当时，圆锥曲线为椭圆，离心率当时，圆锥曲线为双曲线，离心率所以离心率为或2点睛：本题考查了数列和圆锥曲线的综合应用，基本概念和简单的分类讨论，属于简单题。16、【解析】分析：先根据导数几何意义求切点以及切线方程，再根据定积分求封闭区域的面积，解得的值.详解：设切点，因为，所以所以当时封闭区域的面积为因此，当时，同理可得，即点睛：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）见解析【解析】

（1）可以通过取计算出，再通过取时计算出,得出答案。（2）可通过裂项相消求解。【详解】（1）当时，有，解得.当时，有，则，整理得：，数列是以为公比，以为首项的等比数列．所以，即数列的通项公式为：．（2）由（1）有，则所以易知数列为递增数列，所以。【点睛】本题考察的是求数列的通项公式以及构造数列然后求和，求等比数列的通项公式可以先求首项和公比，求和可以通过裂项相消求解。18、（1）（2）①平均值可估计为15元.②公司不应将前台工作人员裁员1人.【解析】分析：（1）利用古典概型概率公式可估计样本中包裹件数在之间的概率为，服从二项分布，从而可得结果；（2）①整理所给数据，直接利用平均值公式求解即可；②若不裁员，求出公司每日利润的数学期望，若裁员一人，求出公司每日利润的数学期望，比较裁员前后公司每日利润的数学期望即可得结果.详解：（1）样本中包裹件数在101~300之间的天数为36，频率，故可估计概率为，显然未来5天中，包裹件数在101~300之间的天数服从二项分布，即，故所求概率为（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：包裹重量（单位：）12345快递费（单位：元）1015202530包裹件数43301584故样本中每件快递收取的费用的平均值为，故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元），若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数范围0～100101～200201～300301～400401～500包裹件数（近似处理）50150250350450实际揽件数50150250350450频率0.10.10.50.20.150×0.1+150×0.1+250×0.5+350×0.2+450×0.1=260故公司平均每日利润的期望值为（元）；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数范围0～100101～200201～300301～400401～500包裹件数（近似处理）50150250350450实际揽件数50150250300300频率0.10.10.50.20.150×0.1+150×0.1+250×0.5+300×0.2+300×0.1=235故公司平均每日利润的期望值为（元）因，故公司不应将前台工作人员裁员1人.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度19、【解析】

明确复数,的实部与虚部，结合加减法的运算规则，即可求出复数，从而用表示出，接下来根据复数相等的充要条件列出关于的方程组求解，即可得出,.【详解】∵.∴.又∵∴∴∴∴【点睛】本题主要考查复数代数形式的加减运算、共轭复数的定义以及复数相等的充要条件，属于中档题.复数相等的性质是：若两复数相等则它们的实部与虚部分别对应相等.20、（1）；（2）.【解析】分析：（1）当时，，分段讨论即可；（2）由题意可得函数的值域是的值域的子集，从而求得实数的取值范围.详解：（1)当时，，或，或，解得.即不等式解集为.(2)，当且仅当时，取等号，的值域为.又在区间上单调递增.即的值域为，要满足条件，必有，解得的取值范围为点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，绝对值三角不等式的应用，属于中档题.21、(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可得函数的极值；（2），为函数零点，可得，要证，只需证，，令，在上是增函数，∴，∴，从而可得结论.详解：（1）函数的定义域为..当时，，在上是减函数，所以在上无极值；当时，若，，在上是减函数.当，，在上是增函数，故当时，在上的极小值为.（2）证明