华师大版九年级下第26章二次函数2二次函数省赛一等奖

《二次函数》同步练习一、选择题1.如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE⊥EF.设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是（）=x+1 =x﹣1 =x2﹣x+1 =x2﹣x﹣12.如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）= = = =3.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m.如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）=﹣2x2 =2x2 =﹣x2 =x24.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（）=2a（x﹣1） =2a（1﹣x） =a（1﹣x2） =a（1﹣x）25.某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两年后产品y与x的函数关系是（）=20（1﹣x）2 =20+2x =20（1+x）2 =20+20x2+20x6.某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（）=x2+a =a（x﹣1）2 =a（1﹣x）2 =a（1+x）27.长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（）=x2 =（12﹣x2） =（12﹣x）•x =2（12﹣x）8.一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y关于x的函数关系式为（）=60（1﹣x）2 =60（1﹣x2） =60﹣x2 =60（1+x）2二、填空题9.如图，在一幅长50cm，宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为ycm2，金色纸边的宽为xcm，则y与x的关系式是_________。10.用一根长50厘米的铁丝，把它弯成一个矩形框，设矩形框的一边长为x厘米，面积为y平方厘米，写出y关于x的函数解析式：_________。11.某企业今年第一月新产品的研发资金为100万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长的都是x，则该厂今年第三月新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=_________。12.一个矩形的周长为16，设其一边的长为x，面积为S，则S关于x的函数解析式是_________。13.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=_________。14.如图，李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD，用篱笆围成的另外三边总长为24m，设BC的长为xm，矩形的面积为ym2，则y与x之间的函数表达式为_________。三、解答题15.某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长率都是x，写出利润y与增长的百分率x之间的函数解析式，它是二次函数吗？如果是请写出二次项系数、一次项系数和常数项。16.在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子。镜子的长与宽的比是2：1.已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元.设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米。（1）求y与x之间的关系式。（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽。17.已知某商场一月份的利润是100万元，三月份的利润达到y万元，这两个月的利润月平均增长率为x，求y与x的函数关系式。18.某公园门票每张是80元，据统计每天进园人数为200人，经市场调查发现，如果门票每降低1元出售，则每天进园人数就增多6人，试写出门票价格为x（x≤80）元时，该公园每天的门票收入y（元），y是x的二次函数吗？19.已知在△ABC中，∠B=30°，AB+BC=12，设AB=x，△ABC的面积是S，求面积S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围。20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC、BC的长为方程x2﹣14x+a=0的两根，且AC﹣BC=2，D为AB的中点。（1）求a的值。（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒…若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束.设运动时间为t秒。①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由。21.用总长为L米的篱笆围成长方形场地，已知长方形的面积为60m2，一边长度x米，求L与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围。22.某商品每件成本40元，以单价55元试销，每天可售出100件。根据市场预测，定价每减少1元，销售量可增加10件。求每天销售该商品获利金额y（元）与定价x（元）之间的函数关系。

参考答案一、选择题1.考点：根据实际问题列二次函数关系式。专题：动点型。分析：易证△ABE∽△ECF，根据相似三角形对应边的比相等即可求解。解答：解：∵∠BAE和∠EFC都是∠AEB的余角。∴∠BAE=∠FEC。∴△ABE∽△ECF那么AB：EC=BE：CF，∵AB=1，BE=x，EC=1﹣x，CF=1﹣y。∴AB•CF=EC•BE，即1×（1﹣y）=（1﹣x）x。化简得：y=x2﹣x+1。故选C。点评：本题结合了正方形和相似三角形的性质考查了二次函数关系式。根据条件得出形似三角形，用未知数表示出相关线段是解题的关键。2.考点：根据实际问题列二次函数关系式。专题：压轴题。分析：四边形ABCD图形不规则，根据已知条件，将△ABC绕A点逆时针旋转90°到△ADE的位置，求四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底DE，下底AC，高DF分别用含x的式子表示，可表示四边形ABCD的面积。解答：解：作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE∴∠BAC=∠DAE又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°∴△ABC≌△ADE（AAS）∴BC=DE，AC=AE，设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，解得：a=，∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=×（DE+AC）×DF=×（a+4a）×4a=10a2=x2。故选：C。点评：本题运用了旋转法，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，勾股定理在解题中的作用。3.考点：根据实际问题列二次函数关系式。专题：压轴题。分析：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解。解答：解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；那么（2，﹣2）应在此函数解析式上。则﹣2=4a即得a=﹣，那么y=﹣x2。故选：C。点评：根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点。4.考点：根据实际问题列二次函数关系式。分析：原价为a，第一次降价后的价格是a×（1﹣x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为a×（1﹣x）×（1﹣x）=a（1﹣x）2。解答：解：由题意第二次降价后的价格是a（1﹣x）2。则函数解析式是y=a（1﹣x）2。故选D。点评：本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的。5.考点：根据实际问题列二次函数关系式。分析：根据已知表示出一年后产品数量，进而得出两年后产品y与x的函数关系。解答：解：∵某工厂一种产品的年产量是20件，每一年都比上一年的产品增加x倍，∴一年后产品是：20（1+x），∴两年后产品y与x的函数关系是：y=20（1+x）2。故选：C。点评：此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，得出变化规律是解题关键。6考点：根据实际问题列二次函数关系式。分析：本题是增长率的问题，基数是a元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式。解答：解：依题意，得y=a（1+x）2。故选D。点评：在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果。7.考点：根据实际问题列二次函数关系式。专题：几何图形问题。分析：先得到长方形的另一边长，那么面积=一边长×另一边长。解答：解：∵长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），∴长方形的另一边长为12﹣x，∴y=（12﹣x）•x。故选C。点评：考查列二次函数关系式；得到长方形的另一边长是解决本题的易错点。8.考点：根据实际问题列二次函数关系式。分析：原价为60，一年后的价格是60×（1﹣x），二年后的价格是为：60×（1﹣x）×（1﹣x）=60（1﹣x）2，则函数解析式求得。解答：解：二年后的价格是为：60×（1﹣x）×（1﹣x）=60（1﹣x）2，则函数解析式是：y=60（1﹣x）2。故选A。点评：本题需注意二年后的价位是在一年后的价位的基础上降价的。二、填空题9.考点：根据实际问题列二次函数关系式。分析：由于整个挂画为长方形，用x分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式。解答：解：由题意可得：y=（50+2x）（30+2x）=4x2+160x+1500。故答案为：y=4x2+160x+1500。点评：此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键，此题主要利用了长方形的面积公式解题。10.考点：根据实际问题列二次函数关系式。分析：易得矩形另一边长为周长的一半减去已知边长，那么矩形的面积等于相邻两边长的积。解答：解：由题意得：矩形的另一边长=50÷2﹣x=25﹣x，则y=x（25﹣x）=﹣x2+25x。故答案为y=﹣x2+25x。点评：本题考查列二次函数关系式；掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解决本题的突破点。11.考点：根据实际问题列二次函数关系式。分析：由一月份新产品的研发资金为100元，根据题意可以得到2月份研发资金为100（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式。解答：解：∵一月份新产品的研发资金为100元，2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴2月份研发资金为100（1+x），∴三月份的研发资金为y=100（1+x）×（1+x）=100（1+x）2。故答案为：100（1+x）2。点评：此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）2=b来解题。12.考点：根据实际问题列二次函数关系式。分析：首先求得矩形的另一边长，则面积=两边长的乘积，得出函数解析式。解答：解：∵矩形的周长为16，其一边的长为x，∴另一边长为8﹣x，∴S=x（8﹣x）=8x﹣x2。故答案为：S=8x﹣x2。点评：此题考查列二次函数关系式；得到矩形的另一边长是解决本题的突破点。13.考点：根据实际问题列二次函数关系式。专题：计算题。分析：由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到2月份研发资金为a×（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式。解答：解：∵一月份新产品的研发资金为a元，2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴2月份研发资金为a×（1+x），∴三月份的研发资金为y=a×（1+x）×（1+x）=a（1+x）2。故填空答案：a（1+x）2。点评：此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）2=b来解题。14.考点：根据实际问题列二次函数关系式。分析：根据题意可得y=（24﹣x）x，继而可得出y与x之间的函数关系式。解答：解：由题意得：y=（24﹣x）x=﹣x2+12x，故答案为：y=﹣x2+12x。点评：此题考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，属于基础题，解答本题关键是根据三边总长应恰好为24米，列出等式。三、解答题15.考点：根据实际问题列二次函数关系式。分析：根据增长率的问题，基数是a元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式。解答：解：依题意，得y=a（1+x）2=ax2+2ax+a，是二次函数，二次项系数为：a、一次项系数为2a和常数项为a。点评：此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果。16.考点：根据实际问题列二次函数关系式；解一元二次方程-因式分解法。专题：几何图形问题；压轴题。分析：（1）依题意可得总费用=镜面玻璃费用+边框的费用+加工费用，可得y=6x×30+45+2x2×120化简即可。（2）根据共花了195元，即玻璃的费用+边框的费用+加工费=195元，即可列出方程求解。解答：解：（1）y=（2x+2x+x+x）×30+45+2x2×120=240x2+180x+45；（2）由题意可列方程为240x2+180x+45=195，整理得8x2+6x﹣5=0，即（2x﹣1）（4x+5）=0，解得x1=，x2=﹣（舍去）∴x=，∴2x=1，答：镜子的长和宽分别是1m和。点评：本题是一道一元二次方程的应用题，解这类题关键是理解题意，建立恰当的关系式予以求解。17.考点： 根据实际问题列二次函数关系式。分析：本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），利润的平均月增长率为x，那么根据题意即可得出y=100（1+x）2。解答：解：∵一月份的利润是100万元，利润月平均增长率为x，∴二月份的利润是100（1+x），∴三月份的利润是100（1+x）2，因此y=100（1+x）2。点评：本题考查一元二次方程的应用，解决此类三次变化问题，可利用公式a（1+x）2=c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率。18.考点：根据实际问题列二次函数关系式。分析：根据已知得出门票价格为x（x≤80）元时，进而表示出进园人数得出即可。解答：解：根据题意可得：y=x[200+6（80﹣x）]=﹣6x2+680x。点评：本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出每天进园人数是解题关键。19.考点：根据实际问题列二次函数关系式。分析：作△ABC的高AD，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AD=AB，再根据三角形的面积公式得出△ABC的面积=BC•AD，将相关数值代入即可。解答：解：如图，作△ABC的高AD。在△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=30°，∴AD=AB=x，∴S=△ABC的面积=BC•AD=（12﹣x）•x=﹣x2+3x，∴面积S关于x的函数解析式为S=﹣x2+3x（x＞0）。点评：本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积，求出△ABC的高AD是解题的关键。20.考点：根据实际问题列二次函数关系式；解一元一次方程；根与系数的关系；三角形的面积；直角三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义。专题：计算题；压轴题；动点型。分析：（1）根据根与系数的关系求出AC+BC=14，求出AC和BC，即可求出答案；（2）根据勾股定理求出AB，sinB，过C作CE⊥AB于E，关键三角形的面积公式求出CE，I当0＜t≤1时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ=AC•BC﹣AP•CE﹣BQ•BPsinB，求出即可；II同理可求：当1＜t≤2。5时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ=×8×6﹣×2t×﹣×3×（10﹣2t）×=﹣t+12；III当2。5＜t≤3时，S=﹣t+12，IIII当3＜t＜4时，S=CQ•CPsin∠BCD=CQ•CPsin∠B=×（6﹣3t）×（10﹣2t）×=t2﹣t+24；②在整个运动过程中，只可能∠PQC=90°，当P在AD上时，若∠PQC=90°，cosB==，代入即可求出t；当P在DC上时，若∠PQC=90°，sinA=sin∠CPQ，=，得到，=或=，求出t，根据t的范围1＜t＜4，判断即可。解答： 解：（1）∵AC、BC的长为方程x2﹣14x+a=0的两根，∴AC+BC=14，又∵AC﹣BC=2，∴AC=8，BC=6，∴a=8×6=48，答：a的值是48。（2）∵∠ACB=90°，∴AB==10。又∵D为AB的中点，∴CD=AB=5，∵sinB==，过C作CE⊥AB于E，根据三角形的面积公式得：AC•BC=AB•CE，6×8=10CE，解得：CE=，过P作PK⊥BQ于K，∵sinB=，∴PK=PB•sinB，∴S△PBQ=BQ×PK=BQ•BPsinB，（I）当0＜t≤1时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ=AC•BC﹣AP•CE﹣BQ•BPsinB，=×8×6﹣×2t×﹣×3t×（10﹣2t）×，=t2﹣t+24，（II）同理可求：当1＜t≤2。5时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ=AC•BC﹣AP•CE﹣BQ•BPsinB，=×8×6﹣×2t×﹣×3×（10﹣2t）×，=﹣t+12；（III）当2。5＜t≤3时，S=CQ•PCsin∠BCD=×3×（10﹣2t）×=﹣t+12；（IIII）当3＜t＜4时，∵△PHC∽△BCA，∴，∴=，∴PH=8﹣1。6t，∴S=CQ•PH=CQ•PH=×（12﹣3t）×（8﹣1。6t）=t2﹣t+48。答：