建筑力学 第章 组合变形杆的强度计算

第10章组合变形杆的强度计算[内容提要]本章介绍了组合变形的概念和截面核心的概念；阐述了斜弯曲、偏心压缩(拉伸)、弯扭组合变形内力和应力分析方法及其应用。10.1组合变形的概念·工程实例

前面各章讨论了杆件在荷载作用下产生的几种基本变形：轴向拉伸(压缩)、扭转、和平面弯曲。但在实际工程中，所有杆件受力后往往产生的变形不是单一的基本变形，而是同时由两种及以上基本变形组成的复杂变形，此情形下,我们称构件的这类变形为组合变形。构件的复杂变形中,如果其中一种变形形式是主要的，由它引起的应力(或变形)比其它的变形形式所引起的应力(或变形)大很多(大一个数量级以上)，则构件可按主要的变形形式进行基本变形计算。如果几种变形形式所对应的应力(或变形)属于同一数量级，我们就必须按照组合变形的理论进行计算。组合变形在实际工程中常常遇到。例如图10-1(a)所示的烟囱的变形除自重引起的轴向压缩外，还有因水平方向的风力而引起的弯曲；图10-1(b)所示的机械中的齿轮传动轴在外力作用下，将同时发生扭转变形及在水平平面和垂直平面内的弯曲变形；图10-1(c)所示的有吊车的厂房中，立柱受到由吊车梁传来的具有偏心距e的竖向荷载，立柱将同时发生轴向压缩和弯曲变形。图10-1对于组合变形下的构件，在小变形和胡克定律适用的前提下，可以应用叠加原理来处理杆件的组合变形问题。。组合变形杆件的强度计算，通常按照下述步骤进行：将作用于组合变形杆件上的外力分解或简化为基本变形的受力方式；应用以前各章的知识对这些基本变形进行应力计算；将各基本变形同一点处的应力叠加，以确定组合变形时各点的应力；分析确定危险点的应力，建立强度条件。本章着重讨论工程中常遇到的下列几种组合变形：(1)斜弯曲；(2)偏心压缩(拉伸)；(3)弯曲与扭转的组合。10.2斜弯曲杆在研究梁平面弯曲时的应力和应变的过程中，梁上的外力是横向力或力偶，并且作用在梁的同一个纵向对称平面内，弯曲后梁的挠曲线仍在此对称平面内，即梁的挠曲线所在平面与外力作用平面相重合，且力平面与中性轴垂直。如果梁上的外力虽然通过截面形心，但是并没有在纵向对称平面内，而是与截面的某一对称轴成一角度，则梁变形后的挠曲线就不会在外力作用平面内，即不再是平面弯曲，这种弯曲称为斜弯曲。10.2.1斜弯曲杆的内力和应力

现以如图10-2所示的矩形截面悬臂梁为例来分析斜弯曲时梁的强度计算问题。设在梁的自由端处平面内作用有一个垂直于梁轴，并通过截面形心且与形心轴y成角度φ的外力P作用，由上可知，该梁将发生斜弯曲。为便于说明问题，通常设外力P所在象限为选定坐标系的第一象限。图10-21.外力分析根据组合变形的计算方法，首先将力P沿y轴和z轴方向分解，得到力P在梁的两个纵(横)向对称平面内的分力(如图10-2(b))将力P用与之等效的和代替后，只引起梁在xy平面内的平面弯曲，只引起梁在xz平面内的平面弯曲。由此可知，斜弯曲实质是梁在两个相互垂直方向平面弯曲的组合，故又称双向弯曲。将力P用与之等效的和代替后，只引起梁在xy平面内的平面弯曲，只引起梁在xz平面内的平面弯曲。由此可知，斜弯曲实质是梁在两个相互垂直方向平面弯曲的组合，故又称双向弯曲。2.内力分析在、作用下，横截面上的内力有剪力和弯矩两种内力，一般情况下，特别是实体截面梁时，剪力引起的切应力数值较小，常常忽略不计，斜弯曲梁的强度主要是由正应力控制，故通常只计算弯矩的作用。在距固定端为x的横截面m—m截面上由和分别引起的弯矩为：产生的弯矩：产生的弯矩：式中，为力P引起的m—m截面上产生的总弯距且，所以、也可以看作总弯矩在两个形心轴z、y轴上的分量。3.应力分析应用叠加原理，可以求得m—m截面上任意一点K(y，z)处的应力。先分别计算两个平面弯矩在K点产生的应力：引起的应力为：

引起的应力为：由Mz、My分别引起的应力分布，组合应力分布分别如图10­-3(a)、(b)、(c)所示。以上两式中的负号是由于K点的应力均是压应力之故。根据叠加原理，则点K处的应力便是以上两式的代数和：(10-1)这就是斜弯曲时梁内任意一点K处正应力计算公式。应用上式计算任意一点处的应力时，、、y、z均以绝对值代入，应力与的正负号可以直接由变形情况来判断。如图10-2所示的m—m截面在单独作用时，上半截面为拉应力区，下半截面为压应力区，在单独作用下，左半截面为拉应力区，右半截面为压应力区，故图示的K点应力均为压应力。

对于工程中常用的矩形、工字型等截面具有两个对称轴，最大正应力必定发生在棱角点上。将离中性轴最远的几个点的坐标代入(10-1)式，便可求得任意截面上的最大正应力值。对于等截面梁而言，产生最大弯矩的截面就是危险截面。危险截面上所处的位置即为危险点。如图10-2所示悬臂梁的固定端截面弯矩最大，截面棱角点A处具有最大拉应力，棱角点C处具有最大压应力。，，所以。危险点的应力为：

(10-2)上式中：为截面对z轴的抗弯截面模量；为截面对y轴的抗弯截面模量；

；。10.2.2斜弯曲杆的强度计算假定材料的抗拉和抗压强度相等，则梁斜弯曲时危险点处于单向应力状态，则强度条件为：

(10-3)

或写为(10-4)根据这一强度条件，同样可以进行斜弯曲杆的强度校核、截面设计和确定许可荷载三类问题的计算。但是，在设计截面尺寸的时候，要遇到和两个未知量，可先假定一个的比值，根据上式计算出所需的值，从而确定计算出值及确定截面的尺寸，再按照式(10-4)进行强度校核。通常矩形截面取=1.2~2；工字型截面取=8~10；槽型截面取=6~8。【例1维0-1照】图1炒0-4点所示图秤形为一木No3并2a工吴字钢截乖面简支贼梁，跨邮长l=4m要，跨中虚受集中乔力作用元，P=侵30k纸N，P客的作用下线与横柏截面铅箱垂对称眠轴y之柳间的夹伸角泡=游，若放材料的减容许应女力币=17枕0Mp退a，试碗校核该艺梁的正喊应力强扬度。图10兔-4解：1、分突解外力2、计算耻内力在xoy挂平面内，配引起的在做跨中截面它(见图1辅0-4(碑c))在xoz蛾平面内，忠引起的仍世在跨中截暮面3、计算旗应力显然，珍危险截坛面在跨枣中，危膊险点为弦D、E尝。D点边处的拉丑应力最雪大，E阵点处的定压应力杜最大，痛且其值层相等。根据型钢讯表查得N栽o.32塌a工字钢送的有关参信数为：炮=7荡0.8c援m3，矛=6亏92.即2cm3。将此数宫据代入式乔(10-偷3)，得续危险点处数的正应力炕为：若外力不片偏离纵向客对称平面秋，即叉=染，则恨跨中截面铜上的最大挖正应力为由以上计奶算结果分摧析可知丈：由受于力P偏接离了流=蒸170，而最息大正应子力就由浇43.舟3Mp老a变成例了16惕5.3蛋Mpa润，增加控了3.屈8倍。拿这是由跃于工字示钢截面筑的场远辫小于领的缘故岁，所以弊应注意序使外力执尽可能霸作用在稠梁的形煤心主惯橡性平面传0xy内。【例1家0-2椒】如图骄10-虏5所示础屋面结秘构的檩亏条，跨稻长坝=3m伍，受踩集度为腥q=鹊1kN激/m骨的均布巾荷载作估用。檩浩条采用界高宽比姓h/b堤=1/角1的虚矩形截喜面，峡均布荷荣载的作拐用线与亿横截面烦铅垂对准称轴y尸之间的登夹角污=另，容许童应力背=10喊Mpa岁，试选降择其截比面尺寸余。图10川-5解：1、分归解外力2、计穗算内力3、设计困截面根据定义奶可知势，秆，从而代入强洽度条件趁式(1册0-3周)得又故可得根据以上院的计算结晶果，可以话选择截面浪的类型为熟：序。10.静3偏栽心受压励(拉)征杆前面章示节讨论飞的轴向乏压缩(佳拉伸)克杆件的糕受力特适点是压尘力作用搁线与杆宿件的轴事线相重李合，这芝时截面两上每一因点的应亿力大小雹相等且担方向相爆同。当袖杆件所卧受到的者外力作朴用线和朱杆轴线痛平行但脉是不重赵合时，赵杆件的料截面上惠各点的眨应力大此小将发也生变化屿，应力餐方向甚饺至发生利改变，供这种因堵外力作索用线与混杆件轴丽线不重洪合导致消杆件截私面上的霜应力大雄小和方驱向的变好化称为恢偏心压出缩(拉搁伸)。10.票3.1土偏心泄压受(锈拉)杆朋的内力纹和应力1、单垃向偏心示受力时络的内力圣和应力图10狗-6如图10担-6(a页)所示一幻玉矩形截面串杆在偏心开压力P作宽用下，P闻作用在y苗轴的K点宿处，K点喝到形心Ｏ牙的距离称恒之为偏心偿距，将力袋P向杆端丧截面形心亿Ｏ简化(亡图10-责6(b)绑所示)，我得到一个慨轴向力P布和力偶矩M=P·e。杆内殿任意一馋个横截止面l—l(图10鹿-6(c份)所示)搬上存在有粥两种内力朽：轴向压较力FN=P，弯矩M=P·e。分别偶引起轴茧向压缩兼和平面电弯曲，恩即偏心拴压缩实完际上是捉轴向压按缩和平前面弯曲趋的组合慌变形。既然偏闲心受力产是轴向链受力和课平面弯超曲的组醋合变形猜，那么沸可以在歼小变形模、弹性坏假设条糊件下分陪别按照猜轴心受雹力和平蓝面弯曲桃两种基见本变形狼来求解悠各自的副内力和仪应力，剥然后采手用叠加橡原理来漫求相应兄的内力版和应力贡。按照上述放的思路，雀对如图所耽示一偏心仅受压杆截麻面上某点颠K处的应视力，可先踢分别考虑鸣轴向压缩蚁和平面弯恼曲两种基滑本变形在却K点处的盼应力(如评图10-旨6(d)蠢所示)。轴向压铲缩时，慰截面上敲各点处矩的应力昂均相等哲，压应米力的大阵小为：平面弯福曲时，托截面上程K一点发的应力羞为压应跳力，其喜值为：故K点华的总应耗力为：(10-芝5)上式中换,塑A－横单截面面伴积；－截面直对ｚ轴胶的惯性征距；ｙ－所求宅应力点到岔ｚ轴的距示离，计算拌时代亭入绝对值签。分析(1牧0-5)楼式可以看冲出，偏心派受压杆截台面某点K的总应死力符号耽与登、害两墓者的相斩对大小抄有关，割但是应胁力瓶的分鉴布规律尺仍呈线割性(如票图10循-5(炉d)所毁示)，雄横截面闹上正应瓦力为零废的点组经成的直假线N—痛N(如袜图10判-5(卡a)所商示)，领称为零转应力线霜，即中血性轴。朗截面上钥最大拉称应力和硬最大压弓应力分哀别发生陪在AB趋边缘及疾CD边孕缘处，汤其值为禾：(10勺-6)截面上各樱点均处于祸单向应力轧状态，强宇度条件为(10富-7)对于矩标形截面唯的偏心暴压缩杆胡，于择，功，抚，代围入式(左10-步6)可夺写成(10西-8)AB边尤缘上最摩大拉应野力骡的正负胀号，由第式(1彻0-8紫)中晴确菌定，可产能出现鸽三种情姐况：(1)氏、当牲时神，悬，整习个截面矿上均为株压应力抱。(2)、咸当逝时羞，尤，整于个截面上姨均为压应股力，且一允个边缘处援应力为零粉。(3)、吧当弄时硬，整个截恩面上有拉铁应力和压垒应力，两塔种应力同漂时存在。可见，偏梢心距e的绸大小决定袍着横截面临上有无拉楚应力，而施成城为有无拉蚁应力的分筐界线。2、双击向偏心贞受力时蛋的内力块和应力图10陶-7当压力眉P不是敏作用在货对称轴构上，而斗是作用桶在端截子面上任妙意位置桂K点处痕(见图倾10-鼻7(a洞))，神距z轴点的偏心事距为老，距孕y轴的忍偏心距惑为仔，这种揭受力情菜况称为她双向偏肉心压缩复。双向牛偏心压啦缩的计架算方法离和步骤护与前面弄的单向差偏心压杰缩类似市。将力P们向端截绵面形心剂O简化曲得到轴佛向压力唐P(见蝴图10以-7(穴b))袋，对z拐轴的力获偶距Mz=P·e1及对y挖轴的力叮偶距My=P·e2。由此挂可见，哪双向偏料心压缩搅实质上泼是压缩坝和两个跑方向的核纯弯曲劈燕的组合紧，或压辫缩与斜只弯曲的至组合变疼形。根据叠加初原理，可上得杆件横模截面上任结意一点C范(y，z御)处的应叠力分为三椅部分应力付的叠加：轴向压有力P在近C点处叙引起的假应力为引起的脱C点处副的应力释为引起的C兼点处的应斥力为C点处室的总应何力为(10-盆9)上式中：A表示构其件截面撕面积表示截魔面对z志轴的惯惑性距表示截面肾对y轴的便惯性距y表搂示所求翠应力点导到z轴被的距离荡，计算影时代入予绝对值z表示奥所求应力帅点到y轴侄的距离，绒计算时代碧入绝对值应力的正犬负号仍然摸是根据截膏面上的内矛力情况及赶所求点的洲位置，由伪观察变形林情况而确轮定，拉应恰力为正，冲压应力为躺负，对图伟10-7蛮(c)所牺示的截面佩分析可知配，最大拉目应力点产废生在E点刚处，最大丧压应力点孙产生在F围点处，其叹值为(10-疏10)最大应态力点处俩于单向谱应力状舅态，强糕度条件随为(10陕-11左)单向偏心佣压缩时所舒得的式(但10-6巷)、(1线0-7)迷，实际上沸是式(1山0-11絮)的特殊爱情况，即王压力作用失在端截面载的一根形酿心轴上，孤其中一个纤偏心距为士零。【例1疼0-3辣】如图润10-陡8所示厨一矩形夹柱。外纤力P=羊30k惹N，偏螺心距e顿=50镰mm，唐柱高为土1m，码柱截面舌有关尺肾寸为：罚h=2川00m习m，b鲁=15沫0mm辱。材料糊的容许称压应力谎=壮13M盘pa，蚕容许拉者应力收=1缩慧0Mp减a，试唤校核该充柱的强糖度。解：监1呢、外力治分析趣可将外衰力P简横化为一辱轴心压坊力P和际一绕z妙轴的力声偶距m=P·e盲。2、内鼻力分析绩任意额截面上段轴力和载弯矩相增等，且混其大小律为：轴力FN=P=膀-3辱0kN弯矩详Mz=m=30袭×0.赢05=黄1.5捡kN.锻m3、应力释分析由稿分析可知却AB边上组的拉应力论最大，C辈D边上的班压应力最妈大，利用懒公式(1飞0-6)赵可得其值贼分别为：MPa图10既-84、强涨度校核乐按照掌公式(挺10-愉7)可煤知，该汽柱的抗禽拉、抗炒压强度目能满足览要求。【例10治-4】条盾件同例1倒0-3，右此外在柱鄙顶端沿z阁轴方向且仪通过截面乖中心O点怪尚有一水斥平力作用将(见图1本0-8)担，其大小叶为F=7怠kN，试捡校核其强蚕度。解：1、可外力分析特除轴向吴压力P和掌一等效力耽偶m外，串还有F引陡起的绕y跪轴的力偶劫距。2、内索力分析在P和怠m作用周下各截仰面内力热相同，越但在F萄作用下帮柱底截型面上的籍弯矩最驼大，故晶柱底截诸面为危织险截面散，面上俘的力为轴力FN=P=鄙-3没0kN弯矩亿Mz=m=30反×0.穴05=神1.5不kN.叫mMy=F×璃H=7刑×1.泼0=1毒0kN俭.m3、应力盯分析B点处：MPaD点处：MPa故该柱仍督能满足强因度要求。10.侨3.3若截面慌核心概旨念本章前面小曾分析指丝式出过，偏暑心受压杆宏件截面上卸是否出现祸拉应力与浸偏心距的傻大小有关柏。若外力称作用在截梦面形心附嘱近的某一头个区域，瞧使得杆件徒整个截面势上全为压缓应力而无在拉应力，丙这个外力熔作用的区自域就称之脑为截面核炸心。下面据将分别简渗述矩形截梁面和圆形缓截面的截坝面核心。1．矩形处截面的截蝴面核心矩形截阳面上不轧出现拉猪应力的恨强度条此件是公姿式中的返拉应力宅等于或字者小于燥零，即乏：将矩形截彼面的那，摩及璃代入上鸦式，化简个得到：上式即是沾以E点的信坐标隆、帽表示的直鸣线方程。勉分别令煎或者胁等递于零，可流得出此直六线在z轴应上和y轴盗上的截距祥、情，即这表明当由力P作用赠点的偏心楼距位于y神轴和z轴汪上六分之篇一的矩形叛尺寸之内壶时，可使扭杆件截面垃所有点上情均不产生拖拉应力；秧由于截面升的对称性辨，可得另男一对偏心谱距，这样鸣可以在坐已标轴上确阶定四个点侮(1、2梦、3、4户)，这四恒个点称之勉为核心点颗。因为直准线方程中湿中送、是语线性关系择，可以用直线葵连接这肯四点，蜜得到一资个区域慌，这个骡区域即接为矩形甲截面上得的截面参核心。壮若压力妻P作用墓在这个隙区域之惰内，截承面上的刷任何部辜分都不三会出现无拉应力鞋。2．圆拔形截面浙的截面尸核心由于圆韵形截面血是极对腐称的，袭所以截框面核心狼的边界毁是个圆柔，按照裂上面相常类似的智思路，铜可以证毙明其截帝面核心宗的半径时是。10.4鸟弯-扭岩组合变形扩杆10.4股.1弯轰-扭组合弹变形杆的坐内力、应碑力图10-论9除了上述姓的斜弯曲弟、偏心受枣压(拉)甩外，工程私中还有弯纳-扭组合早变形也较听为常见。协对于图1肚0-9所惩示的水平遥曲拐，等鼓直原杆A佩B直径为凤d，A端方固定，B塑端具有与讯AB成直输角的刚臂杨BC，并叼承受铅垂隔力P的作再用，将P蚕力向AB冤杆右端截石面的形心赴B简化(墨图10-勤9(b)宴)，简化柿后的静力谷等效力系每为一作用晋在杆端的肃横向力P涝和一作用虾在杆B端拿的力偶P洞a。可见皱，杆AB绍将发生弯望曲和扭转注的组合变趣形。分别佳作杆的弯啦矩图和扭漫矩图(图粪10-9六(c)、层(d))践，由内力寒图可见，努杆的危险怒截面为固句定端，其莫内力分量乔为，由弯曲和公扭转的应爬力变化规微律可知，战危险截面麻上的最大针弯曲正应温力发生在枝铅垂直径尚的上、下腹两端点D撒、E处(痒如图10爽-9(c美))，而扬最大扭转望切应力发层生在截面胜周边的各薪点处，应亭力状态如林图10-蜜9(f)劫所示。危毕险截面上跨的危险点绳为D和E惭，其最大肆弯曲正应柿力和最大手扭转切应虑力分别为，第(1避0-12撑)10.4音.2弯义-扭组合府变形杆的养强度计算因危险爱点处于桌二向应博力状态臭，对于在塑性材跳料制成淡的构件巡寿，可通家过强度母理论来晚建立强挨度条件葡。由第跟三、第奇四强度脚理论建练立的强妹度条件剑为(10-翠13)对于圆形狼杆件，强恨度条件的殊表达式为(10乖-14卫)【例1塘0-5滴】如图享10-璃10所浓示一两收端铰支灵、杆中登点为一窃转轮的感手摇卷广扬机示章意图。才已知机融轴直径耻=30气mm，峡转轮直雪径R=默200匀mm，l=100鼓0mm，拾材料的容赴许应力六=160倡Mpa，揭试按第三亲强度理论杆确定手摇董卷扬机的脏最大起重姥量P。图10医-10解：(浑1)外裳力分析扩将P黑向轴心出C简化薪，得到规一竖向号力P和遭力偶距垃PR。揉AC段欢有弯-效扭组合脉变形。(2)据内力分也析扭彻矩T=卸PR无=0哪.1P弯矩圆轴的抗罚弯模量(3)奴强度计排算根据公式钓(10-脱14)可犁得解得P≤1.股58k区N小岩结本章在痕各种基粱本变形货的基础捆上，主可要讨论旦了斜弯洒曲、偏悔心压缩这(拉伸泥)和弯桥-扭组汁合变形搭杆三种而组合变拨形的强竹度计算枪和截面诉核心的粒概念。组合变形侍的应力计间算仍采用站基于小变详形假设的惑叠加原理赚。分析组真合变形构况件强度问咸题的关键悦在于：对困于任意作切用的外力纠进行分解貌或简化。劲只要能将肿组成组合晕变形的几处个基本变槐形找出，泻便可应用塑熟知的基询本变形计认算知识来喇解决。组合变形裙杆件强度成计算的一独般步骤如藏下：1、外力译分析：首努先将作用后在构件上指的外力向掘截面形心佣处简化，凭使其产生扒几种基本厘变形形式福；2、内力般分析：分蛾析构件在报每一种基矛本变形时谢的内力，遮从而确定颜出危险截棕面的位置葵；3、应茫力分析含：根据午内力的胃大小和版方向找铺出危险欧截面上渡的应力不分布规纺律，确烦定出危套险点的减位置并宫计算其仁应力；4、强度茂计算：根捐据危险点就的应力进赔行强度计胜算。斜弯曲船与偏心蕉压缩的刊强度条增件为本章主要矩的应力强扮度计算公载式及强度衣条件为：斜弯曲暴应娃力公式强度条件单向偏钞心压缩察应力访公式强度条轰件双向偏心穷压缩请应力棕公式强度条选件弯-扭组廉合笑应力公式殿，强度条件圆轴弯标扭组合趁强呆度条件偏心压颈缩的杆紧件，若铺外力作芹用在截键面形心不附近的松某一个都区域内赏，杆件贤整个横敌