应力与应变 强度理论

§7–１应力状态的概念一、引言1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？F铸铁压缩铸铁扭转铸铁拉伸低碳钢扭转应力应变分析强度理论切中有拉应力应变分析强度理论重要结论不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。应力应变分析强度理论

横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。FS应力应变分析强度理论

微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。应力应变分析强度理论三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。

二、一点的应力状态：

过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（StateofStressataGivenPoint）。xyzs

xsz

s

ytxytyx单元体的性质a、任意面上，应力均布；b、平行面上，应力相等。应力应变分析强度理论xyzs

xsz

s

y四、切应力互等定理（TheoremofConjugateShearing

Stress):

过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的切应力分量,则两个面上的这两个切应力分量一定等值、方向相对或相离。tyxtxy应力应变分析强度理论tzx五、取单元体：例1画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。

FFAAsxsxMeFxyzBCsxsxBtxztxytyxFPl/2l/2S平面应力应变分析强度理论5432154321123S平面应力应变分析强度理论六、主单元体、主平面、主应力：主单元体(Principalbidy)：各侧面上切应力均为零的单元体。主平面(PrincipalPlane)：切应力为零的截面。主应力(PrincipalStress）：主平面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，s1s2s3xyzsxsysz应力应变分析强度理论单向应力状态（UnidirectionalStateofStress）：一个主应力不为零的应力状态。

二向应力状态（PlaneStateofStress）：一个主应力为零的应力状态。三向应力状态（Three—DimensionalStateof

Stress）：三个主应力都不为零的应力状态。AsxsxtzxsxsxBtxzyxz应力应变分析强度理论§7–2平面应力状态分析——解析法sxtxysyxyzxysxtxysyO应力状态分析的任务：1.任意斜截面上的应力。2.主应力的大小及主平面的方位。3.最大切应力。应力应变分析强度理论规定：截面外法线同向为正；

ta绕研究对象顺时针转为正；

a逆时针为正。图1设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：一、任意斜截面上的应力xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn图2应力应变分析强度理论图1xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn图2考虑切应力互等和三角变换，得：同理：应力应变分析强度理论二、极值应力）2222xyyxyx

ji

tssssss+-±+=îíì（xysxtxysyO应力应变分析强度理论xysxtxysyO三、主应力大小及方向sytxysxs1a0xyOn0应力应变分析强度理论xysxtxysyO222xyyxminmaxtsstt+-±=îí좢）（四、最大切应力空间应力状态：应力应变分析强度理论例2分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画单元体求主应力及最大切应力txyCtyxMeCxyOtxytyx应力应变分析强度理论破坏分析低碳钢txytyx0应力应变分析强度理论解：例3用解析法求斜截面上的应力。20MPa30MPa300应力应变分析强度理论例4用解析削法确定胳图示应策力状态亚的主应易力大小今、主平莫面方位咐、最大雷切应力途。解：20MPa40MPa10MPa1x22.铜5o2应力应耳变分析仍强度俘理论§7–3平面应俱力状态壶分析—奏—图解扰法对上述方侍程消去参应数（2），得：一、应慌力圆（Str宋ess抹Ci榆rcl性e）xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn此方程曲妇线为圆—售应力圆（犹或莫尔圆孕，由德国捧工程师：Otto徐Moh考r引入）应力应变歼分析强矛度理论建立应立力坐标帜系，如流下图所膀示，（注意选疲好比例尺闲）二、应病力圆的烤画法在坐标系内利画出点A(x，xy)和B(y，yx)AB与sa轴的交点C便是圆心罪。以C为圆心，思以AC为半径画尤圆——应鸡力圆；sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)应力应灭变分析券强度耍理论sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)三、单元尽体与应力乒圆的对应竿关系面上的应力(，)应力圆上一点(，)面的法线应力圆的半径两面夹角两半径夹角2；且转向一致。应力应变秃分析强来度理论四、在快应力圆古上标出冬极值应闸力OCsataA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s3应力应姿变分析康强度板理论s3例5求图示单山元体的主僻应力及主救平面的位选置。(单稻位：MP木a)AB

12解：主应力坐沉标系如图AB的垂直嫁平分线垂与sa轴的交点C便是圆心扬，以C为圆心，厚以AC为半径荣画圆—叉—应力掏圆0s1s2BAC20sata(MPa)(MPa)O20MPa在坐标系内画出点应力应落变分析趟强度梯理论s3s1s2BAC20sata(MPa)(MPa)O20MPa主应力钩及主平约面如图

102AB应力应变什分析强上度理论解法2—解析背法：分甘析——建立坐劳标系如否图60°xyO应力应变退分析强无度理论60°xyO

102应力应变惑分析强朋度理论12345F1F2q例6如图，已常知梁发生爬剪切弯曲只（横力弯努曲），某叉截面上M、FS>0，返试确定酱此截面现上各点应主应力爱大小及赵主平面群位置。解：由梁奔弯曲应力查公式：txytyxx应力应针变分析捷强度推理论21s1s3s33s1s34s1s1s35a0–45°a0stA1A2D2D1COsA2D2D1CA1Ot2a0stD2D1CD1O2a0=–益90°sD2A1Ot2a0CD1A2stA2D2D1CA1O应力应变膏分析强湖度理论§7–根4三向应力涨状态简介s2s1xyzs31、空间已应力状态应力应沫变分析竹强度薄理论2、三向株应力分析弹性理撕论证明丽，图a单元体内够任意一点锐任意截面锄上的应力垦都对应着羊图b的应力圆姥上或阴影形区内的一宣点。图a图b整个单元奸体内的最堤大切应力倘为：tmaxs2s1xyzs3应力应变著分析强跑度理论例1求图示御单元体结的主应某力和最添大切应种力。（卧MPa肢）解：由单元幼体图知工：yz面为主永面建立应力添坐标系如作图，画应碍力圆和点1′,得意:5040xyz3010(M

Pa)sa（M

Pa）taABCABs1s2s3tmax应力应变祸分析强骄度理论例1求图示单顽元体的主脾应力和最装大切应力崇。（MP仆a）解：由单元体斧图知：yz面为主平瞒面5040xyz30ABC3040应力应裳变分析烈强度斥理论一、单轿拉下的搜应力-恰-应变咽关系xyzsx应力应变段分析强防度理论§7–每5广义虎克币定律二、纯剪分的应力-喘-应变关端系xyz

x

y三、复杂伍状态下的蹲应力-跨--应我变关系依叠加锄原理,厦得:xyzszsytxysxsxsysz应力应肢变分析竭强度们理论三、复杂灿状态下的尾应力-援--应画变关系xyzszsytxysx应力应扁变分析坑强度波理论主应力桶--跃-主粮应变关嚷系方向一致s1s3s2应力应变倍分析强东度理论四、平嘴面状态攀下的应奇力--架-应变仇关系:xysxtxysyO应力应孕变分析庙强度语理论五、体泰积应变院与应力炉分量间枝的关系体积应变肺：体积应变珠与应力分腰量间的关泼系:s1s3s2a1a2a3应力应变尸分析强届度理论例2已知一练受力构稿件自由线表面上变某一点但处的两仙个面内杀主应变然分别为统：i=24鸡01央0-6，j=–1付60机10-6，弹性轮模量E=210邀GPa，臂泊松比为=0.酷3，谅试求该膛点处的样主应力池及另一工主应变。所以，用该点处溜为平面蹄应力状廊态应力应小变分析拦强度纽奉理论mee3342.-=应力应度变分析托强度报理论例3图a所示为承争受内压的电薄壁容器佣。为测量蝴容器所承偷受的内压呜力值，在衬容器表面敞用电阻应芦变片测得测环向应变t=350无×l06，若已知醉容器平均磁直径D=50想0m扩m，壁厚=10乏mm，容器柜材料的E=210森GPa，=0.饿25，试求面:1.厨导出容径器横截轧面和纵济截面上那的正应突力表达咱式；2孕.计算五容器所哲受的内视压力。pppxstsalpODxABy图a应力应猛变分析览强度煌理论1、轴呢向应力开:(long乎itud宅inal碧str栗ess)解：容器柳的环向和惨纵向应力亩表达式用横截面驳将容器截泄开，受力岔如图b所示,根赵据平衡方章程psasaxD图b应力应恒变分析烘强度夸理论用纵截冬面将容亏器截开维，受力庄如图c所示2、环向溪应力：(hoo逢ps休tre垦ss)3、求演内压（多以应力纽奉应变关惑系求之搅）t

a外表面ypststDqdqz图cO应力应鼓变分析衫强度叶理论§7－6度复杂应缺力状态下让的变形比络能23

1图a图c3-m

1-m2-mm图bmm应力应变逝分析强改度理论广义胡边克定律平均应叨力静水应榆力状态偏应力状因态图c3-m

1-m2-m应力应烤变分析臂强度况理论体积改变注比能形状改街变比能图bmmm图a3

12例1求单向补拉伸应茶力状态经的形状超改变比骨能。单向拉伸营应力状态驴的主应力武为：形状改社变比能为：sA应力应愚变分析烟强度斑理论例2利用纯层剪切应弹力状态侵和能量段法证明碗三个弹叼性常数滥间的关损系。纯剪单就元体的志比能为础：纯剪单元隔体比能的乐主应力表罪示为：txyA13应力应变粗分析强梢度理论一、材桶料强度惩失效的恒形式：§7–7强度理论程及应用应力应膜变分析梳强度穴理论⑴塑性期屈服：⑵脆性映断裂：一般塑辅性材料习发生屈内服现象辰，出现柔塑性变座形时，耻工程上关认为即读不可使呜用，作吼为失效甚的标志颂。一般脆惯性材料养不发生仰屈服现泼象，失扔效标志班为突然湾断裂。二、强乐度理论掉：1.愤单向应此力状态根的强度竖条件：应力应变厕分析强再度理论s轴向拉压工和平面弯柜曲的正应享力强度条瓣件2.纯冒剪切应力毙状态的强夸度条件：tA圆轴扭迹转和平拖面弯曲芒的切应涛力强度峰条件强度理论我：是关于丈“构件涛发生强成度失效亩起因”谨的假说拾。3.复狗杂应力状扯态的强度乖条件－－药强度理论应力应变晚分析强据度理论sxtxyAsy强度失挂效方式强度失颤效原因强度失皆效假说屈服断裂应力应变应变能与应力状么态无关意义：由简单应沸力状态的亮实验结果欢，建立复沿杂应力状怨态的强度泻条件。（一）使最大拉裙应力（桑第一强幼度）理价论：无论构汤件处于源何种应令力状态雁，构件载发生脆性断裂的主要掩原因是菜构件内鸽的最大拉撤应力达到同训一材料川在单向拉火伸时的兵强度极宅限。1、断淋裂准则：2、强度难条件：3、实用变范围：实痰用于失效确形式为脆匠断的构件推（铸铁的参拉伸与扭串转），但较必须有拉愧应力（s1＞0）。应力应穗变分析活强度加理论三、常过用的强解度理论腾：（二）最佳大伸长线辆应变（第侵二强度）半理论：无论构件别处于何种悉应力状态配，构件发鹅生脆性断德裂的主要原锤因是构件乒内的最大拉应搏变（最大恭伸长线应痰变）达到同埋一材料棕在单向邀拉伸发钟生脆性尖断裂时秘的极限应桃变值。1、断弯裂准则：2、强度啄条件：3、实用幼范围：实济用于失效夫形式为脆油断的构件柜（岩石、暮混凝土压道缩沿轴向得裂开），廊但必须有罚拉应变（e1＞0）置。应力应变晶分析强络度理论（三）最之大切应力敌（第三强闯度）理论湾：无论构件裁处于何种蛾应力状态哪，构件发姑生屈服失效的主要猾原因是子构件内雾的最大切诸应力达到同一织材料在单闹向拉伸屈稼服时的极限切怨应力（陕屈服切旗应力）。1、屈陡服准则：3、实回用范围拼：实用炉于失效路形式为浪屈服的呢构件（艺塑性材予料的屈渴服现象宵）。2、强度前条件：应力应珠变分析心强度析理论（四）叨形状改电变比能斩（畸变浪能密度泊理论、授第四强爱度）理辨论：无论构河件处于雀何种应暴力状态步，构件哥发生屈服失效的主要原等因是构件犬内储存的形状改挑变比能达到同剧一材料着在单向偶拉伸时酒屈服时船的形状堪改变比皆能。1、屈大服准则驳：2、强床度条件以：3、实占用范围荡：实用谊于失效信形式为射屈服的萍构件（多比第三夸强度理移论更符矿合实验收结果。应力应变知分析强丘度理论（五）莫尔强度惯理论莫尔认为娇：最大切屠应力是使跳物体失效赌的主要因穴素，但滑荡移面上的趁摩擦力也慕不可忽略音（莫尔摩普擦定律）麦。综合最阿大切应力令及最大正顿应力的因馅素，得出臭莫尔强度今理论。实用范围转：实用于祖破坏形式江为屈服的旱构件及其趁抗拉强度惹与抗压强曾度不等的区处于复杂丹应力状态丛的脆性材遮料的破坏羊（岩石、佩混凝土等专）。应力应门变分析唇强度目理论（六）强围度准则的付统一形式慕（相当应顶力）：其中，r—相当应力。应力应变谋分析强且度理论四、强度理伶论的应释用（一）手强度计卧算的步洲骤：1、外匪力分析附：确定杀所需的椅外力值敏（静力习学）。2、内力触分析：画棵内力图，见确定可能环的