幂级数及其收敛性

幂级数及其收敛性第1页，共38页，2023年，2月20日，星期一一般形式为②幂级数，幂级数更一般的形式为它显然可以通过变量代换y=x-x0方法化为式②.一、幂级数及其收敛性第2页，共38页，2023年，2月20日，星期一则称幂级数为不缺项的，否则称为缺项的幂级数.例如幂级数缺x的奇次幂，叫缺项的幂级数，又如是不缺项的幂级数.第3页，共38页，2023年，2月20日，星期一定理如果该幂级数收敛;该幂级数发散.记作

R,R=.即第4页，共38页，2023年，2月20日，星期一因为它不一定是正项级数，证若将x看成是一个确定的值，那么就得到一个数项级数，为此，我们可对幂级数的各项取绝对值，得这是一个正项级数.运用比值审敛法.因为第5页，共38页，2023年，2月20日，星期一也就是说显然，此时所给幂级数各项的绝对值越来越大，一般项不趋近于零.由级数收敛的必要条件可知该幂级数发散.因此它必然收敛.第6页，共38页，2023年，2月20日，星期一可运用上述定理求收敛半径例2试求幂级数的收敛区间.解

所给的幂级数为不缺项的，它是发散的.此为调和级数，第7页，共38页，2023年，2月20日，星期一第8页，共38页，2023年，2月20日，星期一

例3求幂级解所给幂级数缺少x的奇次幂项，对此正项级数利用比值审敛法因此不能直接利用公式求收敛半径R.是一个缺项幂级数，第9页，共38页，2023年，2月20日，星期一所求幂级数绝对收敛.第10页，共38页，2023年，2月20日，星期一幂级数收敛.

例4

解

运用正项级数的比值审敛法.第11页，共38页，2023年，2月20日，星期一区间端点处:当x=0时，第12页，共38页，2023年，2月20日，星期一一、麦克劳林(Maclaurin)公式二、直接展开法三、间接展开法8.2.2、函数的幂级数展开第13页，共38页，2023年，2月20日，星期一泰勒

(Taylor)公式

如果函数

f(x)在x=x0有直到

(n+1)阶的导数，则在这个领域内有如下公式:一、麦克劳林(Maclaurin)公式①第14页，共38页，2023年，2月20日，星期一

其中称为拉格朗日型余项.①式称为泰勒公式

.就得到②第15页，共38页，2023年，2月20日，星期一

②式称为麦克劳林公式.幂级数我们称之为麦克劳林级数.那么它是否以函数f(x)为和函数呢?③第16页，共38页，2023年，2月20日，星期一即那么，级数③收敛于函数f(x)的条件为若令麦克劳林级数③的前n+1项和为第17页，共38页，2023年，2月20日，星期一注意到麦克劳林公式②与麦克劳林级数③的关系，可知于是，当时，有反之，若必有第18页，共38页，2023年，2月20日，星期一这表明，麦克劳林级数③以f(x)为和函数的充要条件，这样，我们就得到了函数f(x)的幂级数展开式：②④第19页，共38页，2023年，2月20日，星期一也表示了函数的幂级数展开式是唯一的.它就是函数f(x)的幂级数表达式.幂级数:称为泰勒级数.第20页，共38页，2023年，2月20日，星期一利用麦克劳林公式将函数f(x)展开成幂级数的方法，称为直接展开法.解例1试将函数f(x)=ex展开成x的幂级数.可以得到二、直接展开法第21页，共38页，2023年，2月20日，星期一因此我们可以得到幂级数显然，这个幂级数的收敛区间为(,+).因为⑥⑥第22页，共38页，2023年，2月20日，星期一注意到，对任一确定的x值，而级数⑥是绝对收敛的，因此其一般项当n时，≤所以，当n时,第23页，共38页，2023年，2月20日，星期一由此可知因此有⑥,e)(

xxf=确实收敛于这表明级数第24页，共38页，2023年，2月20日，星期一解于是可以得到幂级数例2试将第25页，共38页，2023年，2月20日，星期一且它的收敛区间为因为所给函数的麦克劳林公式的余项为所以可以推知第26页，共38页，2023年，2月20日，星期一因此得到≤第27页，共38页，2023年，2月20日，星期一解而所以根据幂级数可逐项求导的法则，可得例3试求函数三、间接展开法第28页，共38页，2023年，2月20日，星期一因为幂级数逐项积分后收敛半径不变，所以，上式右端级数的收敛半径仍为R=1;故收敛域为

1<x

≤1.当x=1时，该级数收敛.而当x=1时该级数发散，第29页，共38页，2023年，2月20日，星期一解

因为例6试将函数x的幂级数.展开成第30页，共38页，2023年，2月20日，星期一所以且第31页，共38页，2023年，2月20日，星期一根据幂级数和的运算法则，其收敛半径应取较小的一个，故R=1，因此所得幂级数的收敛区间为1<x<1.第32页，共38页，2023年，2月20日，星期一解令x1=y，则x=y+1，代入得例

7将函数收敛区间为(0,2).所以因第33页，共38页，2023年，2月20日，星期一例8试将函数解则原题就转化成将函数

于是有第34页，共38页，2023年，2月20日，星期一第35页，共38页，2023年，2月20日，星期一最后，我们将几个常用函数的幂级数展开式列在下面，以便于读者查用.≤第36页，共38页，2023年，2月20日，星期一第37页，共38页，2023年，2月20日，星期一