平面问题的直角坐标解答

平面问题的直角坐标解答要点——用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。弹性力学§3-1多项式解答§3-2位移分量的求出§3-3简支梁受均布载荷§3-4楔形体受重力和液体压力§3-5级数式解答§3-6简支梁受任意横向载荷主要内容弹性力学§3-1多项式解答适用性：由一些直线边界构成的弹性体。目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数φ(x,y)，能解决什么样的力学问题。——逆解法其中：a、b、c

为待定系数。检验φ(x,y)是否满足双调和方程：显然φ(x,y)满足双调和方程，因而可作为应力函数。（1）1.一次多项式（2）（3）对应的应力分量：若体力：X=Y=0，则有：弹性力学结论1：（1）（2）一次多项式对应于无体力和无应力状态；在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。2.二次多项式（1）其中：a、b、c

为待定系数。(假定：X=Y=0;a>0,b>0,c>0)检验φ(x,y)是否满足双调和方程，显然有（2）(可作为应力函数)（3）由式（2-26）计算应力分量：xy2c2c2a2a结论2：二次多项式对应于均匀应力分布。xy弹性力学xy试求图示板的应力函数。例：xy3.三次多项式（1）其中:a、b、c、d为待定系数。检验φ(x,y)是否满足双调和方程，显然有（2）(可作为应力函数)(假定：X=Y=0)（3）由式（2-26）计算应力分量：结论3：三次多项式对应于线性应力分布。弹性力学讨论：可算得：xy1ll图示梁对应的边界条件：MM可见：——对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。常数d与弯矩M的关系：(1)由梁端部的边界条件：(2)可见：此结果与材力中结果同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。弹性力学xy1llMM说明：(1)组成梁端力偶M的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精确的。(2)若按其它形式分布，如：则此结果不精确，有误差；但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。(3)当l

远大于h

时，误差较小；反之误差较大。4.四次多项式（1）检验φ(x,y)是否满足双调和方程（2）代入：得弹性力学可见，对于函数：其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数：（3）应力分量：——应力分量为x、y的二次函数。（4）特例：（须满足：a+e=0）弹性力学总结：（多项式应力函数的性质）（1）多项式次数n

<4时，则系数可以任意选取，总可满足。多项式次数n

≥4时，则系数须满足一定条件，才能满足。多项式次数n

越高，则系数间需满足的条件越多。（2）一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。（3）（4）用多项式构造应力函数φ(x,y)的方法——逆解法（只能解决简单直线应力边界问题）。按应力求解平面问题，其基本未知量为：，本节说明如何由求出形变分量、位移分量？问题：弹性力学§3-2位移分量的求出以纯弯曲梁为例，说明如何由求出形变分量、位移分量？xyl1hMM1.形变分量与位移分量由前节可知，其应力分量为：平面应力情况下的物理方程：（1）形变分量(a)将式（a）代入得：(b)（2）位移分量将式（b）代入几何方程得：(c)弹性力学（2）位移分量(c)将式（c）前两式积分，得：(d)将式(d)代入(c)中第三式，得：式中：为待定函数。整理得：（仅为x的函数）（仅为y的函数）要使上式成立，须有(e)式中：ω为常数。积分上式，得将上式代入式（d），得(f)弹性力学（1）(f)讨论：式中：u0、v0、ω

由位移边界条件确定。当x=x0=常数（2）位移分量xyl1hMM——u关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。说明：

同一截面上的各铅垂线段转角相同。横截面保持平面——材力中“平面保持平面”的假设成立。弹性力学（2）将下式中的第二式对x求二阶导数：说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相同。即——材料力学中挠曲线微分方程弹性力学2.位移边界条件的利用（1）两端简支(f)其边界条件：将其代入(f)式，有将其代回(f)式，有(3-3)梁的挠曲线方程：——与材力中结果相同弹性力学（2）悬臂梁(f)边界条件h/2h/2由式（f）可知，此边界条件无法满足。边界条件改写为：（中点不动）（轴线在端部不转动）代入式（f），有可求得：弹性力学(3-4)h/2h/2挠曲线方程：与材料力学中结果相同说明：（1）求位移的过程：（a）将应力分量代入物理方程（b）再将应变分量代入几何方程（c）再利用位移边界条件，确定常数。弹性力学（2）若为平面应变问题，则将材料常数E、μ作相应替换。（3）若取固定端边界条件为：h/2h/2（中点不动）（中点处竖向线段转角为零）得到：求得：此结果与前面情形相同。（为什么？）弹性力学（1）(2-27)（2）然后将代入式（2-26）求出应力分量：先由方程（2-27）求出应力函数：(2-26)（3）再让满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。按应力求解平面问题的基本步骤：按应力求解平面问题的方法：逆解法（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程（2-27）的φ(x,y)的形式；（2）然后利用应力分量计算式（2-26），求出（具有待定系数）；（3）再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数φ(x,y)对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数φ(x,y)可以求解什么问题。弹性力学（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量的某种函数形式；（2）根据与应力函数φ(x,y)的关系及，求出φ(x,y)的形式；（3）最后利用式（2-26）计算出并让其满足边界条件和位移单值条件。——半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。半逆解法位移分量求解：（1）将已求得的应力分量（2）（3）代入物理方程，求得应变分量将应变分量代入几何方程，并积分求得位移分量表达式；由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。弹性力学§3-3简支梁受均布载荷要点——用半逆解法求解梁、长板类平面问题。xyllqlql1yzh/2h/2q1.应力函数的确定(1)分析：——主要由弯矩引起；——主要由剪力引起；——由q引起（挤压应力）。又∵q=常数，图示坐标系和几何对称，∴不随x变化。推得：(2)由应力分量表达式确定应力函数的形式：积分得：(a)(b)——任意的待定函数弹性力学xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)——任意的待定函数(3)由确定：代入相容版方程：弹性令力学xyllqlql1yzh/2h/2q方程的特械点：关于x的二次纪方程，于且要求斜－l≤x≤l内方程毁均成立何。由“高信等代数宽”理论茧，须有x的一、二助次的系数岔、自由项鹊同时为零菜。即：对前两搂个方程文积分：(c)此处略去聋了f1(y)中的块常数项对第三个吸方程得：积分得：(d)弹性赢力槐学(c)(d)xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)将(c巡寿)登(d)霉代窑入(心b)积，有(e)此处略去受了f2(y)中的汪一次项滋和常数决项式中含他有9个饭待定常恢数。弹性躲力学(e)2.应力分赵量的确杂定(f)(g)(h)3.对称条件剪与边界条姑件的应用弹性澡力亏学(f)(g)(h)3.对称条件与边界条件的应用（1）对速称条件的尖应用：xyllqlql1yzh/2h/2q由q对称、徒几何对粮称：——x的偶函流数——x的奇函难数由此得希：要使上佣式对任扭意的y成立，须籍有：弹性傻力追学xyllqlql1yzh/2h/2q（2）方边界条恰件的应划用：(a)还上下边拍界（主要库边界）：由此解得期：代入应力庭公式弹性地力学xyllqlql1yzh/2h/2q(i斧)(j功)(k饶)(b)誓左物右边界包（次要淋边界）具：（由于类对称，文只考虑写右边界类即可。跑）——难保以满足，才需借助于瘦圣维南原移理。静力等效销条件：轴力N=0；弯矩M=0邮；剪力Q=－ql；弹性桐力学(i)(j)(k)可见，益这一条覆件自动梢满足。弹性础力圾学xyllqlql1yzh/2h/2q(p)截面上的著应力分布丑：三次抛物线4.与材料力桨学结果比少较弹性符力成学xyllqlql1yzh/2h/2q(p)4.与材料力学结果比较材力中几年个参数：截面宽：b=1,截面惯矩堪：静矩：弯矩：剪力：将其代猜入式隙(p)，有（3-6爷）弹性扁力学xyllqlql1yzh/2h/2q（3-6）比较，得楚：（1）第一项额与材力所结果相筑同，为遣主要项抗。第二项摇为修正即项。当h/l<<1，该项误倡差很小，叨可略；当h/l较大时于，须修伯正。（2）为梁各俱层纤维顺间的挤保压应力年，材力致中不考族虑。（3）与材力产中相同奖。注意：按式（社3-6滴），梁筋的左右寺边界存益在水平狠面力：说明式炭（3-五6）在载两端不脑适用。弹性叛力学解题步秘骤小结据：（1）（2）（3）根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、对称性等），估计某个应力分量（）的变化形式。由与应力函数的关系式（2-26），求得应力函数的具体形式（具有待定函数）。（4）（5）将具有待定函数的应力函数代入相容方程：确定中的待定函数形式。由与应力函数的关系式（2-26），求得应力分量。由边界条件确定中的待定常数。用半逆胳解法求唐解梁、摇矩形长究板类弹垫性力学味平面问知题的基炎本步骤央：弹性则力学应力函数淡法求解平霸面问题的袜基本步骤煤：（1）(2-27)（2）然后将代入式（2-26）求出应力分量：先由方程（2-27）求出应力函数：(2-26)（3）再让满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。求解方法：逆解法（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程（2-27）的φ(x,y)的形式；（2）然后利用应力分量计算式（2-26），求出（具有待定系数）；（3）再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数φ(x,y)对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数φ(x,y)可以求解什么问题。弹性益力刘学——半醋逆解法的孟数学基础存：数理方弄程中分离缎变量法。（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量的某种函数形式；（2）根据与应力函数φ(x,y)的关系及，求出φ(x,y)的形式；（3）最后利用式（2-26）计算出并让其满足边界条件和位移单值条件。半逆解法位移分编量求解：（1）将已求得的应力分量（2）（3）代入物理方程，求得应变分量将应变分量代入几何方程，并积分求得位移分量表达式；由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。弹性际力闯学1.应力函糊数的确段定(1)分析：——主要由弯矩引起；——主要由剪力引起；——由q引起（挤压应力）。又∵q=常数，图示坐标系和几何对称，∴不随x变化。推得：(2)由应力分量表达式确定应力函数的形式：积分得：(a)(b)——任意的待定函数简支梁受妙均布载荷xyllqlql1yzh/2h/2q弹性伯力父学(e)xyllqlql1yzh/2h/2q弹性槽力学2.应力分量声的确定(f)(g)(h)3.由边界条谣件确定待取定常数xyllqlql1yzh/2h/2q弹性找力污学附：应力函跳数确定叠的“材砖料力学诊方法”要点：利用材河料力学士中应力屠与梁内碌力的关镇系，假呀设某个房诚应力分垄量的函纳数形式剥。适用性：直梁、边长板条岩等受连霸续分布亩面力、稍杆端集悲中力、辨杆端集层中力偶市等。应力函滨数常可同表示为环：设法由边界面力先确定其中之一，然后将其代入确定另外一个函数。材力中膊，应力愉分量与与梁内力他的关系涛为：式中：M(x)—哄—弯剧矩方程树；Q(x)—兽—剪顷力方程逮。弹性炊力学当有横向分布力q(x)作用时，纵向纤维间存在挤压应力，同时，横向分布力q(x)的挤压作用时，对轴向应力也产生影响。应力分漆量与梁宋内力的台关系可君表示为岸：考虑挤压应力影响导致然后由：确定应力函数的具体形式。弹性席力俘学例：悬臂梁，厚度为单位1，τ=常数。求：应力函数及梁内应力。xyObl解：(1)显应力函垒数的确定xQM取任意截配面，其内变力如图：取作为分析对象，可假设：（a）——f(y)为待定宫函数由与应力函数的关系，有：（b）对x积分一伸次，有装：对y再积分般一次，剖有：其中：（c）弹性于力充学xyOblxQM（c）由确定待定函数：（d）要使上式构对任意的x，y成立，子有（e）（f）由式（砖e）续求得（g）由式（笛f）降得（h）（i）积分式（圣h）和愈（i）得（j）（k）弹性公力旁学xyOblxQM(l)包含9索个待定符常数，热由边界选条件确顷定。(2)眉应力分签量的确定(m)(3)牺利用祖边界条件敌确定常数弹性司力学xyOblxQM(3)利用边界条件确定常数(o)代入可鞭确定常黎数为：代入式随（m）宏得弹性禽力生学xyOblxQM注：也可利用M（x）=0，考虑进行分析顷。此时有馒：为待定函礼数，由相芬容方程确同定。弹性没力学llqlql1yzh/2h/2q剪力：可假设叮剪应力叨：弹性乏力饲学§3-4胞楔形体情受重力和竿液体压力要点——半宗逆解法赢（因次决或量纲菠分析法觉）xyO问题的军提法：楔形体鸦，下部曾可无限汽延伸。侧面受水福压作用：（水的容重）；自重作汁用：（楔形体的容重）；求：楔形体应力分布规律。1.应力函毁数及应蛾力分量(1)饼分孟析：(a)∵的量纲为：∴的形式应为：的线性组合。的量纲为：(b)由推理得：应为x、y的三次函数。应力函数伸可假设为杰：弹性糠力学xyO(2)巷应韵力分量考虑到：X=0，Y=（常体力）(a)显然，上我述应力函次数满足相侧容方程。2.边界条它件的利问用(1)x=0帖（应力边哨界）：代入式（君a），则徒应力分量效为：弹性兰力进学xyON(b)(2)

（应力边界）：其中：将(b陆)代入聚，有代入，可体求得：弹性旋力学xyO(b)代入式嫁（b）传，有：(3-7悄)——李茎维（Le维vy）解味答沿水平方羞向的应力告分布与材力转结果比彼较：——兰沿水平闯方向不状变，在劣材力中界无法求捞得。——史沿水平纯方向线许性分布艇，与材葵力中偏栽心受压泥公式算蔬得结果宋相同。——沿聋水平方向劲线性分布饼，材力中孩为抛物线旷分布。弹性嗓力学(3-7)——李维（Levy）解答xyO沿水平方向的应力分布结果的咳适用性帮：（1）当坝的浪横截面艇变化时目，不再胜为平面坛应变问乏题，其某结果误骄差较大辆。（2）假定坝下件端无限延欢伸，可自绍由变形。象而实际坝锦高有限，矿底部与基给础相连，搂有地基约坛束，故底吓部处结果逃误差较大杀。（3）实际坝顶瞒非尖顶，挺坝顶处有哗其它载荷吵，故坝顶球处结果误郊差较大。——三悟角形重力铸坝的精确命分析，常书借助于有今限元数值窄方法求解虫。工程应用肆：——求使坝稳定时的角度，称为安息角。弹性诊力准学因次分析法（量纲分析法）：xyO楔形体，下部可无限延伸。侧面受水压作用：（水的溶重）；自重作用：（楔形体的溶重）；求：楔形体应力分布规律。分析思路：(a)∵的量纲为：∴的形式应为：的线性组合。的量纲为：(b)由推理得：应为x、y的三次函数。应力函数可假设为：弹性汽力帽学平面问题鸡的直角坐崭标解答一、多越项式解可答——逆解布法二、梁般、长板爽类弹性厦体应力否函数方呼法应力分量与梁内力的关系可表示为：考虑挤压应力影响导致然后由：确定应力函数的具体形式。弹性号力锋学三、三暴角形板家、楔形礼体的求灭解方法因次分析法（量纲分析法）：xyO楔形体，下部可无限延伸。侧面受水压作用：（水的溶重）；自重作用：（楔形体的溶重）；分析思路：(a)∵的量纲为：∴的形式应为：的线性组合。的量纲为：(b)由推理得：应为x、y的三次函数。应力函数可假设为：弹性例力尿学例：图示矩形物板，长为l，高为h，体力析不计，贿试证以扒下函数膊是应力镇函数，开并指出绒能解决银什么问疑题。式麦中k、q为常数。xyOlh解：(1)应力分量千：边界条锻件：显然，这上下边读界无面纵力作用辣。上下边束界(2)弹性描力学xyOlh左边界k右边界kkl结论：台可解决抢悬臂梁梅左端受仓集中力叉问题。弹性毛力科学例：图示矩形怀截面简支蜻梁，长为l，高为h，受有三交角形分布烛载荷作用大，体力不家计。试求磁其应力分恳布。解：（1）唱应力函艘数形式象的确定梁截面际上弯矩值和剪力京为：由材料其力学方衰法可确蠢定应力府分量的分离变绣量形式：取应力分量分析，取应力分量与应力函数的关系：对此式积国分：弹性舒力学对此式积分：——为伶待定函亿数（2）由慌相容方程盼确定待定袜函数代入弹性针力铜学要使上述是方程对任熟意的x成立，瞒有(a)(b)(c)积分式攀（a）泄，得将上式港代入（轻b）积黑分，得积分式廊（c）析，得(d)(e)(f)将求得的代入应苍力函数次，有弹性沃力学（3）计穗算应力分伴量(g)(h)弹性片力久学（3）得利用边千界条件真确定待氏定常数上边界索：(i)(j)(k)弹性皇力学下边界：(l)(m)(n)弹性喜力学左边界剧：左边界：(o)(p)(q)(r)(s)(t)联立求解光式（i）士~（t）秀,可得具决体的应力久分量。注：位移边腾界条件梨转化为休应力边态界条件敬。弹性民力学（1）（2）试按材料决力学中确寺定应力的禁方法，写纲出图示两粮梁所有应瓣力分量形指式。（含维有待定函洪数）课堂练习爸：弹性再力学§3-而5级桂数式解订答问题的提办出多项式添解答：只能求解链载荷简单恳，且连续抓分布的问率题。不能求铅解载荷跑复杂，纹且间断细分布的诱问题。级数式蛮解答：其基本思路是将应力函数分解成关于x．y的两个单变量函数的乘积。——分离变量法。（属逆恐解法）1.级数形式靠的应力函甲数假设：(a)式中：为任意常数，其量纲为,为y的任意（待定）函数。将其代入：载荷复雕杂，且脉间断分宴布的问短题，可祥由级数配式解答晋解决。弹性治力学有：(b)解上述方拆程，得其中：A、B、C、D都是任意开常数，将其代入应力函数，得(c)再取如虑下应力地函数：式中：也为任意常数,为y的任意（待定）函数。类似于上品面的运算缝，可得应话力函数的积另一解：弹性霉力学(d)显然，克将式(争c)芹与(d劲)相加鸽，仍为委可作为抗应力函早数：(e)取和的一系列值，即取：将由此构成的加起来，有(3-8洞)显然，恼式(3勾-8)拌满足拌相容方牺程，可效作为应仓力函数拥。且在估其上再酱加若干渔个满足明相容方盾程的应灰力函数欲，仍可吗作为应庭力函数闻。弹性刷力学2.级数形式箩的应力分逼量将上述应力函数代入应力分量表达式（2-26），有(3-9蛮)式（3-涛9）满足氏相容方程犬、平衡方江程，只要胖适当选取稳：使其满之足边界折条件，窃即为某罢问题的旨解。弹性再力学§3-6旨简支梁翁受任意横胆向载荷边界条吧件1.边界条色件的级藏数表示上下边界马：左右边捉界：（a）（b）（c）（d）由边界肤条件（屿c），巡寿得弹性生力学此时应力仁分量式（矛3-9）郑简化为（3-1忧0）弹性圆力遍学将此应摊力分量罪式（3哭-10份）代入雕边界条号件（b污），有（e）（f）（b）（i）（j）弹性贿力学（g）（a）（h）将此应力何分量式（瞎3-10仇）代入边疯界条件（适a），有将在区间（0，l）上展为和等式左边相同的级数，即的级数，由Fourier级数的展开法则，有（3-滑11）弹性菜力学比较式（音3-11传）与式（最g）和（醒h）两边抵的系数，编有（k）（l）由式(i)、(j)、(k)、(l)可求得全部和系数：，代入式（3-10）求得应力分量。说明：（1）边界条件粒（d）在程求解中没捧有用到，续但可以证像明是自动膨满足的。（2）级数求解喝计算工作够量很大，袖通常由有娇关计算软杠件求解，顶如：Ma犯thCA艘D、Ma欢tlab确、Mat督hema扛tica敢等。（3）结果在梁软的端部误貌差较大；文另外，当走梁的跨度职与高度相询当时结果肚误差也较赠大。弹性嗓力学《弹性蜂力学平蹈面问题妥的基本文理论》五小结一、两休类平面课问题及术其特征名称平面应力问题平面应变问题未知量已知量未知量已知量位移应变应力外力几何形状体力、询面力的存作用面睡都平行赴于xoy平面，坊且沿板避厚不变结化。体力、栋面力的谷作用面芬都平行洁于xoy平面，谣且沿z向不变误化。z方向的尺影寸远小于板面内台的尺寸（禾等厚度薄奋平板）z方向的哗尺寸远大于xoy平面内的陪尺寸（等团截面长柱堵体）弹性床力候学二、平精面问题末的基本离方程（1）塑平衡微播分方程（2-答2）（假定：余小变形、护连续性、惜均匀性）（2）男几何方驻程（2-9唉）（假定：并小变形、岩连续性、陵均匀性）（3）堵物理方促程(2-枕15)（平面应数力）(2-耗16)（平面谢应变）（假定芹：小变捏形、连这续性、电均匀性竿、线弹他性、各冤向同性等）弹性涂力饼学三、平面呆问题的基协本求解方甲法及基本疏方程思路：（1）棕按位移像求解以位移u、v为基本屑未知量穴，在所填有基本壁方程中菠消去其淡余6个虽量，得垮到以位米移表示姑的基本钟方程，疲从中求孕出u、v，再由几奋何方程、奇物理方程贝求出其余秤未知量。基本方程挖：（2-旋20）位移表阴示的平赶衡方程（2-扁21）（2-1亿7）位移表示惊