弹性力学塑性极限分析

弹性力学塑性极限分析第1页，共61页，2023年，2月20日，星期一§10－1梁的弹塑性弯曲一．基本假定平截面假设：在变形过程中，变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面，且与变形后梁的轴线垂直。bhzyPxl/2l/2Pl/4sxsx纵向纤维互不挤压：不计挤压应力，横截面上只有正应力。小挠度假设：在梁达到塑性极限状态瞬间之前，挠度与横截面尺寸相比为一微小量，可用变形前梁的尺寸进行计算。第2页，共61页，2023年，2月20日，星期一二．弹性阶段Mises：屈服条件：弹性极限弯矩弹性极限载荷Pxl/2l/2bhzy第3页，共61页，2023年，2月20日，星期一三．弹塑性阶段（约束塑性变形阶段）塑性区扩展zPxl/2l/2zo弹塑性区交界线：第4页，共61页，2023年，2月20日，星期一Pxl/2l/2zo弹塑性区交界线：Pl/4第5页，共61页，2023年，2月20日，星期一四．全塑性阶段Pxl/2l/2zo塑性极限弯矩塑性极限载荷z确定塑性区位置第6页，共61页，2023年，2月20日，星期一塑性铰：在全塑性阶段，跨中截面的上下两塑性区相连，使跨中左右两截面产生像结构（机械）铰链一样的相对转动－－塑性铰。特点：塑性铰的存在是由于该截面上的弯矩等于塑性极限弯矩；故不能传递大于塑性极限弯矩的弯矩。塑性铰是单向铰，梁截面的转动方向与塑性极限弯矩的方向一致。否则将使塑性铰消失。Pxl/2l/2zoPxl/2l/2z第7页，共61页，2023年，2月20日，星期一例题：悬臂梁在自由端受集中力，求弹性极限载荷、塑性极限载荷、弹塑性分界线。Pxlzo解：bhzy第8页，共61页，2023年，2月20日，星期一Pxlzoz第9页，共61页，2023年，2月20日，星期一一．有关塑性极限分析的基本概念弹塑性分析方法的缺点：§10－2塑性极限分析定理与方法（1）分析三个状态：弹性状态、弹塑性状态、塑性状态。（2）了解整个加载过程。（3）材料本构关系是非线性的，只能求解简单问题。塑性极限状态：理想塑性体承受的载荷达到一定的数值时，即使载荷不再增长，塑性变形也可自由发展，整个结构不能承受更大的载荷，这种状态称为塑性极限状态。塑性极限载荷：塑性极限状态对应的载荷。第10页，共61页，2023年，2月20日，星期一塑性极限分析的基本假定：（1）材料是理想刚塑的，不计弹性变形和强化效应。（2）变形是微小的。（3）比例加载。（所有外载荷都按同一比例增加。）结构在塑性极限状态应满足的条件：（1）平衡条件：平衡微分方程和静力边界条件。（2）极限条件：达到塑性极限状态时内力场不违背的条件（屈服条件。）（3）破坏机构条件：塑性极限状态下结构丧失承载能力时形成破坏机构的形式。（表征结构破坏时的运动趋势或规律，要求不引起物体的裂开或重合－几何方程，且被外界约束的物体表面上满足位移和速度边界条件。）塑性极限分析的完全解：满足平衡条件．极限条件．破坏机构条件的解。第11页，共61页，2023年，2月20日，星期一二．虚功原理和虚功率原理虚功原理：在外力作用下处于平衡的变形体，若给物体一微小的虚变形（位移）。则外力的虚功必等于应力的虚功（物体内储存的虚应变能）。VSTFiSuui虚变形（位移）：结构约束所允许的无限小位移。第12页，共61页，2023年，2月20日，星期一证明：平衡方程：边界条件：Green公式：体力为零时：第13页，共61页，2023年，2月20日，星期一虚功率原理：在外力作用下处于平衡的变形体，若给物体一微小的虚变形（位移）。则外力的虚功率必等于应力的虚功率。体力为零时：满足平衡方程和面力边界条件（静力允许的应力场）虚应变率场（机动允许的）虚速度场（机动允许的）第14页，共61页，2023年，2月20日，星期一下限定理：静力允许的内力场：满足平衡条件（平衡微分方程和面力边界条件），不违背屈服条件的内力场。sPi

s

:静力允许载荷系数

[放松破坏机构条件（几何方程、位移和速度边界条件）]真实内力场：满足静力平衡条件、屈服条件、破坏机构条件的内力场。真实内力场一定是静力允许的内力场。塑性极限载荷系数：l=

s

三．塑性极限分析定理下限定理：作何一个静力允许的内力场所对应的载荷是极限载荷的下限。

[静力允许载荷系数是极限载荷系数的下限：s

l

]第15页，共61页，2023年，2月20日，星期一证明：s

l极限状态下：静力允许的内力场：q虚功率原理：由Druker公设：极限曲面是外凸的。Pi在真实位移速度上的功率为正s

l第16页，共61页，2023年，2月20日，星期一2.上限定理：机动允许的位移（速度）场：满足破坏机构条件（几何方程和位移、速度边界条件），外力做功为正的位移（速度）场。

[放松极限条件，选择破坏机构，并使载荷在其位移场上做功为正]三．塑性极限分析定理上限定理：作何一个机动允许的位移（速度）场所对应的载荷是极限载荷的上限。

[机动允许载荷系数是极限载荷系数的上限：k

l

]破坏载荷：机动允许的位移场所对应的载荷。k

Pk：机动允许载荷系数破坏机构所对应的内力场不一定满足极限条件，一般情况下：k

＞l破坏机构是极限状态下的机构，对应的内力场是静力允许的：l=

k

第17页，共61页，2023年，2月20日，星期一证明：k

l设机动允许的位移（速度）场破坏载荷：q虚功率原理：由Druker公设：极限曲面是外凸的。Pi在真实位移速度上的功率为正应力场：k

l第18页，共61页，2023年，2月20日，星期一下限定理：作何一个静力允许的内力场所对应的载荷是极限载荷的下限。

[静力允许载荷系数是极限载荷系数的下限：s

l

]上限定理：作何一个机动允许的位移（速度）场所对应的载荷是极限载荷的上限。

[机动允许载荷系数是极限载荷系数的上限：k

l

]s

l

k

s

＝

l

＝k：同时满足三个条件，l为完全解。

s

l

：下限解－－静力法。

l

k

：上限解－－机动法。第19页，共61页，2023年，2月20日，星期一静力法（1）取满足平衡条件且不违背屈服条件（极限条件）的应力（内力）场。（建立静力允许的应力场）（2）由静力允许的应力（内力）场确定所对应的载荷，且为极限载荷的下限：Pl-=

sP（3）在多个极限荷的下限解中取：Plmax-（4）检查：若结构成为破坏机构，存在一个对应的机动允许的位移场，则：Plmax-=Pl。否则：Plmax-为Pl的一个下限解（近似解）

四．塑性极限分析方法第20页，共61页，2023年，2月20日，星期一2.机动法（1）选择一个破坏机构（几何上允许的、外力做功为正），建立机动允许的位移场。（2）由内功率等于外功率求破坏载荷，且为极限载荷的上限：Pl+=

kP（3）在多个破坏荷中取最小值：Plmin+（4）检查：若内力场是静力允许的，即不违背极限条件，则：Plmin+=Pl。否则：Plmin+为Pl的一个上限解（近似解）

四．塑性极限分析方法第21页，共61页，2023年，2月20日，星期一§10－3梁的塑性极限分析一．静定梁的极限分析极限弯矩：梁弯曲时某截面上的正应力值处处等于屈服极限（屈服点），则该截面屈服，它不能继续抵抗弯曲变形，对应的弯矩值称为极限弯矩Mp。塑性铰：凡弯矩值达到极限弯矩Mp的截面，都将丧失继续抵抗弯曲变形的能力，即在保持弯矩值为Mp的情况下，截面两侧可无限地顺着弯矩的转向相对转动，形成尖角，使挠曲线不光滑，曲率趋于无穷大，这同该截面处两侧杆用铰连接相似，故称为塑性铰。（1）单向转动。（2）在塑性铰处有弯矩作用。静定结构的基本特点：（1）无多余联系，内力可以由静力平衡方程唯一确定，内力与结构的变形无关（小变形）。（2）在静定结构中，只要有一个（一部分）截面屈服，结构就变成机构（破坏机构），且最先屈服的截面总是内力最大的截面。第22页，共61页，2023年，2月20日，星期一bhzyPxl/2l/2Pl/4静定梁的极限分析方法：作静定梁的弯矩图。

2.令最大弯矩等于塑料性极限弯矩，求极限载荷。静定梁的内力是静力允许的，对应的机构又是机动允许的，得到的极限载荷是完全解。第23页，共61页，2023年，2月20日，星期一例：确定下列静定梁的极限载荷。Pl（1）Plql（2）ql2/2第24页，共61页，2023年，2月20日，星期一例：确定下列静定梁的极限载荷。ql2/2ql/2（3）l/2ABCAB：3MpBC：Mp解：ql2/8AB与BC段截面不同，塑性铰可能出现在AB段也可能出现在BC段。作弯矩图。塑性铰出现在AB段时：塑性铰出现在BC段时：第25页，共61页，2023年，2月20日，星期一超静定结构的基本特点：（1）有多余联系，内力仅由静力平衡方程不能完全确定，内力与结构的变形有关，所以内力与梁的刚度有关。（2）在超静定梁中，当梁内截面屈服，即出现塑性铰时，由于梁的刚度发生变化，内力会重新分布，所以梁达到塑性极限状态时塑性铰的位置无法预先知道，应按照逐渐加大载荷的方法逐步确定，但计算不便。（3）工程中采用可直接计算极限载荷的机动法和静力法。确定方法：二．超静定梁的极限分析（1）机动法设定梁的破坏机构载荷利用功能有关系计算破坏载荷对于梁的所有可能的破坏机构，计算相应破坏载荷Plmin+=Pl第26页，共61页，2023年，2月20日，星期一（2）静力法根据梁的支承条件及载荷情况画弯矩分布图使梁内各处弯矩值不超过极限弯矩，此时的载荷为下限值找出梁的所有可能的静力允许的弯矩分布，计算相应载荷Plmax-=Pl第27页，共61页，2023年，2月20日，星期一例题1：已知图示超静定梁的塑性极限弯矩为M

P，试求其塑性极限载荷Pl。M1PllABC解：静力法作M图PM1M1第28页，共61页，2023年，2月20日，星期一例题1：已知图示超静定梁的塑性极限弯矩为M

P，试求其塑性极限载荷Pl。PllABC取A、C处为塑性铰，画破坏机构图（保证外力作正功）M1dPABC2qq解：机动法第29页，共61页，2023年，2月20日，星期一讨论：设梁的超静定次数为n，形成塑性铰的数目为r，一般情况下当：r=n+1时，形成破坏机构。塑性铰的位置：弯矩为驻值的截面处（固定端、集中载荷处）。在确定静力允许的内力场时，若能同时考虑形成破坏机构所需的塑性铰数目，则得到的解答可接近或等于完全解。若确定的弯矩绝对值等于MP的截面数目小于塑性铰数目，则还应检查其余弯矩为驻值的截面，其弯矩值应不超过MP，否则内力场是静力不允许的，求得的载荷也非下限解。PllABCM1PdABC2qq第30页，共61页，2023年，2月20日，星期一例题2：已知图示超静定梁的塑性极限弯矩为M

P，用机动法试求其塑性极限载荷的上限值

。x解：确定塑性铰位置qlABdxABq+jqDal计算内力功计算外力功求极限载荷x'jC第31页，共61页，2023年，2月20日，星期一例题3：已知图示超静定梁的塑性极限弯矩为MP，试用静力法和机动法求其塑性极限载荷Pl。解：静力法作M

图Pl/2ABCPl/2l/2l/2PPRC第32页，共61页，2023年，2月20日，星期一Pl/2ABCPl/2l/2l/22qq机动法ABC（1）单跨破坏（2）整体破坏ABC2qqABC（3）整体破坏2q2q载荷对称，在某些截面同时产生塑性铰第33页，共61页，2023年，2月20日，星期一例题4：试用机动法求图示三跨超静定梁的塑性极限载荷Pl。PlADC1.5Pl1.5llPl1.5lB(MP)(MP)(1.5MP)解：（1）单跨破坏第34页，共61页，2023年，2月20日，星期一PlADC1.5Pl1.5llPl1.5lB(MP)(MP)(1.5MP)（2）两跨破坏第35页，共61页，2023年，2月20日，星期一PlADC1.5Pl1.5llPl1.5lB(MP)(MP)(1.5MP)（3）整体破坏讨论：一般情况下，梁的超静定次数为n时，使梁形成破坏机构需n+1个塑性铰，即规定n+1个截面的弯矩达到塑性极限弯矩（弱），此时梁的内力和塑性极限载荷都可确定，并形成整体破坏机构。如梁的塑性铰数目少于n+1个，但足以使部分结构成为机构，该机构称为局部破坏机构。在局部破坏机构中，塑性极限载荷和变成机构的部分内力可唯一确定，若在刚性区能找到一个静力允许的内力场，则得到的上限解为完全解。第36页，共61页，2023年，2月20日，星期一PlADC1.5Pl1.5llPl1.5lB(MP)(MP)(1.5MP)1.5MPMPMPMPP第37页，共61页，2023年，2月20日，星期一§10－4圆板的塑性极限分析一．轴对称圆板的基本方程几何方程第38页，共61页，2023年，2月20日，星期一弹性本构方程rzxyqMrMq第39页，共61页，2023年，2月20日，星期一rz平衡方程rdrQrMrdqMqMqq(r)第40页，共61页，2023年，2月20日，星期一二．轴对称圆板的屈服条件（极限条件）极限条件：描述某个截面达到极限状态与否的准则。设MP为板的截面全部进入塑性状态时的弯矩，则有：Mises

条件：板的截面全部进入塑性状态时，应力沿板厚保持不为。则有：第41页，共61页，2023年，2月20日，星期一Mises

条件：2.Tresca

条件：3.最大正应力条件：MPMPMrMq第42页，共61页，2023年，2月20日，星期一三．圆板的塑性功率计算1.广义应力和广义应变：内力功（应变比能）：2.广义塑性应变增量和广义应变率：圆板中面径向曲率增量圆板中面周向曲率增量由Druck公设：塑性应变增量与屈服面正交，则有：j为广义屈服函数第43页，共61页，2023年，2月20日，星期一2.广义塑性应变增量和广义应变率：圆板中面的挠曲率3.内功率：Mises

条件：单位面积的塑性功率：第44页，共61页，2023年，2月20日，星期一3.内功率：Mises

条件：Tresca

条件：第45页，共61页，2023年，2月20日，星期一板内耗散的塑性功率：各速度间断线上耗散的塑性功率：DL：速度间断线上单位长度耗散的塑性功率sD：速度间断线s：速度间断线的长度总耗散塑性功率：在塑性极限分析中，采用理想刚塑性模型。处于极限状态时，板内产生的塑性铰线将板分成若干刚性板块。各板块绕塑性铰线刚性转动，在每一板块内速度均匀，板内耗散的塑性功率为零。D＝0Mises

条件：Tresca

条件：：塑性铰线两侧板块的相对转动角速度第46页，共61页，2023年，2月20日，星期一4.外功率：半径为a的圆板在q(r)作用下挠曲率为w(r)，则外功率：.rzaqrdr第47页，共61页，2023年，2月20日，星期一四．简支圆板的弹塑性分析rzaq弹性分析第48页，共61页，2023年，2月20日，星期一MrMqrzaq第49页，共61页，2023年，2月20日，星期一2.弹塑性分析MPMPMrMqABCDEFTresca

条件：MrMqrzaq弹塑性分界线-----圆周塑性区：rp弹性极限载荷第50页，共61页，2023年，2月20日，星期一塑性区：平衡方程边界条件：G＝0第51页，共61页，2023年，2月20日，星期一塑性区：弹性区：MrMpMq3.全塑性分析塑性极限载荷MrMqMp第52页，共61页，2023年，2月20日，星期一五．简支圆板的塑性极限分析MPMPMrMqABCDEFTresca

条件：rzaq1.确定圆板进入塑性极限状态时，内力组合位于Tresca

六边形的哪条边上：MrMqMp圆板内弯矩为正内力组合位于ABC上圆心处径向和环向弯矩相等内力组合位于B点周边上径向弯矩为零内力组合位于C点圆板内弯矩的连续性内力组合位于BC点极限条件：第53页，共61页，2023年，2月20日，星期一2.确定其它内力及极限载荷（平衡方程和边界条件）：平衡方程边界条件：第54页，共61页，2023