平面与空间向量

平面与空间向量第1页，共69页，2023年，2月20日，星期一要点·疑点·考点1.向量的有关概念

(1)既有大小又有方向的量叫向量，长度为0的向量叫零向量，长度为1个单位长的向量，叫单位向量.(2)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量.规定零向量与任一向量平行.(3)长度相等且方向相同的向量叫相等向量.2.向量的加法与减法

(1)求两个向量和的运算，叫向量的加法，向量加法按平行四边形法则或三角形法则进行.加法满足交换律和结合律.(2)求两个向量差的运算，叫向量的减法.作法是连结两向量的终点，方向指向被减向量.第2页，共69页，2023年，2月20日，星期一课前热身1BC1.已知a,b方向相同，且|a|=3，|b|=7，则|2a-b|=_____.

2.如果AB=a,CD=b，则a=b是四点A、B、D、C构成平行四边形的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件3.a与b为非零向量，|a+b|=|a-b|成立的充要条件是()(A)a=b(B)a∥b(C)a⊥b(D)|a|=|b|第3页，共69页，2023年，2月20日，星期一CB4.下列算式中不正确的是()(A)AB+BC+CA=0

(B)AB-AC=BC(C)0·AB=0

(D)λ(μa)=(λμ)a

5.已知正方形ABCD边长为1，AB=a,BC=b,AC=c,则a+b+c的模等于()(A)0(B)3(C)22(D)2第4页，共69页，2023年，2月20日，星期一能力·思维·方法【解题回顾】本例主要复习向量的基本概念.向量的基本概念较多，因而容易遗忘.为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想.引导学生在理解的基础上加以记忆.1.给出下列命题：①若|a|=|b|，则a=b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a=b,b=c，则a=c；④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b；⑤若a∥b,b∥c，则a∥c.其中，正确命题的序号是______②，③第5页，共69页，2023年，2月20日，星期一【解题回顾】解法1系应用向量加、减法的定义直接求解；解法2则运用了求解含有未知向量x,y的方程组的方法2.在平行四边形ABCD中，设对角线AC=a,BD=b，试用a,b表示AB，BC.第6页，共69页，2023年，2月20日，星期一3.如果M是线段AB的中点，求证：对于任意一点O，有

OM=(OA+OB)第7页，共69页，2023年，2月20日，星期一第8页，共69页，2023年，2月20日，星期一【解题回顾】选用本例的意图有二，其一，复习向量加法的平行四边形法则，向量减法的三角形法则；其二，向量内容中蕴涵了丰富的数学思想，如模型思想、形数结合思想、分类讨论思想、对应思想、化归思想等，复习中要注意梳理和领悟.本例深刻蕴涵了形数结合思想与分类讨论思想.第9页，共69页，2023年，2月20日，星期一【解题回顾】(1)以上证明实际上给出了所证不等式的几何解释；(2)注意本题证明中所涉猎的分类讨论思想、化归思想.4.对任意非零向量a,b，求证：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.

【解题回顾】充分利用等腰直角三角形这两个条件，转化为|AB|=|BC|，AB⊥BC延伸·拓展5.在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°,AB=(1，3)，分别求向量BC、AC第10页，共69页，2023年，2月20日，星期一误解分析2.需要分类讨论的问题一定要层次清楚，不重复，不遗漏.1.在向量的有关习题中，零向量常被忽略(如能力·思维·方法1.⑤中)，从而导致错误第11页，共69页，2023年，2月20日，星期一第2节实数与向量的积第12页，共69页，2023年，2月20日，星期一要点·疑点·考点2共线定理.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λa1.实数与向量的积的概念.(1)实数λ与向量a的积记作λa，其长度|λa|=|λ||a|；方向规定如下：当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0.(2)设λ、μ为实数，则有如下运算律：λ(μa)=(λμ)a，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb3.平面向量基本定理如果e1、e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2,其中e1，e2叫基底.第13页，共69页，2023年，2月20日，星期一1.设命题p：向量b与a共线，命题q:有且只有一个实数λ，使得b=λa,则p是q的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件2.给出下列命题：①若a,b共线且|a|=|b|，则(a-b)∥(a+b)；②已知a=2e,b=3e，则a=3b/2；③若a=e1-e2

,b=-3e1+3e2，且e1≠e2，则|a|=3|b|；④在△ABC中，AD是BC上的中线，则AB+AC=2AD其中，正确命题的序号是___________3.(1)在平行四边形ABCD中，AB=a,AD=b,那么用a和b表示向量AC+DB为()(2)已知平行四边形ABCD的对角线交于点E，设AB=e1，AD=e2，则用e1,e2表示ED的表达式为()(A)2a(B)2b(C)0

(D)a+b

课前热身B①，④AB第14页，共69页，2023年，2月20日，星期一D

4.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(-1，3)，若点C满足OC=αOA+βOB，其中a、β∈R，且α+β=1,则点C的轨迹方程为()(A)3x+2y-11=0(B)(x-1)2+(y-2)2=5(C)2x-y=0(D)x+2y-5=05.设P、Q是四边形ABCD对角线AC、BD中点，BC=a,DA=b，则PQ=_____________第15页，共69页，2023年，2月20日，星期一能力·思维·方法

1.已知AB=2e1+ke2,BC=e1+e2,CD=e1-2e2,其中e1,e2不共线，(1)若A、B、C三点共线，求k值；(2)若A、B、D三点共线，求k值.【解题回顾】可利用向量共线的充要条件证明几何中的三点共线问题.第16页，共69页，2023年，2月20日，星期一2.设△ABC的重心为G，点O是△ABC所在平面内一点，求证：

OG=(OA+OB+OC)

【解题回顾】当点O是△ABC重心时，有OA+OB+OC=0；反过来，若P是△ABC所在平面内一点，且PA+PB+PC=0，则P必为△ABC的重心.事实上，由PA+PB+PC=0得：(OA-OP)+(OB-OP)+(OC-OP)=0，所以OP=(OA+OB+OC)，故P是△ABC的重心3.已知OA、OB不共线，设OP=aOA+bOB，求证：A、P、B三点共线的充要条件是a+b=1.

【解题回顾】由本题证明过程可知，若P是AB中点，则有OP=(OA+OB).利用本题结论，可解决一些几何问题.第17页，共69页，2023年，2月20日，星期一4.E是□ABCD的边AB上一点，AE/EB=1/2，DE与对角线AC交于F，求AF/FC.(用向量知识解答)

【解题回顾】利用例3结论，本题还可这样：设AE=e1，AD=e2，∵D、F、E共线，∴可设AF=λe1+(1-λ)e2，又易知AC=3e1+e2根据A、F、C三点共线可得λ=3/4，故AF/FC=1/3.另外还可以用坐标运算的方法来解，略.

第18页，共69页，2023年，2月20日，星期一延伸·拓展5.如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC=3AD，设BA=a,BC=b，以a,b为基底表示EF，DF，CD.

【解题回顾】本题实际上是平面向量的基本定理的应用.由于BA与BC是不共线的两个向量，因此平面上的任何一个向量都可以用它们表示出来.

第19页，共69页，2023年，2月20日，星期一误解分析1.很多人认为“若a∥b，则存在唯一实数λ使b＝λa.”这是典型错误.事实上，它成立的前提是a≠0.同样，在向量基本定理中，若e1，e2是共线向量，则不能用e1，e2表示与它们不共线的向量.2.在能力·思维·方法3中，充要条件的证明极易混乱，一定要分清条件和结论.另外，向量上的箭头不要丢掉，如把0写成了0.

第20页，共69页，2023年，2月20日，星期一第3节

平面向量的坐标表示第21页，共69页，2023年，2月20日，星期一要点·疑点·考点1.平面向量的坐标表示(1)a＝(x，y)叫向量的坐标表示，其中x叫a在x轴上的坐标，y叫a在y轴上的坐标.(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R.则a+b＝(x1+x2，y1+y2)，a-b＝(x1-x2，y1-y2)，λa＝(λx1，λy1)(3)a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2-x2y1＝0第22页，共69页，2023年，2月20日，星期一2.线段的定比分点(1)定义：设P1、P2是直线l上的两点，点P是l上不同于P1、P2的任一点，则存在一个实数λ，使P1P＝λPP2，λ叫点P分有向线段P1P2所成的比，点P叫定比分点.(2)公式：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1P＝λPP2，则当λ＝1时，为中点坐标公式.3.平移设原坐标P(x，y)按向量a(h，k)平移后得到新坐标则第23页，共69页，2023年，2月20日，星期一1.设A(x1，y1)、B(x2，y2)是不同的两点，点P(x，y)的坐标由公式确定.当λ∈R且λ≠-1时有()(A)P表示直线AB上的所有点(B)P表示直线AB上除去A的所有点(C)P表示直线AB上除去B的所有点(D)P表示直线AB上除去A、B的所有点课前热身C2.若对n个向量a1、a2、…、an，存在n个不全为零的实数k1、k2、…、kn，使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立，则称向量a1、a2、…、an为“线性相关”，依此规定，能使a1=(1,0)，a2=(1,-1)，a3=(2,2)“线性相关”的实数k1、k2、k3依次可取的值是___________(写出一组数值即可，不必考虑所有情况)

-4，2，1第24页，共69页，2023年，2月20日，星期一3.三点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)共线的充要条件是()(A)x1y2-x2y1＝0(B)(x2-x1)(x3-x1)＝(y2-y1)(y3-y1)(C)(x2-x1)(y3-y1)＝(x3-x1)(y2-y1)(D)x1y3-x3y1＝0

CB4.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2)，则c等于(

)5.函数y=x2的图象按向量a=(2,1)平移后得到的图象的函数表达式为()(A)y=(x-2)2-1(B)y=(x+2)2-1(C)y=(x-2)2+1(D)y=(x+2)2+1

C第25页，共69页，2023年，2月20日，星期一能力·思维·方法【解题回顾】任何两个不共线的向量都可作为基底，i＝(1，0)，j＝(0，1)分别是直角坐标系横、纵两个方向的单位向量，用i、j表示向量时，xi+yj中的x、y是惟一的，即为向量的(直角)坐标.两个向量用坐标表示时，当且仅当两个向量横、纵坐标分别相等时，两个向量相等.1.设x、y为实数，分别按下列条件，用xa+yb的形式表示c.(1)若给定a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(-3，-5)；(2)若给定a＝(5，2)，b＝(-4，3)，c＝(-3，-5).第26页，共69页，2023年，2月20日，星期一【解题回顾】设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若b≠0，则a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.用坐标形式来表示就是a∥b<=>x1y2-x2y1＝0.而x1/x2＝y1/y2是a∥b的充分不必要条件.2.已知在梯形ABCD中，AB∥CD，A(1，1)，B(3，-2)，C(-3，-7)，若AD∥(BC-2AB)，求D点坐标.3.已知三点A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在线段AB上取一点P，过P作直线与BC平行交AC于Q，△APQ与梯形PQCB的面积之比是4∶5，求点P的坐标.第27页，共69页，2023年，2月20日，星期一【解题回顾】一般地，函数y＝f(ωx)的图象按a＝(h，k)平移后所得图象的解析式为y-k＝f[ω(x-h)]，即y＝f[ω(x-h)]+k.4.若函数y＝log2(2x-4)+1的图象按a平移后图象的解析式为y＝log22x，求a.第28页，共69页，2023年，2月20日，星期一延伸·拓展【解题回顾】本题(2)是一道开放题，求解开放题的一般途径是假定命题成立.解出存在的值(如无解，则不存在)，再验证求出的解，如不矛盾，则存在.5.已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及OP＝OA+tAB，试问：(1)t为何值时，P在x轴上?在y轴上?P在第二象限?(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.第29页，共69页，2023年，2月20日，星期一1.利用定比分点解题时，一定要先把定比λ先明确，λ的意义是起点到分点的数量除以分点到终点的数量，不能算错.误解分析2.利用平移公式解题时，一定要分清原坐标与新坐标之间关系.第30页，共69页，2023年，2月20日，星期一第4节

平面向量的数量积第31页，共69页，2023年，2月20日，星期一要点·疑点·考点2.平面向量的数量积的运算律

(1)a·b＝b·a(2)(λa)·b＝λ·(a·b)＝a·(λ·b)(3)(a+b)·c＝a·c+b·c

1.平面向量的数量积的定义

(1)设两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫a与b的夹角，其范围是[0，π]，|b|cosθ叫b在a上的投影.(2)|a||b|cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.(3)几何意义是：a·b等于|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的积.

第32页，共69页，2023年，2月20日，星期一3.平面向量的数量积的性质设a、b是非零向量，e是单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ(2)a⊥ba·b＝0(3)a·b＝±|a|·|b|(a与b同向取正，反向取负)(4)a·a＝|a|2或|a|＝√a·a(5)(6)|a·b|≤|a||b|第33页，共69页，2023年，2月20日，星期一4.平面向量的数量积的坐标表示

(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2+y1y2，|a|2＝x21+y21，|a|＝√x21+y21，a⊥b<=>x1x2+y1y2＝0(2)(3)设a起点(x1，y1)，终点(x2，y2)则第34页，共69页，2023年，2月20日，星期一1.若向量a、b的坐标满足a+b=(-2,-1),a-b=(4,-3)，则a·b等于()(A)-5(B)5(C)7(D)-12.若a、b、c是非零的平面向量，其中任意两个向量都不共线，则()(A)(a)2·(b)2=(a·b)2(B)|a+b|＞|a-b|(C)(a·b)·c-(b·c)·a与b垂直(D)(a·b)·c-(b·c)·a=0

3.设有非零向量a,b,c，则以下四个结论(1)a·(b+c)=a·b+a·c；(2)a·(b·c)=(a·b)·c;(3)a=ba·c=b·c；(4)a·b=a·b.其中正确的是()(A)(1)、(3)(B)(2)、(3)(C)(1)、(4)(D)(2)、(4)课前热身ACA第35页，共69页，2023年，2月20日，星期一4.设a=(1,0),b=(1,1)，且(a+λb)⊥b，则实数λ的值是()(A)2(B)0(C)1(D)-1/25.已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·(b/5)＝-36，则a与b的夹角是()(A)60°(B)120°(C)135°(D)150°DB第36页，共69页，2023年，2月20日，星期一能力·思维·方法【解题回顾】利用夹角公式待定n，利用垂直充要条件求c.1.已知a=(1,2),b=(-2,n)，a与b的夹角是45°(1)求b；(2)若c与b同向，且c-a与a垂直，求c第37页，共69页，2023年，2月20日，星期一2.已知x＝a+b，y＝2a+b且|a|＝|b|＝1，a⊥b.(1)求|x|及|y|；(2)求x、y的夹角.【解题回顾】(1)向量模的计算方法常用的有两种，一是用距离公式，一是用a2＝|a|2把模的问题转化为平面向量的数量积的问题.(2)向量夹角的取值范围是[0，π].第38页，共69页，2023年，2月20日，星期一【解题回顾】本题中，通过建立恰当的坐标系，赋予几何图形有关点与向量具体的坐标，将有关几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.应深刻领悟到其中的形数结合思想.此外，题中坐标系建立的恰当与否很重要，它关系到运算的繁与简.3.如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PECF是矩形，用向量法证明：(1)PA＝EF；(2)PA⊥EF.

第39页，共69页，2023年，2月20日，星期一【解题回顾】这是一道关于向量与解析几何的综合题，解题的关键在于将问题合理地转化，回避了复杂的计算.4.已知a=(x,0),b=(1,y),且(a+b)⊥(a-b).(1)求点P(x,y)的轨迹方程C的方程.(2)若直线l:y=kx+m(m≠0)与曲线C交于A、B两点，D(0，1)，且有｜AD｜=｜BD｜,试求实数m的取值范围.第40页，共69页，2023年，2月20日，星期一延伸·拓展5.已知向量a=(x,x-4)，向量b=(x2,3x/2),x∈[-4，2](1)试用x表示a·b

(2)求a·b的最大值，并求此时a、b夹角的大小.【解题回顾】本题将向量与三次函数的最值问题溶于一体，考查知识的综合应用.第41页，共69页，2023年，2月20日，星期一【解题回顾】(1)是用数量积给出的三角形面积公式，(2)则是用向量坐标给出的三角形面积公式.6.在△ABC中，(1)若CA＝a，CB＝b，求证△ABC的面积(2)若CA＝(a1，a2)，CB＝(b1，b2)，求证：△ABC的面积第42页，共69页，2023年，2月20日，星期一1．数量积作为向量的一种特殊运算，其运算律中结合律及消去律不成立，即a·(b·c)≠(a·b)·c，a·b＝a·c不能推出b＝c，除非是零向量.误解分析2．a⊥b的充要条件不能与a∥b的充要条件混淆，夹角的范围是[0，π]，不能记错.求模时不要忘了开方，以上是造成不全对的主要原因.第43页，共69页，2023年，2月20日，星期一第5节

空间向量及其运算第44页，共69页，2023年，2月20日，星期一要点·疑点·考点1.若a、b是空间两个非零向量，它们的夹角为θ(0≤θ≤π)，则把a、b的数量积定义为|a||b|cosθ，记作a·b.即a·b=|a||b|cosθ.

2.a·b=b·a，(a+b)·c=a·c+b·c3.若a={x1，y1，z1}，b={x2，y2，z2}，则

a·b=x1x2+y1y2+z1z2第45页，共69页，2023年，2月20日，星期一1.在以下四个式子：a+b·c，a·(b·c)，a(b·c)，|a·b|=|a|·|b|中正确的有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)0个2.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9)，如果a与b为共线向量，则()

(A)x=1,y=1(B)(C)(D)3.已知四边形ABCD中，AB=a-2c，CD=5a+6b-8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则EF=_______________课前热身AC3a+3b-5c第46页，共69页，2023年，2月20日，星期一4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，下面给出四个命题：①(A1A+A1D1+A1B1)2=3(A1B1)2②A1C·(A1B1-A1A)=0.③AD1与A1B的夹角为60°④此正方体体积为：|AB·AB1·AD|

则错误命题的序号是______(填出所有错误命题的序号).5.若A、B、C三点在同一条直线上，对空间任意一点O，存在m、n∈R，满足OC=m·OA+n·OB，则m+n=___.③、④1第47页，共69页，2023年，2月20日，星期一能力·思维·方法1.已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b，OC=c，试用a,b,c来表示OG.【解题回顾】(1)此例用到的常用结论为：若AD是△ABC的中线，则有(2)此例是常用结论即重心定理：当OA、OB、OC两两垂直时，在空间直角坐标系中，重心坐标公式为：第48页，共69页，2023年，2月20日，星期一2.已知正三棱锥P—ABC中，M，N分别是PA，BC的中点，G是MN的中点.求证：PG⊥BC.【解题回顾】要证PG⊥BC，只要证PG·BC=0，应选择适当的基底：PA，PB，PC.第49页，共69页，2023年，2月20日，星期一3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC交BD于O，G为CC1中点.求证：A1O⊥平面GBD.【解题回顾】欲证A1O⊥平面GBD，只要证A1O垂直于面BDG中两条相交直线，易看出A1O⊥BD，而OG与A1O垂直较为易证.(注：此题亦可用空间坐标来证明).

第50页，共69页，2023年，2月20日，星期一4.沿着正四面体O—ABC的三条棱OA，OB，OC的方向有大小等于1，2和3的三个力f1，f2，f3，试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦.【解题回顾】引入OA、OB、OC方向上的三个单位向量是本题得到解决的关键.第51页，共69页，2023年，2月20日，星期一延伸·拓展5．已知三角形的顶点是A(1，-1，1)，B(2，1，-1)，C(-1，-1，-2)．试求这个三角形的面积.【解题回顾】本题实际上是给出了三角形的“向量型”面积公式.到目前为止，你一共知道多少种求三角形面积的方法呢?第52页，共69页，2023年，2月20日，星期一误解分析已知|a|=4，|b|=5，|a+b|=√21，求a·b．

【分析】确定两个向量的夹角，应将它们平移，使始点重合，这时这两个向量间的夹角

才是所要求的角．本题中∠ABC不是a与b的夹角，而是-a与b的夹角(试画图观察)，即a与b的夹角应是∠ABC的补角，所以第53页，共69页，2023年，2月20日，星期一第6节

空间向量在立体几何中的应用第54页，共69页，2023年，2月20日，星期一要点·疑点·考点2.向量a与b平行的充要条件为：|a·b|=|a|·|b|.1．向量a与b夹角θ满足：

若a={x1，y1，z1}，b={x2，y2，z2}则3.向量a与b垂直的充要条件为：

a·b=0即x1x2+y1y2+z1z2=0

第55页，共69页，2023年，2月20日，星期一1.四面体每相对两棱中点连一直线，则此三条直线()(A)互不相交(B)至多有两条直线相交(C)三线相交于一点(D)两两相交得三个交点课前热身C第56页，共69页，2023年，2月20日，星期一2.在正方体ABCD—A1B1C1D1中棱长为a，M，N分别

为A1B和AC上的点，A1M=AN=

a，则MN与平面

BB1C1C的位置关系是()(A)相交(B)平行(C)垂直(D)不能确定

B第57页，共69页，2023年，2月20日，星期一3.已知PA⊥⊙O所在的平面，AB为⊙O的直径，C是圆周上的任意一点(但异于A和B)，则平面PBC垂直于平面_________．

PAC第58页，共69页，2023年，2月20日，星期一4.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角为()(A)arccos(B)arccos(C)arccos(D)arccosD【解题回顾】空间两条直线之间的夹角是不超过90°的角．因此，如果按公式计算分子的数量积为一个负数，则应当取其绝对值，使之变为正值，这样求得的角为锐角，这一说明在以后很多计算问题中经常被用到.第59页，共69页，2023年，2月20日，星期一5．P是二面角α-AB-β棱上的一点，分别在α，β平面上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°，那么二面角α-AB-β的大小为()(A)60°(B)70°(C)80°(D)90°D【解题回顾】从本题解法中我们看到，在求二面角时，没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱的垂线.第60页，共69页，2023年，2月20日，星期一【解题回顾】从本题解法中我们看到，在求二面角时，没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱的垂线.6．设n是平面α的单位法向量，AB是平面α的一条斜线，其中A∈α，则AB与平面α所成的角为

；B点到平面α的距离为_________.AB·n第61页，共69页，2023年，2月20日，星期一能力·思维·方法【解题回顾】用向量求异面直线所成的角，可能会因为我们选择向量方向的缘故，而求得该角的补角．所以最后作答时要加以确认(取小于或等于90°的角作为异面直线所成角).

1.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，AA1=c，求异面直线BD1和B1C所成角的余弦值.第62页，共69页，2023年，2月20日，星期一【解题回顾】本题中，不失一般性，可以取OB=b=1，OC=c=1，这样使过程更加清晰.2.三条射线OA，OB，OC，若∠BOC=α,∠COA=β,∠AOB=γ，又α二面