基本支撑体系课程标准新课程标准解读名师获奖

《标准》的实施及其基本策略在明确了《标准》的具体内容目标之后，如何达到这些目标，以及如何判断我们离这些目标还有多远是实施过程中必须要面对的课题，本篇内容将力图回答这些问题。“数学教学观念和策略的变革”围绕实施《标准》过程中教学观念和策略的改变，探讨在《标准》的背景下，从何处入手转变那些业已习惯了的教学模式和手段，发展有助于奠定学生人格基础与学业基础的数学教学活动、策略与方式。“评价的理念与实施”探讨了如何建立《标准》背景下的评价主体多元、评价指标多种、评价方式多样的发展性评价体系，把学生学习的全过程纳入评价视野。“数学教科书的内容与特征”对《标准》背景下新数学教科书的知识内容、呈现方式等做了深入分析，指出了新教科书可能和应该展现的面貌。第一章数学教学观念和策略的变革《标准》对数学教学的本质、数学教学的基本要求、数学教师的作用等方面都作了明确的阐述。树立正确的数学教学观，掌握合理的数学教学策略是进行数学教学改革、搞好数学教学的根本保证。为使数学教学顺利高效地进行，数学教育工作者应当努力促进自身数学教学观念与教育策略的转变。正确认识数学教学的本质教学曾被简述为“教师教、学生学的活动”。但这样说过于简单，不利于对数学教学的全面理解。苏联教育家斯卡特金认为：教学是一种传授社会经验的手段，通过教学传授的是社会活动中各种关系的模式、图式、总的原则和标准。这是一种侧重于传授内容的总体叙述。美国心理学家布鲁纳认为：教学是通过引导学生对问题或知识体系循序渐进的学习来提高学生正在学习中的理解、转换和迁移能力。这是侧重于学生获得发展的叙述。不论是从认识心理学的角度构筑的数学教学理论，还是着眼于未来，注重学习方法的掌握与创造精神发挥的数学教学理论，都必须研究数学教学过程的本质、数学教学的原则和教学方式及方法的开拓，探讨数学教学的科学性与艺术性及其统一。特别地，要与信息社会发展的总体趋势相适应，着眼于促进学生全面、持续、和谐地发展。《标准》指出：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。”这里，强调了数学教学是一种活动，是教师和学生的共同活动，这对广大教师树立正确的数学教学观具有重要意义。一、数学教学过程是教师引导学生进行数学活动的过程《标准》特别提出了数学教学是数学活动的教学。学生要在数学教师指导下，积极主动地掌握数学知识、技能，发展能力，形成积极、主动的学习态度，同时使身心获得健康发展。数学活动可以从以下两个方面加以理解。1．数学活动是学生经历数学化过程的活动。数学活动就是学生学习数学，探索、掌握和应用数学知识的活动。简单地说，在数学活动中要有数学思考的含量。数学活动不是一般的活动，而是让学生经历数学化过程的活动。数学化是指学习者从自己的数学现实出发，经过自己的思考，得出有关数学结论的过程。在数学教学中，学生的数学现实就是指他们已有的经验和知识。当儿童通过模仿学会计数时，当他们把两组具体对象的集合放在一起而引出加法规律时，这实质上就是数学化的过程。2．数学活动是学生自己建构数学知识的活动。从建构主义的角度来看，数学学习是指学生自己建构数学知识的活动，在数学活动过程中，学生与教材(文本)及教师产生交互作用，形成了数学知识、技能和能力，发展了情感态度和思维品质。每位数学教师都必须深刻认识到，是学生在学数学，学生应当成为主动探索知识的“建构者”，决不只是模仿者。无论教师的教还是学生的学都要在学生那里体现，不懂得学生能建构自己的数学知识结构，不考虑学生作为主体的教，不会有好的效果。实际上，教师的教总要在学生那里得到体现与落实，是学生在吸收、消化、理解、掌握、运用知识。离开了学生积极主动的学习，数学教师讲得再好也会经常出现“教师讲完了，学生仍不会”的现象，这正好从一个侧面说明在学校学习的情境下，教学对于指导学生建构数学知识应当具有重要的引导和指导作用，教师教学工作的目的应是引导学生进行有效地建构数学知识的活动。二、数学教学过程是教师和学生之间互动的过程数学教学是教师与学生围绕着数学教材这一“教学文本”进行“对话”的过程。在教学过程中，教和学是不能分离的，教学需要“沟通”与“合作”。传统意义上的数学教学只是强调知识或技能的传递，强调教师对教学的控制，注重学生接受式的学习，课堂教学模式基本上是灌输一接受，学生基本上是听讲一记忆一练习一再现教师传授的知识。学生完全处于一种被动接受的状态，教师注重的是如何把知识、结论准确地给学生讲清楚，学生只要全神贯注地听，把教师讲的记下来，考试时准确无误地答在卷子上，就算完成了学习任务。因此，教师对学生的要求是倾听，“听”和“练”成为学生最重要的学习方法。可以说，在传统的课堂中没有师生之间平等对话的基础。在数学教学过程中，教师与学生是人格平等的主体，教学过程是师生间进行平等对话的过程。师生间、学生间可以进行动态的对话，这种对话的内容包括知识信息，也包括情感、态度、行为规范和价值观等各个方面，对话的形式也是多种多样的。教师和学生就是通过这种对话和交流来实现课堂中师生间的互动的。正是因为数学教学过程是学生对有关的数学学习内容进行探索、实践与思考的学习过程，所以学生应当成为学习活动的主体，教师应成为学生数学学习活动的组织者、引导者与合作者。在教学中，教师首先应考虑的是要充分调动学生的主动性与积极性，引导学生开展观察、操作、比较、概括、猜想、推理、交流等多种形式的活动，使学生通过各种数学活动，掌握基本的数学知识和技能，初步学会从数学的角度去观察事物和思考问题，产生学习数学的愿望和兴趣。教师在发挥组织、引导作用的同时，又是学生的合作者和好朋友，而非居高临下的管理者。教师的这些作用至少可以在下面的活动中体现出来。第一，教师引导学生投入到学习活动中去。教师要调动学生的学习积极性，激发学生的学习动机；当学生遇到困难时，教师应该成为一个鼓励者和启发者；当学生取得进展时，教师应充分肯定学生的成绩，树立其学习的自信心；当学习进行到一定阶段时，教师要鼓励学生进行回顾与反思。第二，教师要了解学生的想法，有针对性地进行指导，起到“解惑”的作用；教师要鼓励不同的观点，参与学生的讨论；教师要评估学生的学习情况，以便对自己的教学做出适当的调整。第三，教师要为学生的学习创造一个良好的课堂环境，包括情感环境、思考环境和人际关系等多个方面，引导学生开展数学活动。在数学教学中，学生建构数学知识的过程是师生双方交互作用的历程。教师是组织者和引导者，而不仅仅是“解题指导者”；在数学课堂中，师生双方“捕捉”对方的想法，双方产生积极的互动。教师应积极了解学生思考的情况，注意学生的学习过程。教师在数学教学中应经常启发学生思考：“你是怎么知道这个结果的?”而不只是要求学生模仿和记忆。教师应了解学生的真实想法，并以此作为教学的实际出发点，为学生的学习活动提供一个良好的环境，真正发挥引导者的作用。三、数学教学过程是师生共同发展的过程1．教学过程促进了学生的发展。数学教学过程的基本目标是促进学生的发展。按照《标准》的基本理念，学生的发展包括知识与技能、数学思考、解决问题和情感态度四个方面。在数学教学过程中，这几个方面的发展是交织在一起的。从某种程度上说，今天的学习，是为了学生获得终生学习的愿望和能力。数学教学应该以发展为核心，学生要在学习数学的过程中学会做人。数学思维在学生数学学习中具有重要作用。没有数学思维，就没有真正的数学学习。教师应该使学生能够认识并掌握数学思考的基本方法，如归纳、类比、猜想与论证等；使学生根据已有事实进行数学推测和解释，养成“推理有据”的习惯，能够反思自己的思考过程；使学生能够理解他人的思考方式和推理过程，并能与他人进行沟通。数学知识和技能的发展具体体现在学生数学素养的发展上。数学教学担负着培养学生数学素养的特殊任务。数学素养具有时代特点，它的内容应与时俱进，随着时间而发生变化。100年以前，掌握算术技能就足以被认为具有很高的数学素养，但是今天对数学素养的要求与过去相比已经有了很大的不同。随着计算机技术的发展，数学运算技能的重要性和对运算技能的需求都发生了显著的变化，数学学习变得更加有趣。同时也有一些数学知识与技能显得更加重要。作为一名有数学素养的人，不能只知道如何计算，而应掌握更广泛的知识和技能，如能阅读、处理数据信息等。2．教学过程促进了教师本身的成长。在教学中，教师自身也得到了发展。数学教学实践，不仅促进丁学生的发展，也造就了一大批优秀教师。教师成长的必由之路是对自己的教学实践不断进行反思和研究，开展创造性教学，使自己的教学方法更适合学生发展的需要。教学是科学与艺术的统一。一方面，教学必须建立在一定的科学基础之上。因为教学的根本任务是促进入的身心全面而充分的发展，而人的身心发展有它自身的规律，所以要完成教学的根本任务就必须对这种发展规律有充分的认识。另一方面，教学又是一种艺术。教育者和受教育者都是人，这就决定了教学要涉及人的情感、精神、价值观等。教学过程充满了教师与学生之间，学生与学生之间在认知、情感、价值观等方面的冲突，教学工作是一种创造性活动。教师应该在教学过程中勇于实践，不断加深对数学规律的认识，努力形成自己的教学艺术。《标准》的实施为教师的成长提供了新舞台。新课程能否顺利实施，当务之急是加深教师对新课程的理解，使一大批教师成长起来。新课程也对教师的创造性提出了更高的要求。在新课程中，教师将由传统的知识传授者转变为课堂教学的组织者、引导者和合作者。根据《标准》的基本理念，学生的学习方式将发生变化，这对教学工作提出了新要求。教学工作越来越找不到—套放之四海而皆准的模式。因此，教师必须在教学工作中随时进行反思和研究，在实践中学习和创遣，这样才能得到发展。另外，数学教学过程不再是机械地执行教材的过程，而是师生从实际出发，利用更广泛的课程资源，共同开发课程和丰富课程的过程，教学真正成为师生富有个性化的创造过程。新的课程呼唤着创造型的教师，新的时代也将造就大批优秀的教师。恰当把握数学教学的基本要求如何在《标准》理念下切实搞好数学教学是新的数学课程实施中非常重要的问题。为了更好地体现《标准》所倡导的数学教学观念，《标准》分学段撰写了教学建议，对于不同学段的教学工作提出了不同的要求。总体说来，在教学中要注意如下几个方面的基本要求。一、根据学生的年龄特征和认知特点组织教学数学教学要充分考虑学生的身心发展特点，结合他们的已有知识和生活经验设计富有情趣的数学教学活动。第一学段的学生主要通过对实物和具体模型的感知和操作，获得基本的数学知识和技能，如数和图形的认识、简单的计算、简单的测量和数据统计等。为此，数学教学必须以学生熟悉的生活、感兴趣的事物为背景提供观察和操作的机会，使他们体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和作用，对数学产生亲切感。第二学段学生已经开始能够理解和表达简单事物的性质，领会事物之间的简单关系。应结合实际问题，在认识、使用和学习数学知识的过程中，使学生初步体验数学知识之间的联系，进一步感受数学与现实生活的密切联系。第三学段学生的抽象思维已有一定程度的发展，具有初步的推理能力。同时，也在数学和其他学科领域积累了较为丰富的知识和经验。因此，除了注重利用与生活实际有关的具体情境学习新知识外，应更多地运用符号、表达式、图表等数学浯言，联系数学以及其他学科的知识，在比较抽象的水平上提出数学问题，加深和扩展学生对数学的理解。《标准》强调数学教学要紧密联系学生的实际，从学生的生活经验和已有知识体验出发，创设生动、有趣的情境，引导学生通过观察、操作、实践、归纳、类比、思考、探索、猜测、交流、反思等活动，掌握基本的知识和技能，学会从数学角度去观察问题、思考问题，以发展思维能力，激发学生对数学的兴趣，增强学好数学的信心与愿望，体会数学的作用，从而学会学习，生动活泼地投入数学学习。二、重视培养学生的应用意识和实践能力数学教学应努力体现“从问题情境出发、建立模型、寻求结论、应用与推广”的基本过程，根据学生的认知特点和知识水平，不同学段都要作出这样的安排，使学生认识到数学与现实世界的联系，通过观察、操作、思考、交流等一系列活动逐步发展应用意识，形成初步的实践能力。在日常教学活动中，要注重与专题研究和开放性问题有关的内容和实践活动，加强这方面内容安排的密度和强度。1．让学生在现实情境和已有的生活和知识经验中体验和理解数学。第一，加强数学学习和现实的联系。数学学习的基础首先是学生的生活经验。数学教学要加强数学学习和现实之间的联系。数学教师在教学工作中，也要充分贯彻联系生活和数学应用的思想，让学生具有实践活动的机会，有运用数学知识解决现实问题以及由其他学科提出的问题的机会。让学生用数学的眼光看待现实生活，结合生活实际学习数学。第二，让学生在具体的数学活动中体验数学知识。教育和心理学的研究表明：当学习的材料与学生已有的知识和生活经验相联系时，学生对学习才会是有兴趣的。因此，教学要从学生所熟悉的现实情境和已有的知识经验出发，让学生能够积极地参与其中并体会到数学学习和现实的联系，这是激发学生数学学习兴趣的重要途径，使学生在认识数学的同时，还能学到解决问题的策略。研究还表明，当数学和学生的现实生活密切结合时，数学才是活的、富有生命力的，才能激发学生学习和解决数学问题的兴趣，正如数学教育家所言：“数学是现实的，学生从现实生活中学习数学，再把学到的数学应用到现实中去。”因此，数学教学要密切结合学生的生活经验，从现实中寻找学生学习的素材，使学生感受到数学就在自己的身边，就存在于自己熟悉的现实世界中。事实证明，只有将数学与现实背景紧密联系在一起，也就是说只有通过数学化的途径来进行教学，才能帮助学生真正获得富有生命力的数学知识，使他们不仅理解这些知识，而且能够应用。因此，数学教学要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验出发开展教学，教师要善于引导学生把生活经验上升到数学概念和方法，并能反过来解决实际问题。2．培养学生应用数学的意识和提高解决问题的能力。数学教学应从学生所熟悉的现实生活出发，从具体的问题到抽象的概念，得到抽象化的知识后再把它们应用到新的现实情境中去，通过数学的应用，培养学生应用数学的意识，提高解决问题的能力。第一，让学生经历“问题情境－建立模型－解释、应用与拓展”的过程。为了使学生经历应用数学的过程，教学应采取“问题情境一建立模型一解释、应用与拓展”的过程。这个过程的基本思路是：以比较现实的、有趣的或与学生已有知识相联系的问题引起学生的讨论，在解决问题的过程中，出现新的知识点或有待于形成的技能，学生带着明确的解决问题的目的去了解新知识，形成新技能，反过来解决原先的问题。学生在这个过程中体会数学的整体性，体验策略的多样化，初步形成评价与反思的意识，从而提高解决问题的能力。比如，“用正方形的纸折出一个无盖的长方体，使其体积最大”这一问题，从学生熟悉的折纸活动开始，进而通过操作、抽象分析和交流，形成问题的代数表达；再通过收集有关数据，以及对不同数据的归纳，猜测“体积变化与边长变化之间的联系”；最终，通过交流与验证等活动，获得问题的解，并对求解的过程作出反思。在这个过程中，学生体会到“图形的展开与折叠”“字母表示”和“制作与分析统计图表”等方面知识的联系与综合应用。第二，培养学生提出问题和解决问题的能力。为了使教学有助于提高学生解决问题的能力，首先应使学生获得从数学的角度提出、认识和理解问题的机会。让学生在学习时，善于从数学的角度提出问题、发现问题。其次，使学生学会运用多种方法解决问题，发展多样化的解题方法。由于不同的学生在认识方法上存在着差异，他们有不同的认识方式和解决问题的策略，所以应当鼓励他们从不同的角度、不同的途径来思考和解决问题。如在认识平行四边形和梯形时，可以鼓励学生从边的特点看，也可以从角的特点看，还可以从这类图形与其他图形(长方形等)的区别来看。这样就可以拓展学生的思维，在更深的层次上认识所学的内容。又如，组织学生通过合作探索“借助不同参照物确定物体的位置，并画出示意图”和“在方格纸上连接用数对表示的点所构成的折线”时，可以几个人一个小组，讨论用什么方法完成这样一项任务。由一个同学描述从家到学校要经过的主要建筑物，其他同学按他所说的画出示意图。同学之间可以对描述是否准确、示意图画得是否清楚展开讨论，提出修正意见，最后形成一个大家都可以接受的描述方法和示意图。在这个过程中，学生们一方面可以了解到大家合作从事一项工作的意义，另一方面也可以了解不同的同学对同一个问题的不同看法。在数学活动的过程中，学生得出的是前人已经发现的结果，但数学化的过程对于学生来说已经具有一种再创造的因素。第三，注重数学与其他学科的联系与综合。数学教学与其他学科的联系与综合是一个重要的研究和实践的趋势。这是20年来数学教学改革的一个值得注意的特点。我们要根据学生的认识规律研究数学教学与其他学科联系的问题，不仅要从现实生活题材中引入数学，而且要注意加强数学和其他学科的联系，打破传统的学科限制，允许在数学课程内容中研究与数学有关的其他问题。综合是数学应用思想的延续和发展。数学教学设计要把握数学应用的广泛性这一特点，注重数学应用的多科性，运用数学解决生活和其他学科中的问题。数学与自然、科学、人文等许多学科有关，是学习这些学科的重要基础。同时，可以从这些学科的问题中找到应用数学的广阔途径，理解数学的丰富内涵，也可以从它们那里吸收丰富的营养。教师要研究数学和其他学科的关系，制定工作计划，通过数学与其他学科的联系综合，全面发展学生的数学素养。解决实际问题往往不只涉及数学的一招一式，可能涉及其他知识与能力，应用的过程是一个综合的思维活动。数学能力与许多一般能力应该协同发展，如合作、实验、分析、推理、观察、交流等。在数学教学中，应重在兴趣，井适当发展学生综合思维的能力，让学生有机会综合地运用各种数学知识和技能，使他们掌握信息的收集、调查、整理的方法，培养学生自己发现问题的意识、独立的思考判断能力，以及以问题解决、探究活动为主的创造能力，使学生初步获得对数学的正确看法。三、重视引导学生自主探索，培养学生的创新精神在教学活动中，学生是学习的主体，必须改变“教师讲、学生听”“教师问、学生答”以及大量演练习题的数学教学模式。教师必须转变角色，充分发挥创造性，依据学生年龄特点和认知特点，设计探索性和开放性的问题，给学生提供自主探索的机会，让学生在观察、实验、猜测、归纳、分析和整理的过程中去理解一个问题是怎样提出来的、一个概念是如何形成的、一个结论是怎样探索和猜测到的，以及这个结论是如何被应用的。通过这样的形式，使学生创新精神的培养得到落实。在这个过程中，教师要关注学生的个体差异，尊重学生的创造性，对学生在探索过程中遇到的困难和出现的问题，要适时、有效地帮助和引导，并通过交流、讨论、合作学习加以解决，使所有学生都能在数学学习中获得成功感，树立自信心，增强克服困难的勇气和毅力。1．引导学生动手实践、自主探索和合作交流。实施新的课程标准必需改变旧的教学模式，学生的学习方式也必须进行相应的改变。数学教学应注重引导学生动手实践、自主探索与合作交流。学生在观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动中，逐步形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。第一，让学生动手操作。《标准》中设计了大量便于学生进行操作的内容。如用小棒、圆片来理解“平均分”“10以内数的组成”；用小棒搭建若干三角形、四边形等并探索规律；用搭积木、折叠、剪贴等方式，理解空间图形、空间图形与平面图形之间的关系；动手实验、收集数据、进行摸球游戏等。动手操作是数学学习的一种手段，目的是更好地促进学生对数学的理解，能用数学的语言、符号进行表达和交流。例如，“等腰三角形的性质”“三角形全等的判定”就可以让学生通过实际操作来理解。能借助动手操作来理解的内容很多，需要不断挖掘，但在使用时应注意两点：①要留给学生足够的思维空间。动手操作的目的在于学生借助直观的活动来实现和反映其思维活动，所以必须给学生留有足够的思考空间。②操作活动要适量、适度。所谓适量，就是不要动辄就操作，操作也不是多多益善。适度是指当学生的直观认识积累到一定程度时，就应该使学生在丰富的表象的基础上及时抽象，由直观水平向抽象水平转化。第二，促使学生进行独立思考和自主探索。教学要给学生提供自主探索的机会，让学生在讨论的基础上发现问题和解决问题。比如，当教学“轴对称图形”时，可以出示松树、衣服、蝴蝶、双喜等图形，让学生讨论这些图形所具有的性质。学生经过讨论得出“这些图形都是沿一条直线对折，左右两侧正好能够完全重合……”这便是“轴对称图形”的概念。为了加深学生的理解，当学习了“轴对称图形”后，还可以让学生以互相提问的方式列举生活中的“轴对称图形”(比如数字、字母、汉字、人体、教室的物体等)。学生在探索和交流的过程中，经历了观察、实验、归纳、类比、推理等过程。要安排适量的、具有一定探索意义和开放性的问题，给学生比较充分的思考空间，培养学生乐于钻研、善于思考、勤于动手的习惯，让学生有机会在不断探索与创造的氛围中发展解决问题的能力，体会数学的价值。第三，鼓励学生合作交流。为了促使学生合作交流，在教学组织形式和教学方法上要进行变革，逐步由原来单一的班级授课制转向内涵丰富、有利于学生主动参与的多样化的教学组织形式。如，小组学习就是一种这样的教学组织形式。学生在小组中从事学习活动，借助于学生之间的互动，有效地促进学生之间的共同进步。这是一种较易操作的新型教学组织形式。教学中，应该注意如下几个方面的要求：(1)合理分组。为了促使学生进行小组合作学习，首先应对全班学生进行适当的分组。在分组中要考虑学生的能力、兴趣、性别、背景等几个方面的因素。一般来讲，应遵循“组内异质、组间同质”的原则，这样才能保证每个小组在大致相同的水平上展开合作学习。(2)明确小组合作的目标。合作学习是由教师发起的，教师不是合作诸方中的一方。这种“外部发起式”的特征决定了学生对合作目标的理解是非常重要的。只有理解了合作目标的意义，才能使合作能够顺利地进行。因此，每次合作学习，教师都应明确提出合作的目标和合作的要求。比如，在教学“时、分、秒”时，教师可以将学生分成四人一组，进行四次合作学习，现选其中的一次。教师发给每组两张表格，让学生填写，并具体写出要求：数一数、填一填。钟面上一共有（）大格1大格有（）小格一共有（）小格合作要求：①先2人一组，互相说一说；②再4人一小组，共同记录表格；③合作小组中的每个成员都要承担一定的责任。在小组合作学习中每个人都必须有一定的责任，以免“责任扩散”，使小组合作流于形式。一般来讲，给小组中的每个成员编号1—4号(四人一组)，既可以像上例一样，先让两个互相说，然后四人共同记录，也可以给四个成员分别提出不同的任务要求。2．鼓励解决问题策略的多样化。不同的学生有不同的思维方式、不同的兴趣爱好以及不同的发展潜能。教学中应关注学生的这些个性差异，允许学生思维方式的多样化和思维水平的不同层次。例如，估算、估测和算法多样化就体现了问题解决策略的多样化。估算，是估计数值的意识，其主要思想是把握数的大致范围。生活中很多时候都用到估算，而不需要精确计算。估算具有开放性，学生可以依据自己的经验，采取不同的估计方式，但对结果和采用的方法进行交流是十分重要的。不同的学生可能有不同的估算方法，教师应该鼓励他们进行交流，看哪种估计比较接近准确值，让学生经过讨论，找到比较接近准确值的结果。算法多样化也是问题解决策略多样化的一种重要体现。如计算54+37，下列方法都应当得到肯定：教师不要急于评价各种算法，应引导学生通过比较各种算法的特点，选择适合于自己的算法。由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的，教师应尊重学生的想法，提倡思维方式多样化。如，本书前面曾提到的“用火柴棒搭正方形”的活动(参见本书第133页)。首先提出搭1个正方形需要4根火柴棒，通过让学生动手操作，看搭建2个、3个、……、10个正方形需要多少根火柴棒，进而探索搭建100个正方形需要多少根火柴棒。在探索的过程中，由于学生思考的方式不一样，所以归纳出的表达式也是不同的，如4+3(x一1)，x+x+(x+1)等。鼓励解决问题策略的多样化，就要让学生成为学习的主人，把思考的空间和时间留给学生。教师工作贵在启发，重在信任，让学生有表现自己才干的机会。学生是数学学习的主体，教师要引导学生主动学习。所谓主动学习，就是强调学习数学是一个学生自己经历、理解和反思的过程，就是强调以学生为主体的学习活动，这对学生理解数学是十分重要的。学生学习数学不应当是被动地吸收课本上的现成结论，而应当是一个学生亲自参与的、充满丰富思维活动的实践和创新过程。具体地说，学生应该从他们经验出发，在教师帮助下自己动手、动脑做数学，逐步发展对数学概念的理解和问题解决的能力。鼓励解决问题策略的多样化，也是鼓励和提倡个性化的学习。数学教育的目的并不是仅仅为了使学生形成高效、统一的固定运算方法和熟练的技能，也要发展学生的思维能力。在数学教学过程中，教师要激励和尊重学生多样性的独立思维方式。因此，数学学习活动要让所有学生都能积极参加讨论，激荡学生思维，培养学生独立运用数学知识思考与创造的意识，促进学生创新能力的发展。在课堂教学中，应该让学生明确表达想法，强化合理判断与理性沟通的能力，在师生、生生互动中建构数学知识。四、具体要求要适当教师要善于驾驭教材，把握知识的重点、难点以及知识的内在联系，根据学生的年龄特点和教学要求开展教学活动。要注重让学生在广泛的背景下理解概念。重视概念引入的必要性，关注一个概念与日常生活、其他学科以及学生已有数学知识之间的联系，引导学生通过自身体验，在分析和整理的过程中学习概念。不能用死记硬背的方式学习概念，不能把会背作为判断学生是否熟练掌握概念的依据，对于要求“了解”“知道”的概念，不要随意提高要求。对运算技能的要求要恰当。习题量和训练时间要结合学生的学习水平合理安排。第一、二学段不要盲目追求数的运算速度和加大运算的繁杂程度，要充分考虑学生在计算速度上存在的差异，不能要求所有学生达到同样的计算速度；要鼓励学生灵活运用知识、尝试多种算法，不要用一种固定的模式限制学生，不要把精力放在套用某些固定的题型和单一的解题模式上面。对第三学段的因式分解、分式运算等，要严格控制难度，不要编制繁杂的综合计算题。要重视方程、不等式与实际问题之间的联系，注重通过分析问题的要求和条件逐步列出方程或不等式的过程，在解法上只要求学生掌握基本的解法，并强调与解决实际问题的联系。教学中出现的与应用有关的问题要尽量贴近学生的生活，不要随意编制和拼凑与实际背景没有什么联系的应用题。要加强空间观念的形成和对平面图形的直观认识。空间与图形应当与学生周围生活中的真实情境结合，让学生积累比较丰富的直观体验，在这个基础上逐步归纳出一些基本的关于图形和空间的几何事实，从形状、方位及关系等多种角度认识和理解图形，要重视结合具体情境进行空间推理。第一、二学段要注重在实际活动中发展学生的空间观念，不要把几何学习看做单纯的图形计算，尤其要避免复杂的图形计算；第三学段对演绎证明的要求应当关注学生对证明本身的理解，如证明的必要性、证明的意义和证明的基本方法，不要编制过于繁杂的证明题。要重视数据处理的现实背景，使学生初步体会统计方法与生活、社会和科学技术的联系，感受数学应用的意义。统计与概率的教学不能搞成单纯的公式记忆和纯粹的计算技巧训练。要重视计算机等信息技术手段在教学中的运用，同时还要关注正确使用新技术的问题。计算机对数学产生了深刻的影响，包括计算机技术在内的现代信息技术的发展，无疑将极大地影响学生数学学习的现状。学校的数学教学条件将会得到进一步改善，数学教育已经开始进入信息化时代。不少数学教师担心计算器或计算机应用于数学教学会削弱学生的运算能力。学生数学学习方式的改变，也许从一个方面表明这种担心是不必要的，计算器和计算机是学生探索数学知识的有力工具。我们应该努力提高现代信息技术应用于数学教学过程的水平，增加我国数学课堂中信息技术的含量，改善学生的学习。评价的理念与实施《标准》在基本理念中明确指出：“评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学；应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程；要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。”这是对新课程评价的总体描述。在实施建议中，对每一学段提出了具体的评价建议，是评价理念在各学段的具体体现。创造性地理解这些评价观念，并在教学过程中加以落实，是保证新课程有效实施的重要一环。注重对学生数学学习过程的评价根据《标准》的要求，对学生数学学习的评价，既要关注学生知识与技能的理解和掌握，更要关注他们情感态度的形成和发展；既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展。评价应注重学生发展的进程，强调学生个体过去与现在的比较，通过评价使学生真正体验到自己的进步。三个学段的评价建议中都强调了注重对学生数学学习过程的评价，基本理念是一致的，但在具体要求上有所不同。第一学段主要强调“考察学生是否积极主动地参与数学学习活动，是否乐意与同伴进行交流和合作，是否具有学习数学的兴趣”，并提倡为学生建立成长记录袋，记录那些反映学生学习进步的重要资料；第二学段在第一学段的基础上，还强调要重视了解学生思维的合理性和灵活性，考察学生是否能够清晰地用数学语言表达自己的观点等，学生成长记录的内容也更加奉富，所记录的内容能够反映学生自己探索数学的过程和取得的进步，如在日常生活中发现的数学问题、收集的有关资料、解决问题的方案和过程、活动报告或数学小论文、解决问题的反思等；第三学段要求评价学生参与数学活动的程度、自信心、合作交流的意识，以及独立思考的习惯、数学思考的发展水平等，而成长记录的内容也更加丰富和深入，包括学生自己特有的解题方法、印象最深的学习体验、提出的有挑战性的问题等。第二节恰当评价学生基础知识和基本技能的理解和掌握对基础知识和基本技能的评价，应遵循《标准》的基本理念，以每一学段的知识与技能目标为基准，考察学生对基础知识和基本技能的理解和掌握程度。所谓恰当评价主要是指评价时应将学段目标作为学段结束时学生应达到的目标来评价，学段目标不是学习某一部分内容之后每一个学生都应立即达到的目标，应允许一部分学生经过一段时间的努力，随着知识与技能的积累逐步达到。如对一些运算技能掌握情况的评价，多数学生可能在单元或学期结束时达到规定的程度，有些学生可能要经过一段时间的学习才能达到这一水平。在第一学段中，学生往往需要借助具体事物或实物模型完成学习任务。因此，对学生评价时，应重点考察学生结合具体材料对所学内容实际意义的理解。第二学段和第三学段，评价应结合实际背景和解决问题的过程进行，对概念、公式和法则的评价应当更多地关注对知识本身意义的理解和在理解基础上的应用。一、对数学知识理解的评价以往对数学知识的测验主要集中评价学生是否能记住一个概念的定义，给出或从几个选项中选择出一个有关这个概念的正确例子，或者在几个概念之间区别出符合条件的某个概念。但是对概念的理解远不止这些。对概念真正的理解意味着学生能够自己举出一定数量的有关这一概念的正例和反例；能够在几个概念之间比较它们的异同，并且认识到这些不同的概念所对应的不同解释；能够将概念从文字表述转换成符号的、图像的或口头的表述。所有这些与概念有关的能力对于应用概念进行推理和解决问题都是非常重要的。让我们具体来分析以下例子。例1使用如下图形尽可能多地表示出各种。为了使每一种表示清晰，你可以复制这一图形。对于每一种表示，解释你是如何知道你表示的阴影部分是的。以往常常都是借助分馅饼或分圆蛋糕的情境来评价学生是否理解分数概念的。但是，如果要考察学生是否获得对分数的全面认识，就必须让学生充分地应用这一概念，在更广阔的范围内表示出各种分数。例2如下两个图形有什么相同和不同的地方?把你能想到的都说出来。这个题目的设计在于考察学生是否抓住了图形的关键特征。在此基础上还可以要求学生回答这两个图形之间最重要的差异是什么。二、对数学技能掌握的评价学生在学校学习的大量数学都包含有技能的特征，传统的教学和考试也集中在这一方面，但却很少评价学生是否理解了隐含在技能应用中的各概念之间复杂的关系，更少评价在数学思考过程中看不见的解题策略的使用情况。新课程强调，对技能的评价不只是考察学生技能的熟练程度，还要考察学生对相关概念的理解与掌握，以及不同的解题策略的运用。因此，对技能的评价既要考察学生实际执行这些技能的情况，又要考察学生是否能正确思考在什么情况下应该使用哪个规则。比如，估算是一个与计算技能联系在一起的重要技能，学生必须知道各种估算的方法，知道什么时候应该用到估算，以及为什么估算能解决问题。例1找出两个比10大的整数，并且两者的积是726。例2你们班正在学习乘法，你的同桌不明白4x3＝12是什么意思，你将如何向他解释?建议你在解释时可以使用图片或图形。例3你有10元零花钱想为自己购买一些儿童节礼物。下面这张表给出了三个不同商店的不同物价：商店1商店2商店3礼物1礼物2礼物3(1)选择一个可能的组合，计算花了多少钱?你还剩多少钱?(2)不超过10元钱，购买这三件东西有多少种不同的组合?把每一种组合表示出来。这些问题的特点是：答案可能不止一个；考察学生知道什么时候需要估算以及如何估算；考察学生知道这样算的道理；鼓励使用计算器或计算机。这样的问题有助于更好地考察学生是否真正理解和掌握了各种数学技能。第三节重视对学生发现问题和解决问题能力的评价对发现问题和解决问题能力的考察实际上强调的是对数学学习过程和方法的考察。学生的数学学习不能仅仅是掌握一些概念和技能，而必须经历探索、猜想、推理等过程，解决有关的问题。《标准》明确把“形成解决问题的一些基本策略”作为一个重要的课程目标，为此，数学教学中必须通过讲解、示范和实践等方式帮助学生获得有关解决问题的策略，并对学生掌握这些策略的情况进行评价。单从答案是否正确很难对学生解决问题的能力进行正确评价。要评价学生解决问题的能力，一种方法是以波利亚那样的框架作为指导：学生是如何理解这个问题的?是否有证据证明他们有一个解题计划?答案是否正确或合理?每一步是否正确?他们是否对解法进行了检查或概括?它是否符合问题的条件?然后对框架中每一个指标赋予一定的分值，比如理解3分，计划3分，步骤2分，答案2分等等。另一个方法是基于一个更一般的对问题解决性质的理解。比如，期望学生能够使用解决问题的方法调查和理解学习内容，即从解决问题的过程中学习数学；从数学内部或外部的情境中发现并提出数学问题；尝试从不同角度分析问题，发展和应用各种策略解决问题；体会到与他人合作解决问题的重要性；用数学语言清楚地表达解决问题的过程，并尝试用不同的方式(文字、字母、图表等)进行表达；根据最初的问题情境证实和解释结果的合理性；对解决问题的过程进行反思，获得解决问题的经验或将解法和策略概括到一个新的问题情境；从有意义地使用数学中获得信心。教师可以根据学生在这些问题上的表现，给予定性评价。当然，除了对发现问题和解决问题的过程加以评价外，我们也可以通过纸笔测验对学生分析和解决问题的能力加以考察。对学生分析和解决问题能力的考察意味着对学生较高层次的思维水平进行考察。怎样编制这样的试题呢?一、设置一个如同现实生活的情境最简单的办法就是用一段文字编写或描述一个与儿童生活贴近的故事或事件，要解决的问题就包含在这个故事或事件之中。这个故事或事件实际上就为学生设置了解决身边的数学问题的情境，密切了数学与生活的联系。例如，上体育课时，教师让每一个小组排成一行。小明注意到在他的前面站着6个同学，在他的后面站着4个同学。请问小明所在的小组共有几个同学?有时我们也可以用生活中的真实材料来提问。例如，给一堆积木，提问这一堆积木共有多少?或者给一些物体，如曲别针、铅笔等，让学生测量其长度。’二、用促进较高层次思维的词语来提问较高思维水平的问题往往用“解释、说明、联系、区别、对比、分析、推断、解决、发现、概括”等词语来提问。例如，有一串数如下：3，4，12；3，6，6；3，8，24；3，9，9；…你能发现其中的规律吗?说明你的理由。三、使用“渐进”式问题这种提问使前面的信息将会作为后面问题解答的依据，而且往往通过后面问题的回答也可以推知前面问题的回答是否正确。例如，下图描述了小红放学回家的行程情况：根据上图回答如下问题：(1)小红放学后是径直回家的吗?(2)图中的哪一段表明小红在某处逗留了一段时间?(3)编一个小红放学回家的故事，使得故事情节与图中描述的情况一致。这样的问题同时也考察了学生读图的能力。四、在问题的后面补充跟踪问题，如“为什么”“怎么样”之类的问题例如，把一元硬币向空中抛10次，记录你的实验结果。(1)正面朝上的次数是多少次?(2)这一结果与你的预期一样吗?(3)如果结果与你的预期不一致，你还能做些什么使得结果与你的预期一致呢?(4)你怎么知道这样做能够保证实验结果与你的预期一致呢?第四节评价主体和方式要多样化教师在评价学生的学习时，既可以让学生开展自评和互评，也可以让家长和社区有关人员参与评价过程，而不仅仅局限于教师对学生的评价。评价的手段和形式应多样化，且以过程性评价为主，既可以用书面考试、口试、活动报告等方式，也可用课堂观察、课后访谈、作业分析、建立学生成长记录等方式。下面介绍几种评价形式。对此，教师在实施中应针对不同的需要进行选择，并将各种形式有机地结合起来。教师在实践中应灵活变通、创造性地使用。一、课堂观察在课堂观察时，教师不仅要关注学生知识、技能的掌握情况，而且要关注学生其他方面的表现。课堂观察可采取随时记录一些重要信息的方式，也可以运用课堂观察检核表对学生进行比较系统的观察。当学生在回答提问或进行练习时，通过课堂观察，教师便能及时了解学生学习的情况，从而给予鼓励和强化，或给予指导与矫正。教师也可以根据实际需要，关注学生突出的一二个方面。课堂观察检核表学生姓名：观察项目因素123说明知识和技能的掌握情况数与代数1＝真正理解并掌握；2＝初步理解；3＝参与有关的活动。空间与图形统计与概率解决问题是否认真听讲1＝认真；2＝一般；3＝不认真。作业是否积极举手发言1＝积极；2＝一般；3＝不积极。提出问题并询问讨论与交流阅读课外读物是否自信提出和别人不一样的问题1＝经常；2＝一般；3＝很少。大胆尝试并表达自己的想法是否善于与人合作听别人的意见1＝能；2＝一般；3＝很少。积极表达自己的意见思维的条理性能有条理地表达自己的意见1＝强；2＝一般；3＝不足。解决问题的过程清楚做事有计划思维的创造性善于用不同的方法解决问题1＝能；2＝一般；3＝很少。独立思考总评二、成长记录在评价学生的学习过程时，可以采取建立学生成长记录的方式，以反映学生学习数学的进步历程，增加他们学好数学的信心。有些学生在正规的测验中由于焦虑而不能正常发挥他们的数学能力；有些学生的思维方式是趋向于深思型的那一种，对问题的思考往往比冲动型的学生慢，但对问题的解答可能更全面，而正规测验规定的时间限制使他们不能很好地发挥；还有些学生在动手实践能力上更擅长，正规测验中的纸笔形式并不能全面正确地评估他们的能力。成长记录的形式，不仅有助于收集学生这方面的信息，保证评价的全面性和科学性，使更多的学生获得成功的体验，而且还为学生的成长过程提供了一个很好的形成性评价。成长记录的内容可以包含学期开始、学期中和学期结束三个阶段的学习材料，材料要真实并定期更新，使学生感受到自己的不断成长与进步，这有利于培养学生的自信心，也有助于教师全面了解学生的学习状况，改进教学，实施因材施教。成长记录的材料应让学生自主选择，并与教师共同确定。事实上，让学生参与建立成长记录的整个过程与其中所收录的内容一样重要，这有助于培养学生对自己的数学学习进行监控的能力和负责的态度。三，开放性任务开放性任务意味着一个较为复杂、开放性的问题情境，解决这样的任务需要提出假设、对数学情境作出解释、计划解题的方向、创造一个新的相关问题或进行概括等等，也就是说在该任务的解决过程中可以收集到学生多方面的信息。开放性任务不仅要求学生给出问题的解答结果，而且要求学生在完成任务中学会探索，使用各种方法，综合应用各种数学知识和技能，并且在具体的情境中调整它们以适应新的情境。例如，一家餐馆有能坐4人的方桌。如果多于4个人，餐馆老板就把桌子摆成一行，2张桌子拼成一行能坐6人(如下图)。(1)3张桌子拼成一行能坐多少人?(2)完成下表拼成一行的桌子数123410人数461824(3)如果已知拼成一行的桌子数，你能快速算出一共能坐多少人吗?用语句和图表达你的方法以便别人能理解。用数学符号表达这个关系。(4)当已知要坐的人数时，你需要算出所需桌子数。(当有人向餐馆订餐时这种情况经常发生)·如果订餐的人要求坐在一起，怎样算出需要多少张桌子?用语句和图解释你的方法。·用数学符号表达这个关系。教师们关心的一个问题是如何设计和开发这样的开放性问题。传统的问题往往与数学紧密联系，其目的是要求学生练习和应用最近所学的定理、法则或算法等。教师们要善于利用它们，因为这些传统问题为我们提供了很好的原型，只要对它们进行一定的改造，就能变成我们需要的开放性问题。比如，原始的问题是：要买一个价值50元的商品，小明已经存了15元，他还需再存多少元才能买下这个商品?改造后的问题是：你的一个朋友只有15元钱，他想给他的奶奶送一份生日礼物，利用报纸或超市的广告宣传单上的价目表，制定一个购买计划。像这样的问题就非常贴近生活，学生很自然地成为故事的主角。而当学生成为问题情境中的一部分去从事相关的任务时，我们就能更清晰、更真实地知道学生的学习情况。将学生置于一个真实的解决问题的故事和事件中是设计和开发开放性任务的最简单的方法，而且在教学中这也是一个很有效的调动学生学习积极性、促进其积极思维的方法。四、调查和实验调查和实验是一种表现性评价形式。让学生进行调查和实验，有助于培养学生的动手实践能力，有助于学生对数学内部的整体把握，有助于加强数学与外部世界的联系。请看下面的一个例子：假如一个家庭有2个成人和1个13岁的男孩，请为他们设计营养均衡的一周食谱。使用食品广告，估算你所提供的一周营养食谱的费用。这样的调查和实验任务，为我们考察学生提出假设、分析和综合数据，以及推断能力提供了依据。同时，这些任务还有助于学生发挥主动性、创造性以及在一个长期任务中坚持不懈的精神，从而也为我们评价学生这些方面的发展提供了依据。五、数学日记数学日记不仅可用于评价学生对知识的理解，而且可用于评价学生的思维方式。通过日记的方式，学生可以对他所学的数学内容进行总结，可以像和自己谈心一样写出他们自己的情感态度、困难之处或感兴趣之处。新课程强调发展学生数学交流的能力，而写数学日记无疑提供了一个让学生用数学的语言或自己的语言表达数学思想方法和情感的机会。而且，数学日记还可以发展成为一个自我报告，评价自己的能力或反思自己问题解决的策略。从这个意义上说，数学日记有助于数学教师培养和评价学生的反省能力。一般来说，大多数学生会发现这种形式的写作有些困难。所以刚开始的时候可以要求学生写一写他们解决某一个问题的过程或记录某一天的问题解决活动。比如，可以要求学生设想给一个朋友写信，谈谈自己在数学课堂上的活动；或者假想一个比自己年级低的同学，想办法用比较简单易懂的语言向他解释解决某一个问题的过程等等。为了便于学生操作，可以给他们提供一个数学日记的格式，规定一些需要写的内容，比如下面就是数学日记的一种格式：日期＿＿＿＿姓名＿＿＿＿今天数学课的课题：＿＿＿＿＿＿＿＿所涉及的重要数学概念：理解得最好的地方；不明白或还需要进一步理解的地方：所学的内容能否应用在日常生活中，举例说明：总之，每种评价方式都有自己的特点，评价时应结合评价内容与学生学习的特点加以选择。比如，教师可以选择课堂观察的方式，从学习数学的认真程度、基础知识和基本技能的掌握情况、解决问题和合作交流四个方面对学生进行考察。教师还可以从学生成长记录中了解学生提出问题和解决问题能力的发展。评价结果的呈现概括地讲，评价结果的呈现有定性与定量两类方式。在第一学段应以定性描述的方式呈现，在第二学段应以定性和定量相结合的方式呈现，以定性描述为主，在第三学段应以定性与定量相结合的方式呈现。评价时应采用鼓励性语言，以发挥评价的激励作用，让每一位学生体会到只要自己在某个方面付出了努力就能获得公正客观的评价。另外，评价要充分关注学生的个性差异，保护学生的自尊心和自信心。具体来说，评价的呈现方式包括评分或等级、评语、成长记录等。一、评分根据对分数的解释，评分可分为绝对评分和相对评分。过去常用的百分制属于绝对评分，因为每个学生的分数都是用同样的标准来衡量的。相对评分(等级)则是指学生的分数和等级在整个群体中所处的位置，如标准分数、百分等级等。定量评价可采用等级制的方式，它又可以分为标准参照(任务参照)、群体参照(常模参照)和自我参照(变化的多少)三种。无论哪种评价方式，都有优点，也不可避免地存在缺点。但如果采用多样化的评价方式，并且正确处理评价的结果，就能够使评价更公平、公正和合理。为此，教师在解释学生数学测验分数或等级时，应遵循以下原则：1．测验分数或等级描述的是学生学会的行为或目前所具有的水平。由于种种原因，学生在数学测验中所得的分数有高有低，但无论是什么原因造成学生之间的差异，测验分数或等级提供的信息只能说明他们学会了什么。分数或等级表明的是学生目前所具有的水平，而并不预示他们的未来。学生一直在变化，思维水平在变化，学习方法在变化，学习态度和情感也在变化，教师应该用发展的眼光正确看待每一次的数学测验分数或等级。2．分数或等级提供的是对学生数学学习成效的一种估计，而不是确切的标志。教师在任何情况下都不能确认某一次的测验分数或等级是非常精确的，因此，对学生在测验分数或等级上少量的差异或变化，教师在解释分数或等级时不宜夸大。3．单独的一次数学测验分数或等级不能作为对学生数学学习能力评判的可靠依据。学生的数学能力不仅表现在测验分数或等级的高低上，还反映在探索、推测或猜想、推理等解决有关问题的过程中。另外，由于试卷本身的结构问题或学生当时的生理和心理状况，一次测验的分数或等级并不总是可信的。通过评价目标的多元化和评价方式的多样化，虽然不能一定保证评判不犯错误，但是至少可以把犯错误的概率减少到最小。4．数学测验分数或等级表明的是学生数学学习中的行为表现，而不是解释表现的原因。当测验分数或等级不理想时，只是说明该生在这次考试中某些方面没有发挥出预期的水平，但不能由此得出该生学习不认真、不努力或数学学习能力上存在什么问题的结论。教师必须了解和收集卷面以外的信息，才能作出适当的解释。二、评语评语是用简明的评定性语言叙述评定的结果。评语可以补充评分的不足。一个分数或等级所能反映出的信息毕竟是有限的，对于难以用分数或等级反映的问题，可以在评语中反映出来。评语无固定的模式，但针对性要强。语言力求简明扼要、具体，要避免一般化。要尽量使用鼓励性的语言客观、全面地描述学生的学习状况，充分肯定学生的进步和发展，同时指出学生在哪些方面具有潜能，哪些方面存在不足，使评语有利于树立学生学习数学的自信心，提高学习数学的兴趣，明确自己努力的方向，促进学生进一步的发展。请看下面的评语：“本学期我们学习了收集、整理和表达数据。你通过自己的努力，能收集、记录数据，知道如何求平均数以及它的实际意义，你制作的统计图也是班上最出色的。但你在使用语言解释统计结果时还不够准确。老师相信你通过努力会在这方面做得更好!”在这里，教师的着眼点已从分数或等级转移到了对学生已经掌握了什么内容、获得了哪些进步、具备了什么能力的关注。学生在阅读了这个评语之后，获得更多的是成功的体验和学好数学的自信心，同时也知道了自己在哪些方面存在着不足，明确了自己今后继续努力的方向。三，成长记录评语中虽然也包含了教师对学生成长记录中的成果的评价，但是成长记录作为一种物质化的资料，在显示学生学习成果，尤其是显示关于学生持续进步的信息方面具有不可替代的作用。使用成长记录作为评价结果的呈现方式，具有以下几个优点：(1)使学生参与评价，成为评价过程的一部分；(2)使学生、家长和教师形成对学生进步的新看法；(3)促进教师对表现性评价的重视；(4)便于向家长展示，给家长提供全面、具体的关于孩子数学学习状况的证据；(5)将数学的教学重点集中在重要的表现活动上；(6)有助于评价数学课程和教学需要改进的方面；(7)提供诊断用的特殊作品或成果，为实施因材施教提供重要依据；(8)汇编累积起来的学生学习的证据和看法，全面了解学生的数学学习过程。通过“分数或等级+评语+成长记录”的方法，教师所提供的关于学生数学学习情况的评价就会更客观、更丰富，使教师、学生、家长三方都能更全面地了解学生数学学习历程，同时也有助于激励学生的学习和改进教师的教学。教师要善于利用评价所提供的大量信息，诊断学生的困难，同时分析与反思自己的教学行为，适时调整和改善教学过程。因此，在评价学生的同时，也要对自己的教学实践做出诊断和反思，这对教师改进教学、提高水平具有重要的促进作用。第三章数学教科书的内容与特征作为实现数学课程目标的重要教学资源，数学教科书的素材与特征的定位应以《标准》为基本依据。相对于现行《数学教学大纲》而言，《标准》在有关数学教育的基本理念方面具备许多明显的新意，这些新意也必然会使教科书的含义、内容与特征都发生较大的变化。这里，首先需要明确的是，在《标准》的意义下，数学教科书的含义是什么。提起数学教科书，我们头脑里首先出现的恐怕都是这样一幅图固：一个个精确的概念、一个个深刻的定理、一连串抽象的证明、许多难题(有时伴随着一些奇妙的解法)……学习这样的数学教科书多半是一件枯燥、乏味、艰难的事情。事实上，我们都很熟悉(或者说认同)这样一种看法：数学教科书(以下简称“教科书”)是学生从事数学学习、教师从事数学教学的一个“范本”——无论是它的内容、结构，还是表现形式，甚至关于知识的“说法”。换言之，教科书具有“至高无上”的权威：一种在绝对意义上的正确性和精确性——它所呈现的每一个知识、每一种解题方法都应当是最准确的，而每一种表达知识的方式，甚至每一个词语也都应当是最精练的，是不容置疑的。因此，在数学教学实践中，学生常常会被要求“背诵教科书上用黑体字注明的定义、定理”，被要求“用书上规范的语言表述一个知识内容”……对学生而言，教科书是学习过程中供模仿的对象；对教师而言，它是一种预期的、最为理想化的学习结果——如果能将教科书“复印”到学生的头脑里，那就是最成功的教学。在这样的意义之下，教科书向学生提供的是一个被成人社会所认同的、客观的数学知识体系；主要反映的是作为科学的数学的基本内涵和意义；其主要职责就是向学生传递一些已成定论的、“成熟”的数学。也正是因为这一点，我们所熟悉的教科书一定有一付“刻板”的面孔：内容大都是一个个枯燥而且抽象的概念、定理、法则、公式、题目；叙述方式也多为一连串的“……就是……”“…………”等等。教科书中所有的问题(除去习题)都是有确定答案的，而且答案也都予以列出。这样的教科书反映了一种数学教学理念：数学知识和方法对每一个学生而言都是同样的，数学教学的最终目的就是向学生传授这些客观的数学知识和方法。然而，《标准》所持有的数学教学理念是促进学生的发展。对不同的学生而言，由于他们在所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式等方面存在着差异，因此他们头脑中所理解的数学带有明显的“个性色彩”，他们的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。在这一理念指导下，教科书需要改变原有的内涵和形式——不再是学生从事数学学习活动时的模仿对象，或者说，它向学生提供的不再是一种“不容改变”的、定论式的客观数学知识结构，而应当具备新的含义。确切地说，教科书应当是学生从事数学学习的基本素材，它为学生的数学学习活动提供了基本线索、基本内容和主要的数学活动机会。对学生而言，教科书是他们从事数学学习活动的“出发点”，而不是“终结目标”。以“代数式”内容的开始课为例，传统的教科书大都采用如下的呈现方式：(1)罗列学生以前曾经学过的许多数学公式；(2)给出代数式的定义(含义)、有关概念的说明；(3)提供一些旨在复习相关概念的例题、练习。《标准》倡导的以学生发展为本的教科书则更倾向于如下的呈现方式：(1)提供一个具有挑战性的问题情境(数学的或有现实背景的)，或者一个有趣的游戏，学生在解决这个问题的过程中必须接触到“代数式”；(2)列举一些具有共同特征的典型实例；(3)提出若干供学生思考、交流的问题，意在帮助学生通过归纳、概括等活动了解“代数式”的含义；(5)叙述代数式的含义与相关概念。显然，前者是以一种“范本”的形式出现的：直接向学生呈现“代数式”的含义(定义)，以及相关的概念，一些旨在熟悉这些概念的例题和用于模仿例题的习题。主要的教学目的就是让学生知道“什么是代数式”“如何求解有关代数式的题目(最好是能够熟练求解)”。后者则主要向学生提供了若干从事数学活动的机会：有趣的、需要思考的问题情境，求解的经历，思维空间，概念的本质属性。用意在于：首先让学生体会“为什么要学习代数式”“代数式是怎样产生的”，通过活动(归纳与概括，思考与交流等)去获得代数式的基本含义，同时，在这些活动过程中学习一些认识新事物的基本方法，发展一般能力。综上所述，按照《标准》的理念，教科书的基本含义发生了很大的变化，因此《标准》向教科书的编写者们提供了“教材编写建议”，其目的在于阐述作为符合《标准》的理念、为实现《标准》所提出的“课程目标”而编写的教科书所应当具备的基本特征。其内涵主要包括：数学教科书应当选择什么素材、其编排体系与呈现形式应当具有什么特征等，下面将对此给出详细的解读。第一节数学教科书的素材应当来源于学生的现实这里的现实既可以是学生在自己的生活中能够见到的、听到的、感受到的，也可以是他们在数学或其他学科学习过程中能够思考或操作的，属于思维层面的现实。因此，学习素材应尽量来源于自然、社会与科学中的现象和问题，而其中应当包括一定的数学价值。但是，对处于不同学段的学生而言，“现实”的含义是不同的。对第一学段的学生来说，学生的“现实”或许更多地意味着与他们直接相关的、发生在他们身边的、可以直接接触到的事与物。例如，数的计算、统计活动的学习素材，可以选取玩具、文具、食品、动物图片，而“图形的认识”学习活动中所借用的素材可以是孩子们喜爱的彩球、彩棒、动物模型等。与此同时，天真、爱幻想也是这一学段学生的天性，因此，美丽的童话故事、有趣的小游戏、小谜语也就成为他们乐于接受和愿意思考的学习内容。“教材编写建议”(第一学段)中的“选取密切联系学生生活、生动有趣的素材”正表明了这样的想法。对第二学段的学生来说，学生的”现实”或许更多地意味着他们生活环境中可以直接或间接看见、听说的事与物，一些与他们自己或者同伴密切相关的事情。因此，他们的学习素材可以是与自我身体结构相关的、与班级(学校)里的人和物或者与其他地方的同龄人有关的事情。例如，“图形与位置”中有关内容的学习，可以选取教室、操场或当地的标志性建筑物作为学习的背景或参考物；统计图表的学习则既可以是班级或社区里的事物，也可以是电视、报刊上所介绍的与他们自身的生活密切相关的事物。与此同时，学生对数学有了一定的了解，掌握了一些简单的数学知识和技能，自身的逻辑思维能力也得到了初步的发展，而且由于童性未泯，也就保留了一份较强的好奇心，这使得一些有趣的数学游戏也可以成为他们愿意学习的对象，例如一些带有简单推理性质的数学谜语、游戏或故事等。这也就是“教材编写建议”(第二学段)中的“选择具有现实性和趣味性的素材”所阐述的主要意义。对第三学段的学生来说，学生的“现实”则可能更多地意味着他们生活的社会环境中与自然、人类文明，或与其他学科相关的现象和问题，以及在他们的数学学习过程中所遇到的问题等。因此，一些历史上的数学名题、一些当今社会活动中所发生的现象或事情，都可以成为这一学段学生学习数学的好素材。例如，“车轮为什么都是圆的?”可以用于对圆的起始研究；“电视台需要在本市调查某节目的收视率，每个看电视的人都要被问到吗?对一所中学学生的调查结果能否作为该节目的收视率?你认为对不同社区、年龄层次、文化背景的人所做的调查结果会一样吗?”可以用来感受抽样的必要性，帮助学生体会不同的抽样可能得到不同的结果。而且，随着数学学习的不断深入，这一学段学生的数学活动经验逐渐丰富，也就有可能从事一些“做数学”的活动。因此，一些带有明显数学色彩的事物(问题)就有可能(也应当)成为他们学习数学的素材。例如，“要画一个三角形与已知的三角形全等，需要几个条件?一个、两个、三个?”可以成为学生探究三角形全等条件的出发点。这便是“教材编写建议”(第三学段)中的“选取自然、社会与其他学科中的素材”所阐述的主要含义。还应当看到，即使对同一学段的学生而言，考虑到心理方面的自然成熟、数学知识与方法的增加、数学活动经验的丰富等因素，“现实”的含义也会发生变化。比如，九年级学生学习函数时所面对的素材，其“数学味道”就会较七年级学生学习函数时所面对的素材更浓一些，他们所研究的主要对象就不再只是“温度变化的曲线”“人口增长的趋势”等，而是那些源于实际问题或数学问题的“一般”数学关系。第二节给学生提供探索与交流的时间和空间改进学生的数学学习方式是《标准》所提倡的一个改革目标。而“学什么与怎样学是分不开的”，相信每一位教师对这一点都深有体会。《标准》明确指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。试想，如果我们的教科书仍然是以一种“权威”的姿态，用陈述的方式向学生“讲述”所有的数学——“……就是……”“…………”“当我们遇到……通常就……”，那么，我们的学生就只有“遵从、模仿、记忆”的份了，哪里还能够去探索、发现、推理、证明?所以，有必要改变教科书这种“传统”的呈现形式，以使得它能够“有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动”。也就是说，教科书应使学生的数学学习过程主要表现为一个探索与交流的过程——在探索的过程中形成自己对数学的理解，在与他人交流的过程中逐渐完善自己的想法。一、学生所要学习的新的数学知识不应当都以定论的形式呈现学生在接触新的数学知识时，不应当都是被告知“……是什么”“……应当怎么做”等等，而是应当有机会进行探索性学习，去从事“观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动”。例如，第三学段“代数式”的内容可以采用如下的呈现形式：搭1个正方形需要4根火柴棒。按图示的方式，搭2个正方形需要——根火柴棒，搭3个正方形需要——根火柴棒。(1)搭10个这样的正方形需要多少根火柴棒?(2)搭100个这样的正方形呢?你是怎样得到的?(3)如果用x表示所搭正方形的个数，那么搭1个这样的正方形需要多少根火柴棒?与同伴交流。显然，在这样的学习情境中，学生是以“做”而非“听或看”的方式介入学习活动，而且实实在在地进行着观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。这样的活动不仅有助于学生理解所学的知识，而且对于提高自己从事数学活动的能力、对于促进自身的整体发展都有很大的帮助。二、给学生留下自己支配时间的权利学生进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动无疑需要时间，为此，教科书应当采取适当的方式，使得学生在学习过程中有时间从事这样的活动。例如，可以设立“做一做”“想一想”“议一议”等栏目，以使学生有机会去尝试、思考与交流。当然，作为不同年龄学生所使用的教科书，栏目出现的频率乃至名称都应有所区别。三、关注对数学证明的理解，发展推理与证明的意识和能力在第三学段学习规范的数学证明时，教科书应当设计一系列问题，首先使学生认识到证明的必要性；其次，通过探索与交流的活动发现证明的思路；同时，在证明的过程中体验证明要步步有据。比如，可以设计如下形式的活动：(1)我们能否画一个正方形，使得它的周长和面积分别是某个已知正方形周长与面积的两倍?为什么?(2)如果是正三角形，类似的任务是否可以完成?你是怎样解决的?与同伴交流。(3)如果是长方形，类似的任务是否可以完成?能证明自己的结论吗?(4)还能提出类似的任务吗?显然，学生解决上述问题的过程，也就是经历了“由直观判断到理性证明的过程”：通过探索(操作与推理)获得——个在直观或推理层面上的判断；随着对不同图形(复杂程度逐渐增加)的研究，学生将对先前判断得以成立的原因获得较为深刻的理解，而在探索的过程中，学生将会遇到“直观判断不可靠”或“无法作出确定判断”的情况，于是他们就认识到证明的必要性。同时，先前获得直观判断的经历也将有益于他们探索证明的思路，而证明的活动无疑有助于他们体验证明的过程要步步有据。第三节呈现形式应丰富多彩我们不能假设孩子们都非常清楚学习数学的重要性，并自觉地投入足够的时间与精力去学习数学，也不能够单纯依赖教师或家长的“权威”去迫使学生们这样做。事实上，我们更需要做的是让孩于们愿意亲近数学、了解数学、喜欢数学，从而主动地从事数学学习。为此，教科书应当根据不同年龄段学生的兴趣爱好和认知特征，采取适合于他们的表现形式，以使得学生对于阅读数学教科书没有枯燥、恐惧感，而产生一种愿意甚至喜爱的积极情感。例如，丰富多彩的图形是空间与图形部分的重要学习素材，教科书应做到图片与启发性问题相结合、图形与必要的文字相结合、计算与推理相结合、数和形相结合，充分发挥图形直观的作用，使教材图文并茂，富有启发性。即使是同一学段的不同学生，他们的生活与数学知识背景、数学活动经验、所处的文化环境、自身思维方式都会有所不同，因此，数学内容的呈现形式应多样化，以保证学生积极、主动地参与整个学习过程，使他们的数学学习活动是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。例如，第一学段的教科书可以以卡通、漫画、图片、表格为主，伴以适当的文字；第二学段的教科书仍然可以采取卡通、漫画、图片、表格和文字等形式，但各种形式的“比重”应与第一学段有所不同，比如减少卡通、漫画的量，增加图片、照片和文字的量；第三学段则或许更应加大文字、照片和表格等形式的比重，而减少卡通、漫画的形式。以“数的运算”为例，第一学段的教科书可以多采用实物图片、卡通对话等形式呈现，以使学生能够通过直观操作去学习计算；第二学段则可以在使用图片形式的基础上，引入表格、文字等形式，以帮助学生将做运算的行为”内化”，成为一种心理行为，而不一定就是实际“动手”的行为；第三学段或许就