华师大版九年级上第21章二次根式2二次根式的加减法“十市联赛”一等奖

二次根式的加减预习导学一．几个二次根式化成最简二次根式后，如果__被开方数相同__，这几个二次根式就叫做同类二次根式．二．二次根式相加减时，先把各个二次根式__化简__，再将__同类二次根式__合并．课内精炼知识点（一）：同类二次根式1．(2022·孝感)下列二次根式中，不能与eq\r(2)合并的是(C)\r(\f(1,2))\r(8)\r(12)\r(18)2．下列各式中与eq\r(3)是同类二次根式的是(C)\r(24)\r(\f(2,3))\r(27)\r3．如果最简二次根式eq\r(3a－8)和eq\r(17－2a)是同类二次根式，那么a＝__5__．知识点（二）：二次根式的加减4．下列计算正确的是(C)A．4eq\r(3)－3eq\r(3)＝1\r(2)＋eq\r(3)＝eq\r(5)C．2eq\r(\f(1,2))＝eq\r(2)D．3＋2eq\r(2)＝5eq\r(2)5．(2022·哈尔滨)计算：eq\r(12)－eq\r(3)＝__eq\r(3)__．6．计算：(1)eq\r(45)－eq\f(1,4)eq\r(80)＋5eq\r(\f(1,5))－eq\f(5,3)eq\r(1\f(4,5))；解：2eq\r(5)(2)(3eq\r－6eq\r(\f(1,3)))－(2eq\r(\f(1,8))－eq\r(20)－eq\f(2,9)eq\r(27))．解：eq\r(2)－eq\f(4,3)eq\r(3)＋2eq\r(5)知识点（三）：二次根式的运算与乘法公式7．若x＝eq\r(a)－eq\r(b)，y＝eq\r(a)＋eq\r(b)，则xy的值是(D)A．2eq\r(a)B．2eq\r(b)C．a＋bD．a－b8．已知a＝2eq\r(2)＋3，b＝2eq\r(2)－3，则：(1)a＋b＝__4eq\r(2)__；(2)a－b＝__6__；(3)ab＝__－1__；(4)a2＋b2＝__34__；(5)a2－2ab＋b2＝__36__．9．计算：(1)(eq\r(2)＋eq\r(3))(eq\r(2)－eq\r(3))；解：－1(2)(eq\r(2)－eq\r(\f(1,2)))2；解：eq\f(1,2)(3)(eq\r(5)＋3eq\r(2))2.解：23＋6eq\r(10)知识点（四）：二次根式的混合运算10．(2022·台湾)算式(eq\r(6)＋eq\r(10)×eq\r(15))×eq\r(3)之值为何？(D)A．2eq\r(42)B．12eq\r(5)C．12eq\r(13)D．18eq\r(2)11．计算：eq\r(24)－eq\r(18)×eq\r(\f(1,3))＝__eq\r(6)__．12．计算：(1)(eq\r(54)－eq\r(12)＋1)÷eq\r(3)；解：3eq\r(2)－2＋eq\f(\r(3),3)(2)eq\r(45)×eq\r(\f(3,5))＋eq\r(3)(eq\r(5)－2)．解：eq\r(3)＋eq\r(15)

课时达标13．计算4eq\r(\f(1,2))＋3eq\r(\f(1,3))－eq\r(8)的结果是(B)\r(3)＋eq\r(2)\r(3)\f(\r(3),3)\r(3)－eq\r(2)14．下列计算正确的是(D)A．(2eq\r(2)－eq\r(3))(eq\r(2)＋eq\r(3))＝－1B．(2＋eq\r(5))(2－eq\r(5))＝1\r(6)÷(eq\r(2)－eq\r(3))＝eq\r(3)－eq\r(2)\f(\r(27)－\r(12),\r(3))＝eq\r(9)－eq\r(4)＝115．计算eq\r(32)×eq\r(\f(1,2))＋eq\r(2)×eq\r(5)的结果估计在(A)A．7到8之间B．8到9之间C．9到10之间D．10到11之间16．已知a＝eq\r(5)＋2，b＝eq\r(5)－2，则eq\r(a2＋b2＋7)的值为(C)A．3B．4C．5D．617．计算：(2eq\r(6)＋5)2022×(2eq\r(6)－5)2022＝__5－2eq\r(6)__．18．工厂因实际需要，用钢材焊制三个面积分别为2m2，18m2，32m2的正方形铁框，则焊工师傅需用钢材的总长度为__32eq\r(2)19．计算：(1)(2eq\r(12)－6eq\r(\f(1,18))＋3eq\r(48))×5eq\r(2)；解：80eq\r(6)－10(2)(3eq\r(18)＋eq\f(1,5)eq\r(50)－4eq\r(\f(1,2)))÷eq\r(32)；解：2(3)(2022·荆门)eq\r(24)×eq\r(\f(1,3))－4×eq\r(\f(1,8))×(1－eq\r(2))0.解：eq\r(2)20．已知a＝eq\r(7)＋2，b＝eq\r(7)－2，求下列代数式的值：(1)ab2＋a2b；解：原式＝ab(b＋a)．当a＝eq\r(7)＋2，b＝eq\r(7)－2时，原式＝6eq\r(7)(2)a2－2ab＋b2；解：原式＝(a－b)2.当a＝eq\r(7)＋2，b＝eq\r(7)－2时，原式＝16(3)a2－b2.解：原式＝(a＋b)(a－b)．当a＝eq\r(7)＋2，b＝eq\r(7)－2时，原式＝8eq\r(7)自我挑战21．阅读下列解题过程：eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\f(1×（\r(2)－1）,（\r(2)＋1）（\r(2)－1）)＝eq\r(2)－1，eq\f(1,\r(3)＋\r(2))＝eq\f(1×（\r(3)－\r(2)）,（\r(3)＋\r(2)）（\r(3)－\r(2)）)＝eq\r(3)－eq\r(2).请回答下面的问题：(1)观察上面的解题过程，请直接写出eq\f(1,\r(n)＋\r(n－1))的值；(2)利用上面的规律计算：(eq\f(1,1＋\r(2))＋eq\f(1,\r(2)＋\r(3))＋eq\f(1,\r(3)＋\r(4))＋…＋eq\f(1,\r(2022)＋\r(2022))＋eq\f(1,\r(2022)＋\r(2022)))×(1＋eq\r(2022))．解：(1)eq\f(1,\r(n)＋\r(n－1))＝eq\r(n)－eq\r(n－1)(2)原式＝(eq\r(2)－1＋eq\r(3)－eq\r(2)＋eq\r(4)－eq\r(3)＋…eq\r(2022)－eq\r(2022)＋eq\r(2022)－eq\r(2022))×(1＋eq\r(2022))＝(eq\r(2022)－1)(eq\r(2022)＋1)＝(eq\r(2022))2－12＝2022综合练习1．(2022·徐州)下列运算中错误的是(A)\r(2)＋eq\r(3)＝eq\r(5)\r(2)×eq\r(3)＝eq\r(6)\r(8)÷eq\r(2)＝2D．(－eq\r(3))2＝32．计算eq\r(48)－9eq\r(\f(1,3))的结果是(B)A．－eq\r(3)\r(3)C．－eq\f(11,3)eq\r(3)\f(11,3)eq\r(3)3．估算eq\f(\r(50)＋2\r(3),\r(2))的值在(C)A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间4．已知m＝1＋eq\r(2)，n＝1－eq\r(2)，则代数式eq\r(m2＋n2－3mn)的值为(C)A．9B．±3C．3D．5．等式eq\r(（4－x）2（6－x）)＝(x－4)eq\r(6－x)成立的条件是(B)A．x≥4B．4≤x≤6C．x≥6D．x≤4或x≥66．如果(2＋eq\r(2))2＝a＋beq\r(2)(a，b为有理数)，那么a＋b等于(D)A．2B．3C．8D．107．若a＝3－eq\r(10)，则代数式a2－6a－2的值为(C)A．0B．1C．－1\r(10)8．(2022·黔南州)实数a在数轴上的位置如图，化简eq\r(（a－1）2)＋a＝__1__．9．化简：eq\r(3)×(eq\r(2)－eq\r(3))－eq\r(24)－|eq\r(6)－3|＝__－6__．10．已知等腰三角形的两边长为3eq\r(2)和4eq\r(5)，则此等腰三角形的周长为__8eq\r(5)＋3eq\r(2)__．11．观察下列各式：eq\r(32－1)＝eq\r(2)×eq\r(4)，eq\r(42－1)＝eq\r(3)×eq\r(5)，eq\r(52－1)＝eq\r(4)×eq\r(6)，…，请写出满足上述规律的用n(n为任意自然数，且n≥3)表示的等式：__eq\r(n2－1)＝eq\r(n－1)·eq\r(n＋1)__．12．计算：(1)3eq\r(2)－2eq\r(12)－4eq\r(\f(1,8))＋3eq\r(48)；解：2eq\r(2)＋8eq\r(3)(2)(eq\r－2eq\r(\f(1,3)))－(eq\r(\f(1,32))－eq\r(75))；解：eq\f(3,8)eq\r(2)＋eq\f(13,3)eq\r(3)(3)2eq\r(12)÷eq\f(1,5)eq\r(50)×eq\f(1,2)eq\r(\f(3,4))；解：eq\f(3,2)eq\r(2)(4)(5eq\r(48)＋eq\r(12)－6eq\r(27))÷eq\r(3)；解：4(5)(eq\r(3)＋eq\r(2)－eq\r(5))(eq\r(3)－eq\r(2)－eq\r(5))．解：6－2eq\r(15)13．化简：eq\r(18)－eq\r(\f(9,2))－eq\f(\r(3)＋\r(6),\r(3))＋(eq\r(3)－2)0＋eq\r(（1－\r(2)）2).解：原式＝3eq\r(2)－eq\f(3,2)eq\r(2)－(1＋eq\r(2))＋1＋|1－eq\r(2)|＝3eq\r(2)－eq\f(3,2)eq\r(2)－1－eq\r(2)＋1＋eq\r(2)－1＝eq\f(3,2)eq\r(2)－114．对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算※如下：a※b＝eq\f(\r(a＋b),a－b)，如3※2＝eq\f(\r(3＋2),3－2)＝5.求8※12的值．解：8※12＝eq\f(\r(8＋12),8－12)＝eq\f(\r(20),－4)＝eq\f(2\r(5),－4)＝－eq\f(\r(5),2)15．已知x－1＝eq\r(3)，求代数式(x＋1)2－4(x＋1)＋4的值．解：原式＝(x＋1－2)2＝(x－1)2，当x－1＝eq\r(3)时，原式＝(eq\r(3))2＝316．已知x，y为实数，且y＝eq\r(3－x)＋eq\r(4x－12)＋1，化简(eq\r(5－x))2|y－3|－eq\r(y2－8y＋16).解：∵3－x≥0，4x－12≥0，∴x＝3，y＝1，∴原式＝(5－x)(3－y)－eq\r(（y－4）2)＝(5－x)(3－y)－(4－y)＝(5－3)×(3－1)－(4－1)＝2×2－3＝4－3＝117．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，E点在AB上，DE＝AE＝EB＝eq\r(5).求▱ABCD的周长和面积．解：∵DE⊥AB，DE＝AE＝eq\r(5)，∴AD＝eq\r(AE2＋ED2)＝eq\r(（\r(5)）2＋（\r(5)）2)＝eq\r(10).∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD＝eq\r(10)，DC＝AB＝2eq\r(5).∴▱ABCD的周长为AD＋DC＋CB＋AB＝2(eq\r(10)＋2eq\r(5))＝2eq\r(10)＋4eq\r(5).▱ABCD的面积为AB×DE＝2eq\r(5)×eq\r(5)＝1018．已知a－b＝eq\r(5)＋eq\r(3)，b－c＝eq\r(5)－eq\r(3).(1)求a－c的值；解：a－c＝(a－b)＋(b－c)＝2eq\r(5)(2)求a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值．解：a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝eq\f(1,2)[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]＝1819．已知等式|a－2022|＋eq\r(a－2022)＝a成立，求a－20222的值．解：∵a－2022≥0，∴a≥2022.∴|a－2022|＝a－2022.∴a－2022＋eq\r(a－2022)＝a.∴eq\r(a－2022)＝2022.∴a－2022＝20222.∴a－20222＝202220．已知eq\r(11)－1的整数部分是a，小数部分是b，试求(eq\r(11)＋a)(b＋1)的值．解：∵3<eq\r(11)<4，∴2<eq\r(11)－1<3，故eq\r(11)－1的整数部分是2，即a＝2，∴eq\r(11)－1的小数部分是eq\r(11)－1－2＝eq\r(11)－3，即b＝eq\r(11)－3.∴(eq\r(11)＋a)(b＋1)＝(eq\r(11)＋2)(eq\r(11)－3＋1)＝(eq\r(11)＋2)(eq\r(11)－2)＝(eq\r(11))2－22＝721．观察下列等式及验证过程：eq\r(\f(1,2)－\f(1,3))＝eq\f(1,2)eq\r(\f(2,3))；eq\r(\f(1,2)（\f(1,3)－\f(1,4)）)＝eq\f(1,3)eq\r(\f(3,8))；eq\r(\f(1,3)（\f(1,4)－\f(1,5)）)＝eq\f(1,4)eq\r(\f(