材料力学讲义二二

Chapter7AnalysisofStressandStrainFailureCriteria第七章应力应变分析强度理论第七章应力和应变分析强度理论Chapter7AnalysisofStressandStrainStrengthTheories

§7-1应力状态概述(Conceptsofstress-state)

§7-2平面应力状态分析-解析法(Analysisofplanestress-state)§7-3平面应力状态分析-图解法(Analysisofplanestress-state)§7-4三向应力状态分析

(Analysisofthree-dimensionalstress-state)§7-6

广义胡克定律(GeneralizedHook’slaw)§7-7复杂应力状态的变形比能

(Strain-energydensityingeneral

stress-state)§7-8强度理论(Failurecriteria)§7-5平面应变状态分析

(Analysisofplanestrain-state)§7-9莫尔强度理论(Mohr’sfailurecriterion)

§7-1应力状态概述(Introductionofstress-state)一、应力状态的概念

(Conceptsofstresses-state)请看下面几段动画1.低碳钢和铸铁的拉伸实验（Atensiletestoflow-carbonsteelandcastiron）2.低碳钢和铸铁的扭转实验（Atorsionaltestoflow-carbonsteelandcastiron）低碳钢（low-carbonsteel）?塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁

（cast-iron）低碳钢和铸铁的拉伸?为什么脆性材料扭转时沿45°螺旋面断开？低碳钢和铸铁的扭转低碳钢（low-carbonsteel）铸铁（cast-iron）（1）拉中有剪,剪中有拉;（2）不仅横截面上存在应力,斜截面上也存在应力;

（3）同一面上不同点的应力各不相同;（4）同一点不同方向面上的应力也是各不相同3.重要结论（Importantconclusions）哪一点？

哪个方向面？应力哪一个面上？

哪一点？4.一点的应力状态（stateofstressesofagivenpoint）过一点不同方向面上应力的情况,称之为这一点的应力状态（stateofstressesofagivenpoint）,亦指该点的应力全貌.二、应力状态的研究方法（Themethodforinvestigatingthestateofstress）

1.单元体（Elementbody）（2）任意一对平行平面上的应力相等2.单元体特征（Elementcharacteristic）

3.主单元体（Principalbody）各侧面上切应力均为零的单元体（1）单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀分布3122314.主平面（Principalplane）切应力为零的截面

5.主应力（Principalstress）主面上的正应力

说明:一点处必定存在这样的一个单元体,三个相互垂直的面均为主平面,三个互相垂直的主应力分别记为1,2,3且规定按代数值大小的顺序来排列,即123

三、应力状态的分类（Theclassificationofstresses-state）1.空间应力状态（Triaxialstress-stateorthree-dimensionalstress-state）

三个主应力1,2,3

均不等于零2.平面应力状态（Biaxialstress-stateorplanestress-state）

三个主应力1,2,3中有两个不等于零3.单向应力状态（Uniaxialstress-stateor

simplestress-state）

三个主应力1,2,3中只有一个不等于零312231221111例题1画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.

54321Fl/2l/2Fl/2l/2S平面S平面254321543211x1x1x2x222333alSF例题2画出如图所示梁危险截面危险点的应力状态单元体

xzy4321zy4321FSMzT12yxzzy4321FSMzTxzy43213例题3分析薄壁圆筒受内压时的应力状态pDyz薄壁圆筒的横截面面积pD′nn（1）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为Fmmnn直径平面（2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象p"yＯFNFNd平面应力状态的普遍形式如图所示.单元体上有x,xy

和y,yx§7-2平面应力状态分析-解析法（Analysisofplanestress-state）xxyzyxyyxxyxyyx一、斜截面上的应力（Stressesonanobliquesection）1.截面法（Sectionmethod）假想地沿斜截面e-f将单元体截开,留下左边部分的单体元eaf作为研究对象xyaxxyxxyefnefaxxyyxyαααnαxyaxxyxxyefn（1）由x轴转到外法线n,逆时针转向时为正（2）正应力仍规定拉应力为正（3）切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转为正2.符号的确定（Signconvention）efaxxyyxyαααnαt设斜截面的面积为dA,a-e的面积为dAcos,a-f

的面积为dAsinefaxxyyxyαααnαefaαdAdAsindAcos3.任意斜截面上的应力(Thestressactingonanyinclinedplane)

对研究对象列n和t方向的平衡方程得t化简以上窗两个平衡跑方程最后浊得不难看出即两相互越垂直面上昼的正应力胞之和保持稍一个常数二、最大茎正应力及贿方位（Maxi末mum波norm追als市tres泉san槐dit史’sd撤irec妻tion清）1.最膜大正应售力的方什位（Th续edir笼ect够ion勇of接ma抗xim倡um苦nor俯mal立st聋res刊s）令0和0+90糖°确定两般个互相宅垂直的诉平面,射一个是音最大正够应力所海在的平巨面,另关一个是女最小正炎应力所腥在的平欠面.2.最翁大正应弃力（Max楼imu发mn溉orm凶al族str时ess圣）将0和0+90屑°代入公编式得到max和min(主应乎力）下面还必字须进一步摘判断0是x与哪一拾个主应护力间的啄夹角（1）当x>y时,0是x与max之间的居夹角（2）当x<y时,0是x与min之间的皮夹角（3）当x=y时,0=45捏°,主简应力的里方向可论由单元悲体上切犬应力情唤况直观伸判断出黑来则确定接主应力锄方向的畜具体规愿则如下若约定碰|0|<4们5°即0取值在山±45穗°范围猴内二、最栏大切应方力及方宇位(Max歪imu蜻ms里hea冤rin灿gs好tre违ss澡and违it愤’s早dir渣ect惹ion布)1.最嘉大切应法力的方吴位（Thedir锈ect付ion笔of单ma亩xim较um洽she脱ari暂ngstr演ess）令1和1+90°确定两盆个互相薄垂直的辽平面,剧一个是守最大切响应力所犬在的平锣面,另马一个是捷最小切吓应力所则在的平各面.2.最大垃切应力（Maxi截mum眠shea献ring皱str相ess）将1和1+90问°代入公式得到max和min比较和可见例题4流简校支梁如称图所示嫂.已知m-m截面上A点的弯钓曲正应响力和切者应力分画别为=-70MPa,=50MPa.确定A点的主康应力及硬主平面乘的方位模.AmmalA解：把从A点处截衣取的单够元体放双大如图因为x<y，所以0=27.胃5°与min对应xAA01313xyxy例题5图示单叶元体,培已知x=-40MPa,y=60MPa,xy=-50M元Pa.试求e-f截面上将的应力脚情况及巡寿主应力值和主单违元体的榨方位.n30°ef解:（循1）求e-f截面上伙的应力（2）求主应掀力和主德单元体芹的方位因为x<y,所以0=-22.慢5°与min对应xyxy22.5°13解:（己1）求主亩平面方位因为x=y,且x>0例题6凑求浇平面纯剪碍切应力状娘态的主应册力及主平尼面方位.xy所以0=-45°乏与max对应45°（2）求测主应力1=,2=0并,3=-13§7-3平面应力密状态分析低-图解法(Ana丘lysi毙sof陷pla冶nes露tres副s-st披ate劫withgrap贼hica吼lme垫ans)一、莫贷尔圆（Moh俘r’s于circ男le）将斜截哥面应力丙计算公鸽式改写县为把上面叫两式等鲜号两边惧平方,挑然后相狐加便可翠消去,得因为x,y,xy皆为已知伟量,所以色上式是一恳个以,为变量的圆周方程钢.当斜截倡面随方位画角变化时胖,其上刚的应力,在-直角坐标其系内的轨羊迹是一个结圆.1.圆框心的坐堤标（Co陡ord股ina碑te馅of盗ci歇rcl竭ec傍ent例er）2.圆的粮半径（Radi谣uso利fci对rcle坛）此圆习介惯上称课为应力圆（pl包ane隙stre希ssc糠ircl懂e）,或称为莫尔圆（Mo赤hr’般sc哄irc姥le）（1）建-坐标系,院选定比例值尺Ｏ二、应写力圆作婶法（The宴met妄hod箩for伍draw迈ing筹ast帮ress企cir惜cle）1.步骤（St哀eps削）xyxxyxxyyyDxyO（2）镇量取OA=冈xAD=xy得D点xyxxyxxyxAOB=链y（3）蓄量取BD′=累yx得D′点yByxD′（4）连帝接DD′两点的余直线与轴相交丧于C点（5）以C为圆心,CD为半径帅作圆,该圆就是鞠相应于该辨单元体的疼应力圆C（1）该轮圆的圆心C点到旨坐标原烦点的赏距离为（2）该赤圆半径为DxyOxAyByxD′C2.证明(Pro骆ve)三、应力疾圆的应用（App见lica症tion仓of严stre培ss-c竟ircl骄e）1.求餐单元体膏上任一截面上的贼应力（De梯ter顶min闪et担he钥str盆ess标es孔on孟any店in撒cli龟ned晃pl毛ane微by遥us夜ing贿st根res晚s-c唱irc倍le）从应力松圆的半涌径CD按方位角的转向井转动2得到半然径CE.圆周上E点的坐标何就依次为掌斜截面上质的正应力和切应旗力.DxyOxAyByxD′C20FE2xyaxxyxxyefn证明：（1）潜点面之守间的对炭应关系宁:单元朱体某一倒面上的劣应力,辆必对应紧于应力纠圆上某栏一点的续坐标.说明AB（2）皂夹角关信系:圆素周上任巧意两点替所引半呈径的夹沫角等于弃单元体缠上对应往两截面钥夹角的疾两倍.驻两者的屡转向一顷致.2OCBA2.求主伴应力数值显和主平面眠位置（Det闸ermi亚nep末rinc桶iple押str蜡ess首and说the关dire桥ctio盾nof锈pri法ncip冲lep凡lane距by酒usin浩gst戴ress誉cir家cle）（1）巾主应力逝数值A1和B1两点为与株主平面对应的麻点,其旦横坐标厦为主逗应力1,212DxyOxAyByxD′C20FE2B1A120DxyOxAyByxD′C12A1B1（2）主继平面方位由CD顺时针转肌20到CA1所以单元湿体上从x轴顺时针简转0（负值）即到1对应的主平面的查外法线0确定后,1对应的主平面房诚方位即序确定3.求肝最大切雷应力（Det粘ermi升nemaxi东mum裙shea退ringstr钻ess葛b们yu紫sin些gs棋tre魔ss厨cir爸cle艇）G1和G两点的失纵坐标妇分别代茎表最大携和最小旷切应力20DxyOxAyByxD′C12A1B1G1G2因为最大、最鼻小切应力布等于应力珠圆的半径O例题7锻从水叔坝体内软某点处直取出的炕单元体题如图所谢示,x=-观1MP挺a,y=-特0.4M芬Pa,xy=-呈0.扒2MP阔a,yx=0.绍2MPa插,（1）绘堆出相应的荡应力圆（2）早确定此间单元体杂在=30叠°和=-4扫0°两根斜面上五的应力山.xyxy解:（桂1）画骄应力圆量取OA=x=-粘1,AD=xy=-俱0.草2,定勿出D点;ACBOB=y=课-0隆.4和眉，BD′=yx=0级.2搅,定肌出D′点.(-1,-0.2)DD′(-0.4,0.2)以DD′为直苍径绘出变的圆即巧为应力还圆.将半径CD逆时针转笼动2=6凤0°到渠半径CE,版E点的坐慢标就代扩表=3棵0°斜椒截面上规的应力奥。（2）衡确定=3铁0°斜绒截面上乘的应力E60°（3）确铁定=-卷40°斜厘截面上的断应力将半径CD顺时针碎转2=80嘱°到半径CF,腊F点的坐标杂就代表=-选40°斜销截面上的标应力.F80°AD′CBOD

30°40°

40°30°30°=-0.36MPa30°=-0.68MPa40°=-0.26MPa-40°=-0.95MPa例题8故两端渗简支的昌焊接工缴字钢梁访及其荷嘴载如图认所示,则梁的横台截面尺姥寸示于婚图中.弯试绘出拢截面C上a,润b两点处卡的应力子圆,并禽用应力献圆求出隐这两点盲处的主乐应力.12015152709zab250kN1.6m2mABC+200kN50kN+80kN·m解:（1）首车先计算支糕反力,萌并作出梁的剪力辩图和弯矩矛图Mmax=MC=8请0k蒙N·mFSma警x=FC左=2竞00淡kN250KN1.6m2mABC12015152709zab（2）敢横截面C上a点的应演力为a点的单顶元体如兴图所示axxxyyx由x,xy定出D点由y,yx定出D′点以DD′为直径作惊应力圆OC（3）做谱应力圆x=122各.5M篇Pa,xy=64.败6MP匙ay=0,xy=-64.宅6MP速aAB(122.5,64.6)D(0,-64.6)D′A113A2A1,A2两点的忧横坐标惰分别代表a点的两打个主应俭力1和3A1点对应悟于单元累体上1所在的径主平面axxxyyx01312015152709zab（4）横令截面C上b点的应到力b点的单元惕体如图所拜示bxxb点的三染个主应芝力为1所在的主弟平面就是x平面,淹即梁萝的横截衫面Cbxx(136.5,0)D(0,0)D′1已知受力物深体内某瓜一点处姜三个主睡应力1,2,3利用应械力圆确展定该点旨的最大垄正应力芝和最大芝切应力.一、言空间应眼力状态前下的最救大正应蹲力和最间大切应锣力(th趣em港axi冶mum凉no严rma梢ls蓬tre央ss镰and滩sh饿ear骗st债res尝si叫nthre榆e-di圈mens资iona涂lst梁ress帮-sta果te)§7-首4三向应夏力状态瘦分析（an惰aly板sis染of舅th种ree枝-di中men亭sio泳nal没st庭res押s-s稍tat漂e）31223113首先研虹究与其淘中一个刑主平面肝（例器如主应充力3所在的暴平面）决垂直的砖斜截面椅上的应大力122用截面法践,沿求应绵力的截面将大单元体匆截为两晋部分,取左下毅部分为已研究对旧象21主应力3所在的两后平面上是疫一对自相沈平衡的力孙,因而该津斜面上的洗应力,缺与3无关,同只由萍主应力1,2决定与3垂直的斜粉截面上的闻应力可由1,2作出的应斗力圆上的邮点来表示123321该应力猎圆上的洗点对应风于与3垂直的所逮有斜截面娱上的应力A1O2B与主应戴力2所在主称平面垂劝直的斜耍截面上围的应力,可用由1,3作出的抄应力圆叶上的点库来表示C3与主应着力１所在主平北面垂直的絮斜截面上诵的应力,可用由2,3作出的应休力圆上的单点来表示该截面上杂应力和对应的D点必位进于上述呀三个应夜力圆所弹围成的段阴影内abc截面表类示与三浸个主平面斜交搅的任意疑斜截面abc12123A1O2BC3结论三个应女力圆圆侮周上的拼点及由供它们围休成的阴亏影部分饰上的点盖的坐标碌代表了留空间应顷力状态递下所有持截面上招的应力该点处墨的最大童正应力雨（指代曾数值）朗应等于拢最大应围力圆上A点的横基坐标1A1O2BC3最大切足应力则授等于最辉大的应要力圆的票半径最大切肌应力所匆在的截解面与2所在的亩主平面可垂直,推并与1和3所在的主扶平面成4方5°角.例题9们单元犁体的应力酬如图所示价,作应力王圆,并寺求出主应池力和最大校切应力值奶及其作用渐面方位.解:该单元体堵有一个已零知主应力因此与泄该主平样面正交社的各截横面上的撑应力与游主应力z无关,科依据x截面和y截面上的途应力画出个应力圆.求另外两税个主应力40MPaxyz20MPa20MPa20MPa由x,xy定出D点由y,yx定出D′点以DD′为直径唇作应力夕圆A1,A2两点的犯横坐标用分别代提表另外扶两个主宅应力1和3A1A2D′ODC131=46M荒Pa3=-26君MPa该单元典体的三遭个主应深力1=46MP尘a2=20MP掀a3=-26贺MPa根据上垃述主应剩力，作橡出三个敏应力圆§7-5平面应变柄状态分析(Ana革lysi中sof掀pla折nes底trai泛n-st呆ate)平面应宜力状态踪蝶下，已栗知一点坛的应变美分量x,y,xy，欲求方向上仔的线应僚变和切应变,可根必据弹性鸭小变形进的几何归条件,球分别找宴出微单引元体（驴长方形章）由于负已知应巩变分量x,y,xy在此方堆向上引抗起的线赵应变及充切应变锯,再利陵用叠加歪原理.一、任意搂方向的应骄变(The兼stra甚ino症fa灵nyd六irec亚tion门）在所研究顿的O点处,Oxy坐标系岩内的线太应变x,y,xy为已知.野求该点沿杰任意方向旨的线应变.yxO将Oxy坐标绕O点旋转一解个角，得到崇一个新Ox'y'坐标系.xyOy'x'并规定角以逆洒时针转虽动时为形正值，容反之为连负值.为O点沿x'方向的械线变为直角x'Oy'的改变虽量,即腰切应变漂.假设:（1）O点处沿仿任意方改向的微段内,眨应变是均虚匀的;（2）变拦形在线弹失性范围内霸都是微小旦的,叠办加原理成鸣立;分别计算x,y,xy单独存充在时的誉线应变和切应变,然后叠制加得这些淋应变分量伴同时存在否时的和.1.推雄导线应扮变（De刘rive颗thelin脏ear蓄st亭rai臂n）从O点沿x′方向取出惯一微段OP=dx′,并以它作趋为矩形OAPB的对角线问.该矩形的含两边长分慨别为dx和dyxyOy'x'PABdxdydx'（1）汉只有正炎值x存在ABdxdyxyOy'x'P假设OB边不动,母矩形OAP雀B变形后成受为OA'P'BxdxD的伸长量为O点沿x'方向的毕线应变1为A'P'（2）教只有正锤值y存在ABdxdyxyOy'x'P假设OA边不动矩形OAP返B变形后为OAP"B'的伸长量为D'O点沿x'方向的线横应变2为ydyP''B'（3）寨只有正辟值切应伶变xy存在ABdxdyxyOy'x'P使直角脏减小的为正假设OA边不动矩形OAPB变形后罩为OAP"'B"P'''B''γxydyγxy的伸长为D''O点沿x′方向的毅线应变火为根据叠加夸原理,x,y和xy同时存两在时,O点沿x´方向的线毫应变为2.切疯应变（Sh司ear牧ing刑st暴res犁s）以上两胶式利用修三角函奴数化简展得到二、主鸡应变数川值及其京方位(Th仰ep乏rin指cip现al黑str涂ain掏sa吹nd嚼it’梅sd布ire震cti附on)一、各慰向同性作材料的急广义胡盯克定律（Ge误ner小ali奸zed盖Ho使oke胸’s期law毛fo旬ri倦sot忧rop斤ic爱mat尖eri朵als余）（1）欢正应力:充拉应力为总正,压纳应力为负1.符号猎规定(Si提gn盆con享ven屠tio店n)（2）园切应力:度对单元体榴内任一点妻取矩,若稳产生的矩乌为顺时针焰,则τ为正;反聋之为负（3）密线应变:缘瑞以伸长为价正,缩皆短为负;（4）竹切应变:加使直角减柳者为正,开增大者潮为负.xx§7-抄6广义胡克定律(Ge狸ner笨ali典zed江Ho估oke剧’s厨law粪)yzyxyyxzyyx方向的柳线应变用叠加原赴理,分别悬计算出x,y,z分别单独棍存在时,x,y,z方向的剧线应变x,y,z,然后代都数相加.2.各向恭同性材料表的广义胡律克定律（Gen裤eral慎ized涂Hoo节ke’s亦law台for刊iso扰trop烈icm斥ater什ials愈）单独存在时单独存在时

单独存在时xyyzzzxx在x,y,z同时存乞在时,x方向的线症应变x为同理,在x,y,z同时存在认时,y,则z方向的权线应变印为在xy,yz,zx三个面内模的切应变漠为上式称为广义胡克威定律（Ge棉ner挡ali怜zed尘Ho笔oke还’s粉law暮）——沿x,y,z轴的线应变——在xy,yz,zx面上的角应变对于平面应力局状态（in科pla县ne科str服ess歌-st缸ate）（假设z=0,xz=0,yz=0箩）xyzxyxyyxxyxyyx3.主葵应力-之主应变牧的关系（Pri览ncip乒als堂tres绪s-pr夹inci翁pal晓stra侨inr怪elat躁ion）二向应力救状态下(in功plan收est衰ress避-sta垫te)设3=0已知1,2,3;1,2,3为主应惨变二、各向规同性材料粮的体积应防变（The剧volu不metr颤ics梯trai尺nfor扒is畏otr垂opi循cm圾ate蜜ria镇ls）123a1a2a3构件每撑单位体樱积的体挽积变化危,称既为体积扑应变用q表示.各向同性到材料在三缓向应力状润态下的体该应变如图所示替的单元体涨,三个边增长为恒dx,dy,dz变形后串的边长帖分别为变形后阿单元体燃的体积伴为dx(1+,dy(1+2,dz(1+3V1=dx(1+·dy(1+2·dz(1+3体积应变（vol通umet偿ric佛stra针in）为1.纯肌剪切应伍力状态腔下的体俯积应变（Vo铲lume连tric呜str雅ain驾for家pure究she区arin慢gst幅ress香-sta小te）即在小变姥形下,切梁应力不引柳起各向同泄性材料的矩体积改变损.2.三向穴等值应力血单元体的有体积应变（Th配ev铸olu况met侨ric箭st知rai页nof甚tri株axi拌al-桐equ单al卧str累ess喝el集eme稼nt虑bod添y）三个主坡应力为单元体乔的体积虏应变mmm这两个单撕元体的体搞积应变相炒同mmm123dxdydz单元体的牛三个主应拌变为如果变形修前单元体忙的三个棱威边成某种乔比例,由鸡于三个棱乌边应变相萝同,则变舞形后的三苦个棱边的疫长度仍保伟持这种比莫例.所亡以在三向解等值应力m的作用下铸,单元体变颗形后的形状和变形前的相似,称这幅样的单元体是形状不驻变的.在最一圈般的空巴间应力袍状态下朱，材料碰的体积荡应变只面与三个唤线应变x,y,z有关,仿只照上述推约导有在任意事形式的深应力状济态下,重各向帽同性材棋料内一社点处的葬体积应开变与通狸过该点掀的任意距三个相德互垂直焦的平面娃上的正引应力之预和成正跨比,恋而与切趋应力无墓关.例题10边长a=0乞.1m的铜立祥方块,菌无间隙携地放入苦体积较出大,变刚形可略绝去不计睁的钢凹冶槽中,词如图所贯示.写已知铜促的弹性析模量E=10瞎0GPa,泊松比μ=0.3腊4,当受到F=30刑0kN的均布压仰力作用时法,求该铜拥块的主应晌力,体积飞应变以及涨最大切应圾力.解:铜挺块横截谁面上的息压应力aaaFzyxzxy铜块受力嗽如图所示变形条件艰为解得铜块的雕主应力截为最大切魔应力体积应变总为例题11亭一直径d=20m唯m的实心芦圆轴,在腥轴的的两凡端加扭矩Me=126傅N·m.之在轴的表视面上某一昼点A处用变伏形仪测舌出与轴喂线成-45°垒方向的应乒变=5.粥01赌0-4,试求此肥圆轴材杯料的剪逼切弹性侦模量G.MeMeA45°x解:围绕A点取一单菌元体A13

-45°ADdyMeKx例题12智壁厚d=10塞mm,外径D=60mm的薄壁派圆筒,商在表梁面上K点与其抓轴线成纪45°和13业5°角,即x,y两方向谣分别贴沉上应变晶片,然蜂后在圆猫筒两端嗓作用矩懂为Me的扭转巴力偶,想如图所糊示,已灿知圆筒盲材料的写弹性常嗽数为E=20线0GPa和m=0.乡丰3,若该圆筒朴的变形在姜弹性范围异内,且max=10昏0MPa航,试求K点处的增线应变x,y以及变怎形后的葛筒壁厚携度.解:从圆咳筒表面K点处取班出单元丙体,售其各面着上的应柔力分量脾如图所炸示可求浪得DdyMeKx

-45°xyk13maxmaxKK点处的船线应变x,y为（压应疮变）（拉应变渠）圆筒表客面上K点处沿牙径向匪（z轴）的卖应变和树圆筒中蝴任一点值（该点佣到圆筒鸟横截面转中心的坦距离为）处的侍径向应逃变为因此,势该圆筒宁变形后圈的厚度虹并无变祸化,仍议然为d=10m捐m.bhzb=50m专mh=10吵0mm例题13超已知矩形讲外伸梁受凳力F1,F2作用.许弹性翁模量E=20黑0GP铃a,泊团松比=0.锋3,F1=100益KN,F2=100段KN.求:（1吼）A点处的恨主应变1,2,3（2）A点处的话线应变x,y,zaAF1F2F2l解:厕梁为拉竭伸与弯严曲的组未合变形钓.A点有拉伸牙引起的正船应力和弯英曲引起的政切应力.（拉伸）（负）Ax=20x=30（1）A点处的主屠应变1，2，3（2）A点处的线狂应变x,y,z例题14胆简山支梁由1奔8号工字惨钢制成.笼其上作朋用有力F=1镜5kN涨,已载知E=20粱0GP永a,=0.喂3.0.50.50.2锐5FA0°45°90°求：A点沿0°

,45°,90°方向的线应变h/4解:yA,Iz,d查表得牵出为图示面积对中性轴z的静矩zAh/4AA

=50.8A

=68.80.5F13500.50.25A0°45°90°h/4AA

=50.8A

=68.8§7-7复杂应力果状态的应数变能密度(Str喊ain氧-en布erg缴yd胁ens合itying撑ener退als杯tres宫s-st逗ate)一、应变苏能密度的佳定义(Def秃ini扶tio霞no法fStra蔑in-e取nerg先yde兔nsit番y)二、应变腊能密度的寺计算公式(Calc嗽ulat笑ion来form并ula丛forStr还ain班-en堂erg窄yd贱ens宵ity剖)1.单肃向应力浩状态下欣,物体循内所积赏蓄的应增变能密映度为(St催rai络n-e蝇ner桑gy耽den河sit押yf趟or海sim扶ple披st仓res捷s-s蓝tat舒e)物体在问单位体匙积内所政积蓄的犁应变能荷.将广义胡碧克定律代初入上式,速经整理蜡得用vd表示与殊单元体敬形状改民变相应途的那部叼分应变祥能密度茫,称为畸变能密蔽度（the挠st泡rai夜n-e洪ner裕gy嚷den吸sit较yc夸orr窃esp盯ond静ing袄to振th壮ed持ist宫ort隆ion度.）用vV表示单庆元体体剑积改变牲相应的拐那部分苍应变能雪密度,壁称为体积改海变能密部度（the阿stra柳in-e昨nerg本yde盼nsit慰ycorr讲espo宫ndin捞gto谊thevolu朵metr骡ic）2.三个绘主应力同激时存在时爷,单元体世的应变能加密度为(St娱rai杠n-e方ner拢gy醋den牌sit负yf圣or恶sim师ple薪st差res支s-s建tat犁e)应变能写密度vε等于两部钳分之和(a)123(b)mmm=(1+2+3)/3代之以m图（a）妹所示单元傅体的三个借主应力不之相等,因羡而,变形胖后既发生显体积改变靠也发生形据状改变.图（b）射所示单元监体的三个复主应力相衰等,因而吉,变形后辩的形状与辜原来的形洲状相似,段即只发生致体积改变往而无形状龄改变.图b签所示单元缎体的体积罗改变比能访密度a单元真体的比宅能为a所示兴单元体梨的体积株改变比副能空间应力侧状态下单背元体的畸变能密援度(a)123一、强度理肝论的概桐念（Co我nce困pts系of禾fa厚ilu夫re功cri地ter材ia)1.引借言(in巴tro哨duc散tio票n)§7-8强度理带论(Th求ef锹ail娘ure猛cr心ite西ria愤)轴向拉压弯曲剪切扭转弯曲

切应力强度条件（strengthconditionforshearstress）

正应力强度条件（strengthconditionfornormalstress）（2）狱材料的费许用应棵力,是通过心拉（压挖）试验德或纯剪试验测焦定试件在破坏自时其横截决面上的极犹限应力,烧以此极限碧应力作为梨强度指标饭,除以适佳当的安全垂因数而得鸡,即根据歌相应的试验结果而建立的强出度条件.上述强扒度条件道具有如他下特点（1）危出险点处于坐单向应力距状态或纯伴剪切应力宇状态;2.强叮度理论巴的概念(Con遥cept恢sfo翁rfa菊ilur笨ecr陵iter勒ia)是关于秧“构件胶发生强将度失效锤起因”刚的假说.基本观点构件受雄外力作恼用而发交生破坏站时,不短论破坏台的表面侍现象如星何复杂约,其破倦坏形式慢总不外煤乎几种网类型,铲而同一牵类型的稀破坏则梢可能是炒某一个祖共同因芝素所引鸣起的.根据材料棒在复杂应览力状态下瘦破坏时的愉一些现象享与形式绪,进行分弹析,提出观破坏原因趁的假说.杯在这些假泡说的基础亮上,可利武用材料在愉单向应力挽状态时的试验结韵果,忠来建萍立材料拦在复杂应力混状态下的盾强度条件废.（1）脆兽性断裂馒:无明显著的变形下旱突然断裂纪.二、材旺料破坏蛮的两种颂类型（习常温、甩静载荷买）(Two打fai兵lure盼typ犁esf付orm摔ater定ials皱in塑norm谈alt畜empe协ratu倘reand盐st传ati阻cl上oad沉s)屈服失效（Yie绍ldi凤ng淋fai都lur卫e）材料出现临显著的塑亮性变形而责丧失其正游常的工作旬能力.2.奔断裂失蓄效（Fr雹act勿ure王fa琴ilu袍re）（2）韧涂性断裂付:产生大糊量塑性变湿形后断裂终.引起破坏的某一共寇同因素形状改变比能最大切初应力最大线应同变最大正殊应力2.马里奥特摇关于变形软过大引起麻破坏的论啄述,是第摧二强度理赵论的萌芽;3.杜奎特（C.D顾ugue具t）提出了最钳大切应力芹理论;4.麦克斯哲威尔最昂早提出铅了最大喝畸变能摸理论,悬这是后丑来人们导在他的贡书信出忍版后才届知道的读.三、四给个强度压理论（Fo呜ur据fai睬lur留ec声rit介eri粘a）1.伽利脱略播下了支第一强度找理论的种蠢子;（1）竭第一银类强度径理论—以脆断作附为破坏的丸标志包括:帖最大拉去应力理胶论和最演大伸长膨线应变真理论（2）羞第二类补强度理暴论—以央出现屈梳服现象扮作为破产坏的标瓶志包括:最伍大切应力眼理论和形利状改变比古能理论根据:阳当作用近在构件年上的外偶力过大额时，其钻危险点狼处的材稍料就会年沿最大侨拉应力拜所在截阅面发生立脆断破油坏.1.知最大拉秧应力理纲论（第之一强度阿理论）（Max愤imum申-nor沟mal-善stre钓ssc钢rite慢rion狐）基本假贡说:最季大拉应怠力1是引起材蛙料脆断破及坏的因素殖.脆断破乳坏的条驾件:1=b四、第一券类强度理伞论（Th困ef黑irs离t注typ梯es亲of庸fai隐lur笋ec伪rit嚼eri桌a）强度条件府:1[2.最大夸伸长线际应变理乏论（第银二强度柳理论）（Max隙imum执-nor低mal-爬stra盯inc煮rite促rion蜂）根据:当作用在破构件上的阳外力过大西时,其危彻险点处的画材料就会适沿垂直于宇最大伸长征线应变方昂向的平面每发生破坏垄.基本假吓说:最毒大伸长界线应变1是引起材曲料脆断破址坏的因素绣.脆断破经坏的条压件:最大伸蹦长线应巴变:强度条糕件:1.最大钱切应力理拣论（蹈第三强度驳理论）（Ma孙ximu岛m-sh仆ear-索stre肾ssc泪rite灯rion你）基本假说凳:最大日切应力max是引起材鼻料屈服的灯因素.根据:当咽作用在构资件上的外油力过大时侄，其危险勒点处的材就料就会沿矩最大切应诱力所在截航面滑移而箩发生屈服舌失效.屈服条件五、第允二类强晃度理论（The英sec宜ond隙type蛾sof穷fai询lure顽cri瞎teri动on）在复杂狭应力状哭态下一猾点处的候最大切慰应力为强度条件2.畸变康能密度理窄论（第四疯强度理论凭）（Ma虽xim谜um-吊dis扔tor涂tio健n-e猎ner完gy絮cri沟ter金ion延）基本假邀说:畸灭变能密浇度vd是引起塌材料屈辟服的因密素.单向拉刚伸下,1=s,2=3=0,材料的感极限值强度条件铅:屈服准水则:六、相当贼应力（Equ姐ival济ent室str蔬ess）把各种强繁度理论的集强度条件糊写成统一绒形式r称为复蔑杂应力寒状态的相当应力落.莫尔认为构:最大切泉应力是使季物体破坏辨的主要因朵素,但滑土移面上的占摩擦力也鼓不可忽略宝（莫尔摩兆擦定律）谦.综合最挽大切应力担及最大正私应力的因插素,莫尔浅得出了他矛自己的强膝度理论.§7-9莫尔强度洗理论（Mo派hr’居sf寇ail昌ure膏cr玩ite眠rio念n）一、引言（Int玩rodu艰ctio彩n）二、莫嫁尔强度饲理论（Moh连r’s泰fail以ure报crit江erio乌n）公式推贫导MO2OO1O3FNTL[c][t]1M´L´T´代入强度条件任意一系点的应险力圆若匀与极限爸曲线相接触绳,则材给料即将窄屈服或阳剪断.1.适用欢范围（Th撕ea炎ppl叹ian穷ce瓶ran扣ge）（2）塑薯性材料选扶用第三或择第四强度勤理论;（3）在号二向和三粮向等拉应颤力时,无饲论是塑性末还是脆性速都发生脆性破坏盈,故选用协第一或第烟二强度理浸论;三、各障种强度理论笑的适用范围及其应用（Th剃ea躲ppl眯ian柳ce捐ran欠ge涉and剪ap准pli渠cat功ion捉fo是ra厦ll础fai沸lur兔ec片rit久eri刘a）（1）国一般脆霉性材料检选用第情一或第睛二强度虫理论;（4）在府二向和三速向等压应嚷力状态时堪,无论是是塑性还是拖脆性材料都发虑生塑性泥破坏,穷故选用摊第三或兰第四强贱度理论史.2.强保度计算久的步骤（St纵eps遮ofstre介ngth硬cal辣cula俊tion绪）（1）外俘力分析:确定所需比