材料力学讲义三八

材料力学讲授:顾志荣同济大学航空航天与力学学院

顾志荣第八章弯曲变形

材料力学回顾：弯曲内力——在外力作用下，梁的内力沿轴线的变化规律。弯曲应力——在外力作用下，梁内应力沿横截面高度的分布规律。

本章:

弯曲变形——在外力作用下，梁在空间位置的变化规律。第八章弯曲变形

研究弯曲变形的目的（1）刚度计算；（2）解简单的超静定梁。本章的基本内容：一、弯曲变形的量度及符号规定；二、挠曲线及其近似微分方程三、计算弯曲变形的两种方法

(1)积分法(2)叠加法四、刚度条件提高梁弯曲刚度的措施五、用变形比较法解简单的超静定梁。第八章弯曲变形

一、弯曲变形的量度及符号规定第八章弯曲变形

梁的挠度和转角ypxcw1、度量弯曲变形的两个量：（1）挠度：梁轴线上的点在垂直于梁轴线方向的所发生的线位移ω称为挠度。（工程上的一般忽略水平线位移）（2）转角：梁变形后的横截面相对于原来横截面绕中性轴所转过的角位移θ称为转角。第八章弯曲变形/一、弯曲变形的量度及符号规定

梁的挠度和转角ypxcw（2）挠度的符号规定：向上为正，向下为负。2、符号规定：（1）坐标系的建立：坐标原点一般设在梁的左端，并规定：以变形前的梁轴线为x轴，向右为正；以y轴代表曲线的纵坐标（挠度），向上为正。（3）转角的符号规定：逆时针转向的转角为正；顺时针转向的转角为负。W（-）θ（-）第八章弯曲变形/一、弯曲变形的量度及符号规定

第八章弯曲变形

二、挠曲线及其近似微分方程1、挠曲线：在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线在弯曲平面内成为一条曲线，这条曲线称为挠曲线。轴线纵向对称面FqM弯曲后梁的轴线（挠曲线）第八章弯曲变形/二、挠曲线及其近似微分方程

MAB＝MCD＝0MBC＝const答案D2、挠曲线的特征：光滑连续曲线(1)2、挠曲线的特征：光滑连续曲线(2)FA＝0FB＝0MCD＝const答案DABCD2、挠曲线的特征：光滑连续曲线(3)

pplpplpplpplFA＝0pplABCDMBD＝constFB＝P答案C力学公式数学公式1＝MEI纯弯曲横力弯曲（l／h＞5）1（x）M（x）EI＝＝1（x）d2wdx2[1+(dwdx)2]3/2＋－3、挠曲线的近似微分方程(1)曲率与弯矩、抗弯刚度的关系小挠度情形下此即弹性曲线的小挠度微分方程横力弯曲1（x）M（x）EI＝max＝（0.01－0.001）l；(ddx)2<<1＝1（x）d2dx2[1+(ddx)2]3/2＋－MEI＝d2dx2＋－（x）2owxMM选取如图坐标系，则弯矩M与恒为同号(2)挠曲线近似微分方程符号及近似解释MEI＝d2dx2（x）近似解释：（1）忽略了剪力的影响；（2）由于小变形，略去了曲线方程中的高次项。22(3)选用不同坐标系下的挠曲线近似微分方程＝d2dx2M(x)EIM(x)EI＝d2dx2第八章弯曲变形

三、计算弯曲变形的两种方法1、积分法——基本方法利用积分法求梁变形的一般步骤：（1）建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求支座反力，分段列弯矩方程；分段的原则:①凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；②凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；③中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间的相互作用力，故应作为分段点；第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

(2)分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分两次对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：再积分一次，得挠曲线方程：第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

(3)利用边界条件、连续条件确定积分常数

①积分常数的数目——取决于的分段数

M(x)——n段积分常数——2n个举例：分2段，则积分常数2x2=4个第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

②积分常顷数的确定梦——边界器条件和连提续条件：边界条件：梁在其巾支承处宁的挠度彩或转角躬是已知桌的，这斜样的已息知条件邪称为边州界条件疾。连续条鉴件：梁的挠甘曲线是横一条连绸续、光关滑、平洲坦的曲筋线。因甚此，在那梁的同潮一截面余上不可腔能有两坊个不同保的挠度悄值或转蓬角值，通这样的换已知条呆件称为侵连续条故件。边界条件积分常言数2n个=2n个连续条件第八章肥弯曲变形/三、计袖算弯曲慢变形的鸟两种方虫法边界条创件：连续条件射：例题：后列出图刷示结构监的边界两条件和跃连续条电件。第八章足弯曲策变形/三、计算效弯曲变形壤的两种方柏法例题：列交出图示结损构的边界扩条件和连励续条件。解：边锦界条件紫：连续条秧件：第八章货弯曲变形/三、计研算弯曲旷变形的折两种方巷法④积分常但数的物理荷意义和几定何意义物理意义塑：将x=送0代入转赶角方程和裁挠曲线方猴程，得即坐标原播点处梁的捉转角，它切的EI倍就是积茄分常数C；即坐标倒原点处逼梁的挠所度的EI倍就是积蜻分常数D。几何意义良：C——父转角爽D——鸦挠度(4)搅建立转册角方程避和挠曲铺线方程储；(5)计开算指定截业面的转角搁和挠度值秩，特别注棵意邻和乒及锐其所在截仆面。第八章欠弯曲衬变形/三、计算史弯曲变形酱的两种方蜜法AqBL例题悬臂梁受力如图所示。求和。X``yx取参考总坐标系英Axy蹲。解：1、列律出梁的公弯矩方掉程2、积分一姨次：积分二厨次：（1）（2）第八章怎弯曲变形/三、计庆算弯曲绒变形的茫两种方逐法3、确定沉常数C、殃D.由边界躬条件：代入（1）得：代入（2）得：代入（美1）（恢2）得孝：第八章哲弯曲伞变形/三、计身算弯曲废变形的耕两种方与法代入得：将（与C比较知：）（与D比较知：）常数C表示起始销截面的转栽角×刚度争(EI)因此常数D表示起则始截面凤的挠度岩×刚度贯(EI)第八章塘弯曲变形/三、计算球弯曲变形常的两种方透法例题一简支陡梁受力杠如图所云示。试冶求口和秋。ALFCabyx解：1、求支仍座反力x2、分段浑列出梁的壳弯矩方程BC段xAC段B第八章蔬弯曲变形/三、计巴算弯曲巨变形的痒两种方炸法BC段AC段3、确戚定常数由边界条颜件：（1）（2）由光滑哑连续条祥件：（3）（4）可解得提：第八章逆弯曲凶变形/三、计算剖弯曲变形威的两种方响法则简支梁凉的转角方滨程和挠度蔽方程为BC段AC段4、求转允角代入得：代入得：第八章浙弯曲变形/三、计算烫弯曲变形泥的两种方宰法5、求。求得的位置值x。则由解得：第八章蓬弯曲变形/三、计画算弯曲搜变形的硬两种方题法代入得：若则：在简支梁情况下，不管F作用在何处（支承除外），可用中间挠度代替，其误差不大，不超过3%。第八章杨弯曲变形/三、计算尚弯曲变形受的两种方铸法积分法求以梁变形举可例：用积鸡分法求图多示梁的披、、常、：第八章咸弯曲涂变形/三、计甜算弯曲侄变形的乏两种方姑法分段建立然弯矩方程娱：AB段：（0<x1≤帜)BC段：（）第八章泛弯曲阁变形/三、计杨算弯曲匀变形的只两种方锡法二、分段建纺立近似宾微分方排程，并乒对其积碧分两次笔：AB段悲：即：………该……套（1）……划（2）第八章闷弯曲拼变形/三、计算恶弯曲变形炕的两种方轮法BC段哥：………妥（3）…（4）第八章妇弯曲变形/三、计算规弯曲变形怖的两种方筐法三、利用边界饿条件、嫩连续条氧件确定屡积分常驻数由边界谋条件确谊定C1、D1：当当时，,由（1劈燕）式得窜C1=0购；时，,由（鼓2）式白得楼D1=0。由连续条辩件确定C2、D2：第八章誉弯曲变形/三、计算隶弯曲变形我的两种方悼法当时，,即联立水(1)、(3)式子：，当时，，即联嘴立(2泉)、(山4)式乞：即得：增D2=0第八章姜弯曲变形/三、计辛算弯曲艺变形的飞两种方鞭法四、分段建栽立转角朗方程、当挠曲线秀方程：AB段熟：…………经…………晓…（5慎）…………控…………旅（6眯）BC段岔：…………循（7）……（8）第八章阻弯曲坝变形/三、计算父弯曲变形旋的两种方淹法五．求梁蝇指定截面送上的转角性和挠度当时，由枝（5）瘦式得，由（6）警式得，当时，由（掌7）式得燥，由（8拌）式得就，第八章璃弯曲纸变形/三、计算枣弯曲变形妨的两种方底法叠加法菊前提小变形力与位移赶之间的线概性关系挠度、转主角与载荷摩（如P、q吼、M）均为违一次线袭性关系轴向位移楼忽略不计先。2、叠加哭法——简称捷方法须记住残梁在简单单荷载意作用下霉的变形传——挠舌曲线方肢程、转死角、挠兰度计算外公式。第八章低弯曲治变形/三、计算哀弯曲变形团的两种方庭法叠加法垦的两种疏处理方禽法：（1）荷谷载叠加：叠加原理朴：在小变奇形和线豆弹性范野围内，伤由几个孝载荷共身同作用悦下梁的普任一截摸面的挠开度和转慢角，应设等于每切个载荷古单独作挖用下同责一截面归产生的委挠度和奸转角的溜代数和女。第八章概弯曲敲变形/三、计算狂弯曲变形污的两种方汁法www已知：q、l、EI求：wC,B例题www例题怎样用叠加法确唱定C和wC?wwwwwwww（2）蓝逐段刚萝化法：例题:试简用叠加法脚求图示阶勺梯形变截扇面悬臂梁外自由端C的挠度由于梁的土抗弯刚度EI在B处不连续府，若由挠川曲线微分业方程积分帜求解，须玻分段进行珍，工作量城较大。可巷用叠加法还求解。假定AB段刚化，研究自由端C对截面B的相对挠度;2.解除AB段的刚化，并令BC段刚化。ABC2EIEIl/2l/2ppcBwc1)(243)2(331-=-=EIPlEIlPwcwBPMB=Pl/2ABCwc2wB悬臂梁BC由梁的变形连续条件，直线BC因AB段的弯曲变形而移位到的位置，使C点有相应的挠度将图（b敞）和（c椅）两种情有况的变形臣叠加后，乱即可求得皱自由端C的挠度这种分析丧方法叫做甜梁的逐段董刚化法。APMB=Pl/2BCwc2wBpcBwc1p

例题:用叠加法求AB梁上E处的挠度wE=wE1+wE2=wE1+wB/2wE1pwE2pwB=?wB=wB1PPpl+wB2+wB3WB2=CC'WB3=C‘C''第八章戚弯曲变形四、刚度条葬件氧提高悬梁弯曲德刚度的和措施刚度条件废：[w]——许鸡用挠度，替[]—戒—许用转钩角工程中，[w]常用祥梁的计貌算跨度l的若干分竿之一表示复，例如：对于桥掀式起重窗机梁：对于一摘般用途锄的轴：在安装腿齿轮或黎滑动轴升承处，众许用转的角为：第八章雀弯曲变形/四、刚还度条件甲提高污梁弯曲分刚度的屿措施梁的变形注除了与载嫂荷与梁的泡约束有关淹外，还取元决于以下菌因素：材料——梁的岗变形与弹旋性模量E壶成反比；截面——梁的变形与截面的惯性矩成反比；跨长——梁竞的变形国与跨长奖l的n余次幂成淋正比第八章恩弯曲变形/四、刚揪度条件父提高鱼梁弯曲采刚度的意措施(1)减掀小跨度，刮增加支座面，或加固科支座。例如受q敞作用的简笔支梁：方法：增加支座仔：LABqLABq第八章枣弯曲忠变形/四、刚脑度条件递提高然梁弯曲里刚度的区措施加固支向座：LABqLABq(2)选用合理截面，。常采用工忌字形、箱爪形截面，周以提高惯个性矩。与跑强度不同拿的是要提高全梁枕或大部分督梁的惯性众矩，才能漫使梁的变狮形有明显植改善。(3)合理安排载荷作用点，以降低。方法：使载荷犁尽量靠今近支座婶，载荷培大多数躺由支座旬承担。坟例如：AlFCa(4)手其它：因钢的E基本相箩同，所乒以材料储的杨氏漠模量对变形影响假不大。第八章抛弯曲变形五、用变指形比较法止解简单超滩静定梁1、超嚷静定的喘概念2、用变宣形比较法齐解简单超辱静定梁的租基本思想闭：(1)关解除多辣余约束赔，变超粗静定梁浇为静定言梁；(2)用灾静定梁与售超静定梁霸在解除约悠束处的变旬形比较，省建立协调昏方程；(3)通校过协调方磁程（即补续充方程）黎，求出多热余的约束翁反力。3、简彻单超静再定梁求纷解举列氏。第八章税弯曲脉变形/五、用变刚形比较法宁解简单超橡静定梁超静梁—未知力离的数目多病于能列出稍的独立平驻衡方程的输数目，仅利用墨平衡方桌程不能敏解出全皂部未知院力，则肠称为超酱静定问狸题（或静不定问临题）。超静次数颗=未知力的哨数目-锯独立平衡摔方程数BqL4个约束尝反力，3个平衡济方程，静不定忆次数=励11、超多静定的脂概念第八章规弯曲困变形/五、用鹅变形比株较法解捕简单超御静定梁2、用板变形比较疲法解简单邻超静定梁渣的基本思任想：(1)柄确定超静疯定次数。(2)会选择递基本静处定梁。静定梁(酒基本静定广基)—将超静定照梁的多余盆约束解除闷，得到相约应的静定冻系统，宽该系统扮仅用静茅力平衡鸣方程就集可解出硬所有反勺力以及内力。多余约哀束—杆系在余维持平馒衡的必鸟要约束外外所存告在的多位余约束或多余觉杆件。多余约束虏的数目=跨超静定次吩数BqL多余约束聋的数目=铁1第八章叨弯曲勤变形/五、用变雾形比较法傻解简单超柏静定梁静定梁差(基本稳静定基庄)选取(2)解除A端阻止转动的支座反力矩作为多余约束,即选择两端简支的梁作为基本静定梁。BqLA(1)解除B支座的约束,以代替，即选择A端固定B端自由的悬臂梁作为基本静定梁。BqLA第八章知弯曲裙变形/五、用变邻形比较法绪解简单超坚静定梁(2)这基本巴静定基利要便于慕计算，饶即要有腹利于建贷立变形渠协调条件。一史般来说仆，求解跪变形时哥，悬臂梁坚最为简盲单，其搜次是简支梁旗，最后为帖外伸梁。基本静黑定基选罢取可遵更循的原俯则：(1)基本静定子基必须能悬维持静力购平衡，且若为几何不绕变系统；第八章扔弯曲珍变形/五、用变岁形比较法速解简单超炼静定梁ABqLBqLABqLA3、列罪出变形滩协调条泳件。比较原叮静不定张梁和静紧定基在禾解除约束处的变呆形，根据任基本静定佩梁的一切情况遭要与原她超静定佳梁完全内相同的要求，饭得到变哨形协调任条件。第八章呢弯曲变形/五、用称变形比倾较法解明简单超首静定梁本例：拜(1)4、用积耐分法或叠衰加法求变递形，并求语出多余未眨知力。仅有q作享用，B点吴挠度为：仅有作用，B点挠度为：因此解得:BqlA第八章森弯曲轨变形/五、用变锻形比较法弊解简单超照静定梁5、根据荣静力平衡脖条件在基音本静定梁懒上求出其谁余的约束月反力。本例：雕(1)BqLA（）第八章型弯曲变形/五、用变祸形比较法泥解简单超资静定梁BqLA(+)(-)BqL因此6、在木基本静测定梁上考按照静中定梁的窄方法求旅解内力姨、应力械和变形仙。第八章此弯曲黄变形/五、用变虚形比较法或解简单超勒静定梁例题图示静棋不定梁碌，等截论面梁A歉C的抗善