2014年北京高考数学文科试题及答案

绝密★启封并使用完毕前2014年普通高等学校招生全国统一测试数学（文）（北京产卷）0.8答在答题卡本试卷共5页，150分。测试时长120分钟，考生务必将答案07答在答题卡上，在试卷上作答无效。测试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。0.5 卜-心---；；;；TOC\o"1-5"\h\z第一部分（选择题共40分） । ，；1।一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个 ，「工O 3 4 5t选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合A=｛。,1,2,4｝，B=｛1,2,3｝，则AB=（）（A）{0,1,2,3,4} （B）{0,4} （c）{1,2} （D）{3}（2）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ）（A）y=e-x （B）y=x（C）y=lnx（D）y=x（3）已知向量a=（2,4），b=（-1,1），则2a-b=（ ）（A）（5,7） （B）（5,9） （c）（3,7）（D）（3,9）（4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）（A）1 （B）3 （c）7 （D）15（5）设a、b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的（）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不必要条件（C）充分必要条件 ①）既不充分不必要条件（6）已知函数于（x）=6-性x，在下列区间中，包含于（x）零点的区间是（（A）（0,1） （B）（1,2） （C）（2,4） （d）（4,+8）（7）已知圆C:（x-3）2+（y-4,=1和两点A（-m,0），B（m,0）（m>0），若圆C上存在点尸，使得TOC\o"1-5"\h\z/APB=90，则m的最大值为（ ）（A）7 （B）6 （C）5 （D）4（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p和加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p=at2+bt+c（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）（A）3.50分钟 （B）3.75分钟（C）4.00分钟 （D）4.25分钟第二部分（非选择题共no分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。(9)若(x+i)i=T+2i(xeR)，则x=(10)设双曲线(10)设双曲线C的两个焦点为J.2,0),(.2,0),一个顶点是(1,0),则C的方程为某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为在AABC中，a=1,b=2-1cosC=—，贝°c=

4；sinA=若x,y满］某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为在AABC中，a=1,b=2-1cosC=—，贝°c=

4；sinA=若x,y满］x-：-1V0,x+y-1>0则z=3xx+y的最小值为顾客请一位工艺师把A、B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下:侧(左)视图正(主)视图1工序-ffj时间、、原料 '〜-二'粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为工作日.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。(15)(本小题13分)已知"｝是等差数列‘满足a1=3，a4=12,数列｛b｝满足b=4,b=20,且4｛b-a｝为等比数列.(I)求数列｛a｝和｛b｝的通项公式；(II)求数列｛b｝的前n项和.(16)(本小题13分)函数f(x)=3sinn一兀、 2x+—的部分图象如6)图所示.(I)写出f(x)的最小正周期及图中x、0(II)求f(x)在区间一不,-—上的最大值和最小值.(17)(本小题14分)如图，在三棱柱ABC-ABC中，侧棱垂直于底面，AB±BC,AA=AC=(17)(本小题14分)如图，在三棱柱ABC-ABC中，侧棱垂直于底面，AB±BC,AA=AC=2,1(I)从该12小时的(II)求频(III)假设中结(19)(本心率；(I)设O组号分组频数1L。,2)62[2,4)83L4,6)174[6,8)225[8,10)256110,12)127112,14)68114,16)29116,18)2合计100论)同一组中的每个a的100名学生该校随机选取一名学生数试估计这名学生该周课外阅读时间少于概率； 组距率分布直方图中数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本周课外阅读小题14分)已知椭圆C：时「她平均数在第几组(只需写出，2=4(1)求椭圆c的离O24681012141618为原点，若点A在直线y=2,点B在椭圆阅读时且OA1OB,E、F分别为AC、BC的中点.11(I)求证：平面ABE1平面BBCC；1 1(II)求证：CF//平面ABE；1(111)求三棱锥E-ABC的体积.(18)(本小题14分)从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：求线段AB长度的最小值.(20)(本小题13分)已知函数f(X)=2X3-3X.(I)求f(X)在区间［—2,1］上的最大值；(I)若过点P(1,t)存在3条直线和曲线y=f(X)相切，求t的取值范围；(I)问过点A(—1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线和曲线y=f(x)相切？(只需写出结论)绝密★测试结束前2014年普通高等学校招生全国统一测试数学(文)(北京卷)参考答案、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)(1)C(2)B(3)A(4)C(5)D(6)C(7)B(8)B、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)(11)2<2(14)42(9)2 (10)X2—y2=1(11)2<2(14)42(12)2乎 (13)18三、解答题(共6小题，共80分)

(15)(共13分)解：(I)设等差数列｛。｝的公差为d,由题意得d===生［=3〃 3 3所以q=a+(ri-l)d=3n^n=l,2,).n1设等比数列1—a｝的公比为q,

nn由题意得0=%-J=—■—―=8，解得q=2.b-a4-3ii所以b-a=(b-a)qz=2〃t.nn1 1从而b=3n+2n-i(〃=1,2,)(II)由(1)知~=3n+2mG=b2,).n数列｛3〃｝的前几项和为+ 数列S-J的前几项和为1-——-2n-1.TOC\o"1-5"\h\z2 1-2所以，数列毋｝的前几项和为3“Q+i)+2〃-i.〃 2(16)(共13分)解：(I)y(%)的最小正周期为兀 x=—.y=3o6 0(H)因为』一口所以y+小。于是当2%+4=0,即％=一匹时，/(%)取得最大值0；6 12当2%+二=-3,即.」时，/(%)取得最小值-3.6 2 3(17)(共14分)解：(I)在三棱柱ABC-ABC中，BB_L底面ABC.1111所以BB.LAB.1又因为.所以平面22CC.11所以平面筋£，平面22CC.11(II)取中点G,连结EG,FG.因为£,尸分别是AC,5c的中点，11所以FG〃AC,AFG=-AC.2因为AC〃AC,<AC=AC,1111所以厂G〃£C,KFG=EC.11所以四边形尸G£C为平行四边形.1所以。/〃EG.1又因为£Gu平面筋£,C厂u平面ABE,

所以CF〃平面ABE.1(III)因为AA=AC=2,BC=1,AB1BC,1所以AB=aCC2-BC2=v3.所以三棱锥E-ABC的体积V=1S-AA=1x1x<3x1x2=立3△abc132 3（18）（共13分）解（I）根据频数分布表100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1-也=0.9.100从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.(II)课外阅读时间落在组［4,6）的有17人，频率为0.17,所以(II)频率0.17频率0.17a= =——组距2课外阅读时间落在组［8,10）的有25人，频率为0.25,（ni）(19)(II)所以b二频率0.25组距2样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.（共14分）解：（I）所以a2=4,（ni）(19)(II)所以b二频率0.25组距2样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.（共14分）解：（I）所以a2=4,b2=2,故椭圆C的离心率由题意，椭圆C的标准方程为12+丝=1.4 2设点A,B的坐标分别为(t,2),(%,y)0 0因为OA1OB,所以OA-OB=0,即比+2y=0，解得t=0 0|AB|2=(%-1)+(y-2)-2》=x2+—+4(0<x2W4).TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2X2 00因为x2+—三4(0<X2W4),且当x2=4时等号成立，所以|AB|2三8.\o"CurrentDocument"2X2 0 00故线段AB长度的最小值为2V2.(20)(共13分)解：(I)由f(x)=2x3—3x得f'(x)=6x2—3.令f，(X)=0,得X=—^-或x=^~2 2因为f因为f(—2)=—10,f(1)=-1所以f(x)在区间［—2,1］上的最大值为f［-干)=行.TOC\o"1-5"\h\z(II)设过点P(1,t)的直线和曲线y=f(x)相切于点(x,y),0 0贝Uy=2X3—3X,且切线斜率为k=6X2—3,0 0 0 0\o"CurrentDocument"所以切线方程为y—y=(6x2—3)(x—x),0 0 0因此t—y=(6x2—3)(1—x).0 0 0整理得4x3—6x2+1+3=0.0 0设g(X)=4x3—6x2+1+3,则“过点P(1,t)存在3条直线和曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”.g'Xx)=12x2—12x=12x(x—1).g(x)和g'(x)的情况如下：X(—8,0)0(0,1)1(1,+8)g'(.X)+00+g(X)/t+3\t+1/所以，g(0)=t+3是g(x)的极大值，g(1)=t+1是g(x)的极小值.当g(0)=t+3W0，即tW—3时，此时g(x)在区间(-8,1］和(1,+8)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点.当g(1)=t+1三0，即t三—1时，此时g(X)在区间(-8,0)和［0,+8)上分别至多有1个零点，所以g(X)至多有2个零点.当g(0)〉0且g(1)<0,即—3<t<—1时，因为g(—1)=t—7<0,g