复数的运算说课稿

复数的运算说课稿林萍萍2012-10-21一、说教材（一）教材的地位与作用：1、依据新大纲及教材分析，复数四则运算是本章知识的重点。2、新教材降低了对复数的要求，只要求学习复数的概念，复数的代数形式及几何意义，加减乘除运算及加减的几何意义。因此，复数的概念，复数的代数运算是重点，在教学中要注意与实数运算法则和性质的比较，多采用类比的学习方法，在复数的概念和复数的代数运算的教学中，应避免烦琐的计算，多利用复数的概念解决问题。。3、将实数的运算通性、通法扩充到复数，是对数学知识的一种创新，有利培养学生的学习兴趣和创新精神。（二）学情分析：1、学生以了解复数的概念与定义以及复数在数域内的地位。2、学生知识经验与学习经验较为丰富，以具有类比知识点的学习方法。3、学生思维活泼，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。、4、学生层次参差不齐，个体差异比较明显。（三）教学目标：1、知识目标：掌握复数代数形式的加、减、乘、除、乘方运算法则。2、能力目标：培养学生运算的能力。3、情感、价值观目标培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神。（四）教学重点：复数的概念，复数的代数运算是重点（五）教学难点：复数代数形式的乘、除法法则。教学方法:（六）启发式教学法关键：掌握复数加法、减法的定义和复数相等定义的运用。二、说教法：1、本节课通过复习整式的运算，复数的运算，通过类比思想体会整式的运算与复数的运算的共性，使学生体会其中的思想方法，培养学生创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力。2、例题的学习，使学生在学会复数运算的基础上归纳计算方法，提高运算能力，归纳、概括能力。三、说学法：1、复习已学知识，为本节课学习作铺垫。通过对数系学习的回忆，引出课题，激发学生学习动机。2、让学生板演运算法则，有利于培养学生创新能力和主动实现学习目标。3、通过例题学会复数的运算，归纳运算简便方法。培养学生归纳问题、转化问题的努力。四、说课过程：、复习提问：1、1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即i2=-1;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2、i与一1的关系：i就是一1的一个平方根，即方程X2=—1的一个根，方程X2=—1的另一个根是一i.3、复数的概念：形如a+bi(a,beR)叫做复数，a,b分别叫做它的实部和虚部。4、复数的分类：复数a+bi(a,beR)，当b=0时，就是实数；当b手0时，叫做虚数；当a=0,b手0时，叫做纯虚数;5、复数Z1=a1+b1i与Z2=a2+b2i相等的充要条件是a1=a2,b1二b2。'实数(b=0)复数Z=a+bi\_,八」一般虚数(b丰0,a丰0)6、复数的分类：|M)［纯虚数(b主0,a=0)虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是也没有大小。7、复数的模：若向量OZ表示复数z,则称OZ的模「为复数z的模，kl=1a+bi1=Ja2+b2；积或商的模可利用模的性质(1)|罕”=kjkj卡」，(2)8、复平面、实轴、虚轴：ybb)点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、bGR)可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示乜复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，X轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数.对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，复数z=a+bi<对应复平面内的点Z(a,b)类比代数式，引入复数运算：一、复数代数形式的加减运算类似根据代数式的加减法，则复数Z与z的和:z+z=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.1212(a,b,c,deR)复数z1与z2的差:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.(a,b,c,deR)二、复数的加法运算满足交换律和结合律1、复数的加法运算满足交换律：z+z=z+z.TOC\o"1-5"\h\z1221证明：设z=a+bi,z=a+bi(a,b,a,bER).1112221122Vz+z=(a+bi)+(a+bi)=(a+a)+(b+b)i.1211221212z+z=(a+bi)+(a+bi)=(a+a)+(b+b)i.2122112121又Va+a=a+a,b+b=b+b.12211221.•.z+z=z+z.即复数的加法运算满足交换律.12212、复数的加法运算满足结合律：(z+z)+z=z+(z+z)123123证明：设z=a+=a+bi,z=a+bi(a,a,a,b,b,bE1122333123123R).V(z+z)+z=[(a+bi)+(a+bi)]+(a+bi)123112233=[(a1+a2)+(b1+b2)i]+(a3+b3)i=[(a+a)+a]+[(b+b)+b]i123123—=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.z+(z+z)=(a+bi)+[(a+bi)+(a+bi)]123112233=(a+bi)+[(a+a)+(b+b)i]112323=[a+(a+a)]+[b+(b+b)]i123123=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)iV(a+a)+a=a+(a+a),(b+b)+b=b+(b+b).123123123123...(z+z)+z=z+(z+z).即复数的加法运算满足结合律123123+三、复数代数形式的加减运算的几何意义。复数的加(减)法(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).1.复平面内的点Z(a,b)右——对应T平面向量OZ复数z=a+bi<_——对应T平面向量OZ复数加法的几何意义：~设复数z1=a+bi，z2=c+di,在复平面上所牝―方对应的向量为OZ；、oz；,即OZ1、oz2的坐标形J%式为oz；=(a,b),oz2=(c,d),以oz；、oz；为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是oz,OZ=OZ+OZ2=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(a+c)+(b+d)i复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=(a—c)+(b—d)i，所以z—z=z,z+z=z,由复数加法1221几何意义，以OZ为一条对角线，oz'、为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量OZ；就与复数z—z1的差(a—c)+(b—d)i对应■由于oz2=ZZ，所以，两个复数的差z—z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.一一讲解范例:例1计算:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4)i二—11i例2计算：(1—2i)+(—2+3i)+(3—4i)+(—4+5i)+・・・+(一2002+2003i)+(2003-2004i)解法一：原式=(1-2+3-4+——2002+2003)+(-2+3-4+5+-+2003-2004i)=(2003-1001)+(1001-2004)i=1002-1003i.解法二：，「(1—2i)+(—2+3i)=—1+i,(3—4i)+(—4+5i)=—1+i,~(2001-2002i)+(-2002+2003)i=-1+i.相加得(共有1001个式子):原式=1001(-1+i)+(2003-2004i)=(2003-1001)+(1001-2004)i=1002-1003i,例3已知复数z1=2+i,z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B,求ab对应的复数z,z在平面内所对应的点在第几象限解：z=z2—z1=(1+2i)—(2+i)=—1+i,・.・z的实部a=-1V0,虚部b=1>0,・・・复数z在复平面内对应的点在第二象限内.?点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差.即AB所表示的复数是z—z，而ba所表示的复数是z—z，故切不可把被BA.AB减数与减数搞错.尽管向量AB的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量aB所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关.5、复数的乘除法运算：复数的乘法：z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(bc+ad)i.(a,b,c,deR)复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。实数集R中正整数指数的运算律，在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3EC及m,n£N*有：zmzn=zm+n,(zm)n二zmn,nnn(z^)-z〔z2.6、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；Z=a+所,项=a-所(a,beR)，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。kl=lZ1=匕2+b22k+k=k+k,k-k=k-k,1212122k+k=k+k,k-k=k-k,12121212，k-k=a2+b2eR,k-k=|z|7、复数的除法：％(a+bi)+(c+di)=c+di=c2+d2c2+d21(a，b,gdeR)，分母实数化是常规方法复数的运算，典型例题精析：,、.(1+i)2.TOC\o"1-5"\h\z例4.(1)复数_L等于()1—i-i+iC.—1+iD.—1—ix、..(1+i)2=i(1+i)=—1+i解析：复数,二1-i，选C.1—i若复数z同时满足z—z=2i,z=iz(i为虚数单位)，则z.解：已知=Z-iZ=2i=Z=告='-1；<设复数z满足关系z+1z1=2+i，求z；解：设z=a+bi(a,b为实数)，由已知可得a+bi+<a2+b2=2+ia+\a2+b2=2oo<_°7_13,•a=—_b=1z=—+1由复数相等可得：〔b=1，解得4，所以4设z=a+bi-x+yi(a,b为实数)复数问题实数化。若xeC，解方程1尤|=1+3i-x解：设x=a+bi(a,bER)代入条件得：*a2+b2=1-a+(3-b)i,由复数相J\-a2+b2=1-a等的定义可得：【3-b=0,「・a二一4，b=3，「・x二一4+3i。例4：(1)复数z满足1z+i|2-1z-i|2=1，则z对应的点在复平面内表示的图形为(A)A,直线B,圆C,椭圆D,抛物线

解：令z=x+yi(x,yER)，则X2+(y+1)2—[x2+(y—1)2]=1,「・y=1/4。故选A。复数的代数式运算技巧:(1)i的周期性:i4=1,所以，i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4=1,所以，i4n+1=i,i4n+2=-1,14n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(neZ)TOC\o"1-5"\h\z1+i.1—i.①(1+i)2=2i②(1—i)2=—2i③1—i'④1+iz—zz—z1=1z—zIz项对应的点的轨迹是线段ZZ的垂直平分线.Iz—z1=r12z12.0，z对应的点的轨迹是一个圆；1Z—z1|+IZ—Z2|=2MZ1Z2〔V2a)，z对应的占时格:亦买一佑周.|Iz—zI—Iz—zI|=2a(ZZI>2a)-寸士击时占时点的轨迹是一个椭圆；|1212’，z对应的点的轨迹是双曲线。。=—1±£一一“1”的立万根22的性质：1①33=1②①2=富③1+①+①2=0④+«=—1⑤2扩充知识:9、特别地，zAB=z—z七广AB=^Zb—以为两点间的距离。1210、显然有公式:A^BA.,AB1210、显然有公式:|x|2=k|2=尤尤=f口］二一b±5此时有1212a且i,22a《注意两种题型：（1）虬-xJ⑵lxJ+lx2l虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相等求解。但仍然适用韦达定理。此时有已知lx2-x1是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，求lx2-x1的方法：⑴当△=b2-4ac>0时，|x-x|=、x+x)2-4xx=业土21*1212|a|(2)当A=b2-4ac<0时，|x-x|=J(x+x)2-4xx=、'4ac-b22111212|a|已知x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，求K+K的方法：⑴当A=b2-4ac>0时，C>0①气.x2>0,C>0①气.x2>0,即a，则%|+|气X1+x2If<0g②气.％<0,即a，则x21+1X1lx一xI=如(x+x)2一4xx121212vb2—4aca|(2)当A=b2-4ac<0时，l+l+lx1=2*I=2E1.x2=HU-2心+i+(J2_V996例6(1)计算：1+2、由*[1-iJ答案：-1+i¥设复数z满足：般+3-*"=3，求|z|的最大值与最小值；解：|z|的最大值为3*，最小值为切；若xeC，解方程1尤|=1+3i-x解：设x=a+bi(a,bER)代入条件得：履2+b2=1-a+(3-b)i,由复数相J\a2+b2=1-a等的定义可得：【3-b=0,「・a二一4,b=3,「・x二一4+3i。⑷设乙eC,1<1z1^/2，则复数u=z(1+i)，在复平面内对应的图形面积为。解：