浙江省金华市金东区重点中学2022-2023学年高二下学期4月期中数学试题及参考答案

金东区重点中学2022—2023学年第二学期期中考试高二年级数学试题卷考试时间：80分钟；满分100分；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知全集,集合,集合,则(∁UA)∪B=A． B． C． D．2．命题：p：的否定为（

）A． B．C． D．3．若，则下列不等式不恒成立的是A．B．C．D．4．下列说法正确的是（

）A．“”是“”的充要条件；B．“”是“”的充分但不必要条件；C．“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的必要但不充分条件；D．“方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分但不必要条件是“”．5．若将整个样本空间想象成一个的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分的面积表示（

）A．事件发生的概率B．事件发生的概率C．事件不发生条件下事件发生的概率D．事件，同时发生的概率6．今年年初，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.我市某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援武汉市某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为（

）.A． B． C． D．7．已知随机变量，若，则等于（

）A．0 B．1 C．2 D．48．若集合满足，则称为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为集合A的同一分拆，则集合的不同分拆的种数为（）A．27 B．26 C．9 D．89．从装有个白球和个黑球的袋中无放回任取个球，每个球取到的概率相同，规定：（1）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量（2）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量则（

）A．， B．，C．， D．，10．已知，都为正实数，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．11．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，A表示事件“第一次向上一面的数字是1”，B表示事件“第二次向上一面的数字是2”，C表示事件“两次向上一面的数字之和是7”，D表示事件“两次向上一面的数字之和是8”，则（

）A．C与D相互独立 B．A与D相互独立C．B与D相互独立 D．A与C相互独立12．已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（

）A．77 B．49 C．45 D．30二、多选题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、多选、错选均不得分）13．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传这四个项目，每人限报其中一项，记事件为“四名同学所报项目各不相同”，事件为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则下列结论中正确的有（

）A． B． C． D．14．下列命题中是真命题的是（

）A．“”是“”的充分不必要条件B．命题“，都有”的否定是“，使得”C．不等式成立的一个必要不充分条件是或D．“”是“”的充分条件0m1P15．设，随机变量的分布列为：则当m在（0，1）上增大时，（

）A．减小 B．增大C．先增后减，最大值为 D．先减后增，最小值为16．下列结论中，正确的是（

）A．若x，，则的最小值为2B．若，则的最小值为8C．若，则的最大值为1D．若，则函数的最小值为第II卷（非选择题）填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）17．已知随机变量的分布列如下：且，则实数____________，若随机变量，则____________．23418．关于的不等式，当时的解集为_________________________.19．袋中有10个黑球，5个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，则掷出3点的概率为________．20．已知正实数，满足，则的最大值等于______．四、解答题（本大题共3小题，共32分）21．已知（1）求；（2）22．德、智、体、美、劳是对人的素质定位的基本准则，也是人类社会教育的趋向目标，所以人类社会的教育就离不开德、智、体、美、劳这个根本．随着国家对体育、美育的高度重视，不少省份已经宣布将体育、美育纳入中考范畴．在近期召开的教育部新闻发布会上，教育部体育卫生与艺术教育司司长透露，目前全国已有4个省份开展美育中考计分，同时还有6个省份、12个地市开始（启动）了中考美育计分，分值在10分到40分之间，到2022年力争全覆盖，全面实行美育中考．同时，为体育、美育纳入高考做好前期准备工作．某学校为了提升学生的体育水平，决定本学期开设足球课，某次体育课上，体育器材室的袋子里有大小，形状相同的2只黄色足球和3只白色足球，现从袋子里依次随机取球．（1）若有放回地取3次，每次取一个球，求取出1个黄色足球2个白色足球的概率；（2）若无放回地取3次，每次取一个球，若取出每只黄色足球得1分，取出每只白色足球不得分，求得分的分布列和数学期望．23．已知函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若对于任意都有成立，求实数的取值范围；(3)若过点可作函数图象的三条不同切线，求实数的取值范围.参考答案：1．A【解析】求出，按并集的定义即可求解.【详解】全集,,，.故选:A.【点睛】本题考查集合的混合运算，属于基础题.2．C【分析】根据全称命题的否定判断即可.【详解】命题，的否定为，.故选：C.3．C【解析】根据不等式的性质对给出的每个选项分别进行分析、判断后可得不恒成立的不等式．【详解】对于A，由得恒成立．对于B，由可知恒成立．对于C，由于，故当时，不成立，所以C不恒成立．对于D，由得，所以恒成立．故选C．【点睛】本题考查不等式的性质及命题真假的判定，解题的关键是熟练运用不等式的相关知识求解，属于基础题．4．B【分析】由小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围逐个分析每个选项.【详解】对于A项，∵，，∴“”是“”的必要不充分条件，故A项错误；对于B项，∵N是Z的真子集，∴“”是“”的充分不必要条件，故B项正确；对于C项，∵两个三角形全等一定相似，但相似不一定全等，∴“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的充分不必要条件，故C项错误；对于D项，∵方程的根为或，又∵方程有一正一负根，∴，解得：，∴“方程有一个正实数根和一个负实数根”的充要条件是“”，故D项错误；故选：B.5．B【分析】理解条件概率和的含义，可得阴影部分面积表示的含义.【详解】由题意可知：表示在事件发生的条件下，事件发生的概率，表示在事件不发生的条件下，事件发生的概率，结合在一块就是事件发生的概率.故选：B.6．C【分析】先求出从这5人中任选2人定点支援武汉市某医院的基本事件总数，再求恰有1名医生和1名护士被选中的基本事件总数，利用古典概型公式计算得出答案．【详解】从这5人中任选2人定点支援武汉市某医院，基本事件总数恰有1名医生和1名护士被选中的基本事件个数则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为故选：C【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．B【分析】由二项分布方差公式得，再结合求解即可.【详解】解：因为随机变量，所以，因为，所以，即.故选：B8．A【详解】集合的不同分拆为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共27种，故选A.9．C【分析】根据题意计算概率写出分布列，计算方差、期望比较即可．【详解】根据题意，，，，分布列如下：根据题意，，，，分布列如下：，，，，可得，故选：C.10．C【分析】将通分整理代入所求式子，配凑基本不等式形式求解即可.【详解】因为，都为正实数，且，所以，且,所以=，当且仅当等号成立.故选：C.11．D【分析】根据事件相互独立的定义判断.【详解】由题意知，，所以C与D不相互独立，，所以A与D不相互独立，，所以B与D不相互独立，，所以A与C相互独立，故选：D【点睛】方法点睛：判断事件A与B是否相互独立，根据事件相互独立的定义关键看是否成立.12．A【解析】根据题意,利用数形结合表示出集合,然后根据新定义中集合中元素的构成,用平面的点表示即可.【详解】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点（包括边界），集合中有个元素（即49个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．含有个元素.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是利用数形结合表示集合的几何意义，从而得解.13．AC【分析】由条件概率与独立事件可得：，，所以，即可得出答案.【详解】由已知有：，，所以.故选：AC．14．ACD【分析】对于A、C、D,利用定义法即可判断；对于B：直接写出命题的否定即可判断.【详解】对于A：因为或，所以由“”可以推出“”，但是由“”不能推出“”，所以“”是“”的充分不必要条件.故A正确；对于B：由全称命题的否定可得：命题“，都有”的否定是“，使得”.故B错误；对于C：或，所以由或不能推出或，但是由或，可以推出或，故不等式成立的一个必要不充分条件是或.故C正确；对于D：因为，所以，所以，所以，即.但是当时，不妨取，不满足，即由不能推出，所以“”是“”的充分条件，故D正确.故选：ACD.15．BD【分析】首先根据分布列的性质求，再分别求期望和方差，根据函数特征判断选项.【详解】由题意得，，得，，，增大；，当实数m在上增大时，先减小后增大，当时，取最小值.故选：BD.16．BC【分析】利用基本不等式结合指数幂的运算即可判断A；根据，可得，且，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断B；利用基本不等式可将已知转化为，从而可判断C；利用配凑法结合基本不等式即可判断D.【详解】对于A，由x，，得，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故A错误；对于B，因为，所以，且，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8，故B正确；对于C，由，则，即，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为1，故C正确；对于D，若，则，则，则，当且仅当，即时取等号，所以函数的最大值为，故D错误.故选：BC.17．/【分析】由已知条件列方程组可求出的值，再利用方差公式求出，从而可求出【详解】由题意得，解得，所以，所以，故答案为：，18．【分析】当时，解不等式即可得解.【详解】当时，解不等式，解得，即原不等式的解集为.故答案为：.19．/0.04835【分析】根据贝叶斯公式进行求解即可.【详解】设B＝{取出的球全是白球}，Ai＝{掷出i点}(i＝1，2，…，6)，则由贝叶斯公式，得．故答案为：20．1【分析】由题意利用基本不等式可得，由此求得的最大值．【详解】正实数，满足，即，∴（当且仅当时，取等号），∴，即，则的最大值等于1，故答案为：1．21．（1）；（2）【分析】（1）利用二项式定理展开式即可求得最后一项的系数；（2）利用赋值法，代入即可求得的值.【详解】（1）∵是展开式中第8项的系数，；（2）令，得，令，得，两式相加：，即.22．（1）；（2）分布列见解析，.【分析】（1）根据独立重复试验的概率公式计算可得结果；（2）的所有可能取值有三个：0、1、2，求出取每个值的概率后可得分布列，根据数学期望的公式可得结果.【详解】（1）从袋子里有放回地取3次球，相当于做了3次独立重复试验，每次试验取出黄色足球的概率为，取出白色足球的概率为，设事件为“取出1个黄色足球2个白色足球”，则．（2）的所有可能取值有三个：0、1、2，则，，．所以得分的分布列为012故得分的数学期望．【点睛】关键点点睛：掌握有放回抽样和无放回抽样的概率的求法是解题关键.23．(1)单调递增区间为，单调递减区间为和；(2)；(3)．【分析】（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定单调区间；（2）先化简不等式，利用变量分离得最小值，再利用基本不等式求最小值，即得实数的取值范围；（3）先设切点，根据导数几何意义建立方程，转化为有三个不同的解，利用导数研究函数图像，根据极值点位置确定实数的取值范围.（1）当时，，得．因为=，所以当时，；当或时，．所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和；（2）由，得．因为对于任意都有成立，即对于任意都有成立，即对于任意都有成立，设,,则，等号成立当且仅当即时成立，所