图形学的数学基础曲线

图形学的数学(shùxué)根底－参数曲线(qūxiàn)根底知识第一页，共28页。1参数曲线(qūxiàn)的根本知识表示(biǎoshì)方法属性连续性第二页，共28页。2曲线(qūxiàn)的表示方法显式表示(biǎoshì)：隐式表示(biǎoshì)：参数表示：更强的控制能力更灵活方便的变换及表达第三页，共28页。3参数(cānshù)曲线的根本概念假设(jiǎshè)参数曲线表示为第四页，共28页。4曲线上一点(yīdiǎn)处的切矢量〔1〕用以表示曲线(qūxiàn)上位置矢量的大小、方向变化)(ttPD+rrPt()图1切矢量表示位置矢量的变化第五页，共28页。5曲线(qūxiàn)上一点处的切矢量〔2〕表示(biǎoshì)t处位置矢量它的方向(fāngxiàng)指向参数增加的方向(fāngxiàng)(曲线正向)该点处的切矢量表示为：第六页，共28页。6曲线(qūxiàn)上一点处的切矢量〔3〕参数(cānshù)变换条件下曲线上点的切矢量：参数变换(biànhuàn)方程：参数曲线新方程：切矢量表达式：切矢量方向保持不变第七页，共28页。7正那么曲线与自然(zìrán)参数〔1〕正那么曲线：所有点都是正那么点的曲线。正那么曲线与参数(cānshù)选取无关参数(cānshù)表示方程与参数(cānshù)选取有关自然参数(cānshù)：弧长参数(cānshù)以弧长为参数(cānshù)的曲线光顺性好常采用曲线的自然参数(cānshù)〔弧长参数(cānshù)〕来定义曲线。第八页，共28页。8正那么曲线(qūxiàn)与自然参数〔2〕对于(duìyú)正那么曲线由弧长函数(hánshù)的反函数(hánshù)：可得到曲线自然参数方程：第九页，共28页。9正那么(nàme)曲线与自然参数〔3〕定理：自然参数(cānshù)曲线的切矢量满足：证明(zhèngmíng)：除特别申明外通常讨论正那么曲线并采用弧长参数定义曲线。以弧长为参数的曲线假设非正那么，那么畸形。第十页，共28页。10曲线(qūxiàn)上一点处的主法向量〔1〕记号(jìhɑo)自然参数曲线：任一点处的单位(dānwèi)切矢量为沿该方向过该点的直线称为该点处的主法线定义--衡量曲线弯曲程度？第十一页，共28页。11曲线上一点(yīdiǎn)处的曲率曲率可衡量曲线的弯曲程度(chéngdù)—单位切矢对弧长的转动率如下图第十二页，共28页。12曲率(qūlǜ)半径直线特征：曲率处处(chùchù)为0；圆的特征：曲率半径处处(chùchù)相等第十三页，共28页。13曲线(qūxiàn)上一点处的主法向量〔2〕定理(dìnglǐ)：主法向量与切矢量正交。证明：第十四页，共28页。14曲线(qūxiàn)上一点处的从法向量沿该方向(fāngxiàng)过该点的直线称为从法线。第十五页，共28页。15Frent活动(huódòng)标架第十六页，共28页。16问题(wèntí)：切矢量(垂直于法平面)的变化快慢反映了曲线的弯曲(wānqū)程度问题：从法向量(垂直于密切平面)的变化反映了曲线的何种属性?第十七页，共28页。17预备(yùbèi)定理定理(dìnglǐ)：证明(zhèngmíng)：第十八页，共28页。18曲线(qūxiàn)在一点处的挠率含义：从法向量方向对弧长的变化率--反映(fǎnyìng)曲线的扭曲程度。该值大于、小于、等于0分别对应右旋、左旋和平面曲线。第十九页，共28页。19曲线的几何(jǐhé)不变量〔1〕曲率和挠率：因与曲线参数和空间直角坐标系的选取都无关，而称其为曲线的几何不变量。曲线根本定理：如果两条曲线在弧长参数相同的点处具有(jùyǒu)相同的曲率和挠率，那么这两条曲线经过旋转和平移运动后一定会重合。曲线的自然方程：第二十页，共28页。20曲线的几何(jǐhé)不变量〔2〕在任意参数(cānshù)条件下的曲率、挠率分别为：第二十一页，共28页。21曲线(qūxiàn)的连续性参数连续：函数可微几何连续：曲线光滑二者既有区别(qūbié)又有联系第二十二页，共28页。22曲线(qūxiàn)的参数连续性第二十三页，共28页。23第二十四页，共28页。24曲线(qūxiàn)的几何连续性〔1〕第二十五页，共28页。25第二十六页，共28页。26曲线(qūxiàn)的几何连续性〔2〕是一种可观察的连续(l