2023届湖南省长沙市地质中学数学高二下期末学业水平测试模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数f（x）＝（3x﹣2）ex+mx﹣m（m≥﹣1），若有且仅有两个整数使得f（x）≤0，则实数m的取值范围是（）A．（，2] B．[，）C．[，） D．[﹣1，）2．奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集是（）A． B．C． D．3．已知复数满足（为虚数单位），则共轭复数等于（）A． B． C． D．4．设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．在平面直角坐标系中，不等式组x+y≤0x-y≤0x2+y2≤r2(rA．－1B．－5C．13D．－6．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4×100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是()A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．通过随机询问111名性别不同的中学生是否爱好运动，得到如下的列联表：男女总计爱好412131不爱好212151总计3151111由得，1．1511．1111．1112．8413．32511．828参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过1.111的前提下，认为“爱好运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过1.11的前提下，认为“爱好运动与性别有关”C．在犯错误的概率不超过1.111的前提下，认为“爱好运动与性别无关”D．有以上的把握认为“爱好运动与性别无关”8．在的展开式中，的系数等于A．280 B．300 C．210 D．1209．已知直线l过点P(1,0,－1)，平行于向量，平面过直线l与点M(1,2,3)，则平面的法向量不可能是（）A．(1,－4,2) B． C． D．(0,－1,1)10．甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（）A． B． C． D．11．已知双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（）A． B． C． D．12．若函数f（x）=有最大值，则a的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数为上的奇函数，若对任意的且，都有，已知，则不等式的解集为______.14．已知，在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则值为__________．15．已知顶点在原点的抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则抛物线的方程为______．16．已知定义在上的函数满足（其中为的导函数）且，则不等式的解集是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，其中为实数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，求证：.18．（12分）已知函数．（1）若，证明：；（2）若只有一个极值点，求的取值范围．19．（12分）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，且与抛物线的焦点重合.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，求的最小值.20．（12分）已知．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明对于任意的成立．21．（12分）（辽宁省葫芦岛市2018年二模）直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求的最小值.22．（10分）把6本不同的书，全部分给甲，乙，丙三人，在下列不同情形下，各有多少种分法？（用数字作答）(Ⅰ)甲得2本；(Ⅱ)每人2本；(Ⅲ)有1人4本，其余两人各1本．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

设，利用导数研究其单调性，作出图象，再由恒过定点，数形结合得到答案．【详解】设，，则，，，单调递减，，，单调递增，，取最小值，直线过定点，而，，要使有且仅有两个整数使得，则，即实数的取值范围为.故选B项.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，属于中档题.2、A【解析】

根据函数为奇函数，以及上的单调性，判断出上的单调性，求得的值，对分为四种情况讨论，由此求得不等式的解集，进而求得的解集.【详解】由于函数为奇函数，且在上递减，故在上递减，由于，所以当或时，；当或时，.所以当或时.故当或即或时，.所以不等式的解集为.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查函数变换，考查含有函数符号的不等式的解法，属于中档题.3、D【解析】试题分析：由题意得考点：复数运算4、A【解析】试题分析：画圆：(x–1)2+(y–1)2=2，如图所示，则(x–1)2+(y–1)2≤2表示圆及其内部，设该区域为M.画出表示的可行域，如图中阴影部分所示，设该区域为N.可知N在M内，则p是q的必要不充分条件.故选A.【考点】充要条件的判断，线性规划【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识相结合．本题的条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论．5、D【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意，知14πr2=π，解得r=2．因为目标函数z=x+y+1x+3=1+y-2x+3表示区域内上的点与点P(-3,2)连线的斜率加上1，由图知当区域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y-2=k(x+3)，即6、C【解析】

跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意．【详解】由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒，∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意．故跑第三棒的是丙．故选：C．【点睛】本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．7、B【解析】

试题分析：根据列联表数据得到7.8，发现它大于3.325，得到有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”，从而可得结论．解：∵7.8＞3.325，∴有1.11=1%的机会错误，即有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”故选B．点评：本题考查独立性检验的应用，考查利用临界值，进行判断，是一个基础题8、D【解析】

根据二项式定理，把每一项里的系数单独写下来，然后相加，再根据组合数性质，化简求值．【详解】解：在的展开式中，项的系数为．故选D．【点睛】本题主要考查二项式定理展开以及利用组合数性质进行化简求值．9、D【解析】试题分析：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，而=（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），选项A，（2，1，1）（1，-4，2）=0，（0，2，4）（1，-4，2）=0满足垂直，故正确；选项B，（2，1，1）（，-1，）=0，（0，2，4）（，-1，）=0满足垂直，故正确；选项C，（2，1，1）（-，1，−）=0，（0，2，4）（-，1，−）=0满足垂直，故正确；选项D，（2，1，1）（0，-1，1）=0，但（0，2，4）（0，-1，1）≠0，故错误．考点：平面的法向量10、C【解析】

首先求得甲的平均数，然后结合题意确定污损的数字可能的取值，最后利用古典概型计算公式求解其概率值即可.【详解】由题意可得：，设被污损的数字为x，则：，满足题意时，，即：，即x可能的取值为,结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值：.故选C.【点睛】本题主要考查茎叶图的识别与阅读，平均数的计算方法，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11、B【解析】

由渐近线方程得出的值，结合可求得【详解】∵双曲线的一条渐近线方程为，∴，∴，解得，即离心率为．故选：B．【点睛】本题考查双曲线的渐近线和离心率，解题时要注意，要与椭圆中的关系区别开来．12、B【解析】

分析函数每段的单调性确定其最值，列a的不等式即可求解.【详解】由题,单调递增，故单调递减，故,因为函数存在最大值，所以解.故选B.【点睛】本题考查分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据题意，可得函数在上的单调性，结合可得在上的符号，利用函数的奇偶性可得在上，，则上，，即可分析的解，可得答案．【详解】根据题意，若对任意的，且，都有，

则在上为增函数，

又由，则在上，，则在上，，

又由为奇函数，则在上，，则上，，

或，即或或或

解得：，

即不等式的解集为；

故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题．14、【解析】由题意，令，，则，所以，，即，当，；当，，如图所示，由勾股定理得，解得.15、【解析】

求得抛物线的右焦点坐标，由此求得抛物线方程.【详解】椭圆的，故，故，所以椭圆右焦点的坐标为，故，所以，所以抛物线的方程为.故答案为：【点睛】本小题主要考查椭圆焦点的计算，考查根据抛物线的焦点计算抛物线方程，属于基础题.16、【解析】分析：根据题意，令g（x）=，对其求导可得g′（x），分析可得g′（x）＜0，即函数g（x）为减函数；结合f（1）=e可得g（1）=，则不等式f（x）＞ex⇔＞1⇔g（x）＞1⇔g（x）＞g（1），借助函数的单调性分析可得答案．详解：根据题意，令g（x）=，则其导数g′（x）=，又由f′（x）＜f（x），则有g′（x）＜0，即函数g（x）为减函数；且g（1）=；则不等式f（x）＞ex⇔＞1⇔g（x）＞1⇔g（x）＞g（1），又由函数g（x）为减函数，则有x＜1；则不等式f（x）＞ex的解集为（-∞,1）；故答案为：．点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和解不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答本题的关键是构造函数g（x）=求其单调性,再利用单调性解不等式g（x）＞g（1）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）证明见解析【解析】

（1）计算导数，采用分类讨论的方法，，与，根据导数的符号判定原函数的单调性，可得结果.（2）根据（1）的结论，可得，然后构造新函数，通过导数研究新函数的单调性，并计算最值，然后与比较大小，可得结果.【详解】（1）函数的定义域为，①若，即时，则，此时的单调减区间为；②若，时，令的两根为，，，所以的单调减区间为，，单调减区间为.③当时，，，此时的单调增区间为，单调减区间为.（2）当时，函数有两个极值点，且，.则则要证，只需证.构造函数，则，在上单调递增，又，，且在定义域上不间断，由零点存在定理可知：在上唯一实根，且.则在上递减，上递增，所以的最小值为.因为，当，，则，所以恒成立.所以，所以，得证.【点睛】本题考查导数的综合应用，难点在于分类讨论思想的应用，同时掌握构造函数，化繁为简，考验分析能力以及极强的逻辑推理能力，综合性较强，属难题.18、（1）详见解析；（2）.【解析】

（1）将代入，可得等价于，即，令，求出，可得的最小值，可得证；（2）分，三种情况讨论，分别对求导，其中又分①若②③三种情况，利用函数的零点存在定理可得a的取值范围.【详解】解：（1）当时，等价于，即；设函数，则，当时，；当时，．所以在上单调递减，在单调递增．故为的最小值，而，故，即．（2），设函数，则；（i）当时，，在上单调递增，又，取b满足且，则，故在上有唯一一个零点，且当时，，时，，由于，所以是的唯一极值点；（ii）当时，在上单调递增，无极值点；（iii）当时，若时，；若时，．所以在上单调递减，在单调递增．故为的最小值，①若时，由于，故只有一个零点，所以时，因此在上单调递增，故不存在极值；②若时，由于，即，所以，因此在上单调递增，故不存在极值；③若时，，即．又，且，而由（1）知，所以，取c满足，则故在有唯一一个零点，在有唯一一个零点；且当时，当时，，当时，由于，故在处取得极小值，在处取得极大值，即在上有两个极值点．综上，只有一个极值点时，的取值范围是【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及利用导数研究函数的极值，及函数的零点存在定理，注意分类讨论思想的运用.19、（1）椭圆的标准方程为；（2）的最小值为.【解析】试题分析：（1）由题可知）抛物线的焦点为，所以，然后根据离心率可得a值，从而得出椭圆标准方程（2）根据题意则需求出AC和BD的长度表达式，显然可以根据直线与椭圆的弦长公式求得，所以设，，直线的方程为，代入椭圆方程，，同理求出AC的长度，然后化简即得.解析：（1）抛物线的焦点为，所以，又因为，所以，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）（i）当直线的斜率存在且时，直线的方程为，代入椭圆方程，并化简得.设，，则，，.易知的斜率为，所以..当，即时，上式取等号，故的最小值为.（ii）当直线的斜率不存在或等于零时，易得.综上，的最小值为.点睛：本题要熟悉椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系问题，在求解椭圆中的最值问题时务必先求出表达式结合不等式即可得出结论，同时直线与椭圆的弦长公式也要非常熟悉20、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）求的导函数，对a进行分类讨论，求的单调性；（Ⅱ）要证对于任意的成立，即证，根据单调性求解.试题解析：（Ⅰ）的定义域为；.当，时，，单调递增；，单调递减.当时，.（1），，当或时，，单调递增；当时，，单调递减；（2）时，，在内，，单调递增；（3）时，，当或时，，单调递增；当时，，单调递减.综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，，，令，.则，由可得，当且仅当时取得等号.又，设，则在单调递减，因为，所以在上存在使得时，时，，所以函数在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号，所以，即对于任意的恒成立。【考点】利用导函数判断函数的单调性，分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错误百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.21、（1）（2）.