浙大概率论与数理统计课件第七章参数估计概率论课件教学教材

1、统计统计(tngj)方法方法描述统计描述统计推断(tudun)统计参数估计参数估计假设检验假设检验第一页，共100页。第七章、参数估计第一节：点估计第一节：点估计第三节：估计量的评选标准第三节：估计量的评选标准(biozhn)第四节：区间估计第四节：区间估计第五节：正太总体均值与方差的区间估计第五节：正太总体均值与方差的区间估计第六节：（第六节：（01）分布参数的区间估计）分布参数的区间估计第七节：单侧置信区间第七节：单侧置信区间第二页，共100页。现在我们来介绍一类(y li)重要的统计推断问题:参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.参数估计估计(gj

2、)废品率估计(gj)湖中鱼数估计平均降雨量第三页，共100页。参数估计点估计区间估计在参数估计问题中，假定总体分布形式已知，未知的仅仅是一个(y )或几个参数.第四页，共100页。第一节第一节 点点 估估 计计一、点估计问题(wnt)的提法二、估计量的求法三、估计量的评选(pngxun)标准第五页，共100页。设总体X的分布函数 形式已知, 是待估参数, 是 X 的一个样本(yngbn)， 是相应的一个样本(yngbn)值.一、点估计问题一、点估计问题(wnt)的提法的提法( ; )F x12,nx xx12,nXXX.),(),(2121 来估计未知参数来估计未知参数用它的观察值用它的观察值

3、一个适当的统计量一个适当的统计量点估计问题就是要构造点估计问题就是要构造nnxxxXXX.),(21的估计量的估计量称为称为 nXXX.),(21的估计值的估计值称为称为 nxxx., 简记为简记为通称估计通称估计 第六页，共100页。15011293260456543210knkk次的纱锭数次的纱锭数断头断头断头次数断头次数.,的估计值的估计值作为参数作为参数把把的观察值的观察值再计算出再计算出先确定一个统计量先确定一个统计量 xxXX解.133. 1 x.133. 1的的估估计计值值为为 .,150,0, 试试估估计计参参数数数数据据如如下下内内断断头头的的次次数数只只纱纱锭锭在在某某一一

4、时时间间段段现现检检查查了了为为未未知知参参数数为为参参数数的的泊泊松松分分布布假假设设它它服服从从以以随随机机变变量量是是一一个个断断头头次次数数在在某某纺纺织织厂厂细细纱纱机机上上的的 X例1第七页，共100页。二、估计量的求法二、估计量的求法 由于估计量是样本的函数, 是随机变量(su j bin lin), 故对不同的样本值, 得到的参数值往往不同, 求估计量的问题是关键问题.估计量的求法: (两种)矩估计(gj)法和最大似然估计(gj)法.第八页，共100页。1. 矩估计(gj)法 它是基于一种简单的“替换”思想(sxing)建立起来的一种估计方法 .是英国统计学家K.皮尔逊最早提出

5、的 .其基本思想(sxing)是用样本矩估计总体矩 . 理论依据: 大数定律11niiXXn ()PE X 第九页，共100页。其中(qzhng) 为未知参数，现在从总体X 中抽取样本 . 由辛钦大数定律设总体(zngt)X的分布函数为11lim0.nkkiniPXEXn可以推广为，.lim,011 nkknXnP有有则则对对于于任任意意正正数数.lim,011 nkknXnP有有则则对对于于任任意意正正数数11lim0.niniPXEXn12, , r12(, , )nXXX12( ;, , )rF x第十页，共100页。设设 X1, X2, , Xn 来自来自(li z)总体总体X的样本的

6、样本记总体k阶矩为)(kkXE 样本k阶矩为11nkkiiAXn 用样本矩来估计总体(zngt)矩, 用样本矩的连续函数来估计总体(zngt)矩的连续函数, 从而得出参数估计，这种估计法称为矩估计法.记总体k阶中心矩为kkXEXE)( 样本k阶中心矩为11()nkkiiBXXn第十一页，共100页。矩估计(gj)法的具体步骤:11(2),;1,2,nlllliiAAXlkn令令.,21的的方方程程组组个个未未知知参参数数这这是是一一个个包包含含kk 12(1)()( ,)1,2,llkE Xlk 求求出出12(3),k 解解出出其其中中12 ,k .用用表表示示(4) 用方程组的解 分别作为(

7、zuwi) 的估计量，这种估计量称为矩估计量. 矩估计量的观察值称为矩估计值.12 ,k 12,k 第十二页，共100页。.,),( ,21的的矩矩估估计计量量求求的的样样本本是是来来自自总总体体未未知知其其中中上上服服从从均均匀匀分分布布在在设设总总体体baXXXXbabaXn解)(XE1 ,2ba )(22XE ,41222baba 2)()(XEXD ,1211 niiXnAba令令2224)(12)(Ababa ,112 niiXn例2第十三页，共100页。 )(1222121AAabAba即即解方程组得到(d do)a, b的矩估计量分别为)(32121AAAa ,)(312 nii

8、XXnX)(32121AAAb ,)(312 niiXXnX第十四页，共100页。., 0,221222的矩估计量的矩估计量和和求求一个样本一个样本是是又设又设均为未知均为未知和和但但且有且有都存在都存在和方差和方差的均值的均值设总体设总体 nXXXX 解)(XE1 , 2221AA 令令解方程组得到矩估计量分别为,1XA 2122AA niiXXn1221.)(112 niiXXn例3,22 2)()(XEXD )(22XE 第十五页，共100页。上例表明(biomng): 总体均值与方差(fn ch)的矩估计量的表达式，不因不同的总体分布而异.的矩估计量的矩估计量即得即得未知未知例例222

9、, ,),( NX,X 2 .)(112 niiXXn矩法的优点是简单易行. 缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供(tgng)的信息. 一般场合下,矩估计量不具有唯一性 .第十六页，共100页。2. 最大（极大(j d)）似然估计法 最大似然法是在总体(zngt)类型已知条件下使用的一种参数估计方法 . 它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的. 然而，这个方法常归功于英国(yn u)统计学家费歇. 费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质 .GaussFisher Fisher第十七页，共100页。极大极大(j d)似然法的基本似然法的基本思想：思想：

10、一只野兔一只野兔(yt)从前方从前方窜过窜过 .是谁打中的呢？是谁打中的呢？ 某位同学某位同学(tng xu)与一位猎人与一位猎人一起外出打猎一起外出打猎 .如果要你推测，如果要你推测，你会如何想呢你会如何想呢?只听一声枪响，野兔应声倒下只听一声枪响，野兔应声倒下 .第十八页，共100页。 你就会想，猎人命中的概率一般大于这位同你就会想，猎人命中的概率一般大于这位同学学(tng xu)命中的概率命中的概率 . 看来这一枪是猎人射中的看来这一枪是猎人射中的 . 这个例子所作的推断已经体现了极大这个例子所作的推断已经体现了极大(j d)似然似然法的基本思想法的基本思想 .第十九页，共100页。 设

11、有外形完全相同的两个箱子设有外形完全相同的两个箱子, ,甲箱有甲箱有9999个白球个白球1 1个个黑球黑球, ,乙箱有乙箱有1 1个白球个白球9999个黑球个黑球. .今随机地抽取今随机地抽取(chu q)(chu q)一箱一箱, ,然后再从这箱中任取一球然后再从这箱中任取一球, ,结果发现是白球结果发现是白球. .问这问这球是从哪一个箱子中取出的球是从哪一个箱子中取出的? ?分析分析 导致结果是白球的原因有两个导致结果是白球的原因有两个, ,一个是这球一个是这球从甲箱取的从甲箱取的, ,另一个就是另一个就是(jish)(jish)这球从乙箱取的这球从乙箱取的. .如果是从甲箱取的如果是从甲箱

12、取的, ,则取得白球的概率为则取得白球的概率为99%;99%;如如果是从乙箱取的果是从乙箱取的, ,则取得白球的概率为则取得白球的概率为1%,1%,由此看由此看到到, ,这球是从甲箱中取出的概率比从乙箱中取出的这球是从甲箱中取出的概率比从乙箱中取出的概率要大得多概率要大得多, ,因此很自然的因此很自然的, ,我们认为结论我们认为结论“这这球是从甲箱中取出的球是从甲箱中取出的”比结论比结论“这球是从乙箱中这球是从乙箱中取出的取出的”要合理得多要合理得多. .最后我们作出推断最后我们作出推断, ,这球是这球是从甲箱取出的从甲箱取出的. . 第二十页，共100页。最大似然估计(gj)法，是建立在最大

13、似然原理的基础上的求点估计(gj)量的方法。最大似然原理的直观想法是：在试验中概率最大的事件最有可能出现。例如，一个试验如有若干个可能的结果 ，若在一次试验中，结果A出现，则一般认为A出现的概率最大。,A B C 第二十一页，共100页。 极大极大(j d)似然估计似然估计法：法： 当给定样本当给定样本(yngbn)X1,X2,Xn时，定义似时，定义似然函数为：然函数为：这里这里 x1, x2 , xn 是样本是样本(yngbn)的观察值的观察值 .);();();(),;()(22111nnnxXPxXPxXPxxLL);();();(),;()(211nnxfxfxfxxLL 看作参数看作

14、参数 的函数，它可作为的函数，它可作为 将以多大可将以多大可能产生样本值能产生样本值 x1, x2, ,xn 的一种度量的一种度量 .( )L 选择选择 ,使使 达到最大值达到最大值. ( )L 第二十二页，共100页。若总体X属离散型, 其分布律为( ; ),P Xxp x1( ; )niip x, 当给定样本值12( ,)nx xx分布律为似然函数似然函数(hnsh)形式已知,为待估参数,12(,)nXXX是总体X的一个样本，则样本12,nXXX的它是 的函数, 称( )L为样本的似然函数.的概率(gil)为1( )(;) ,niiLp x后, 则样本取到观察值12,nXXX12,nx x

15、x第二十三页，共100页。若总体X属连续型, 其概率密度函数为( ; ),f x12,nx xx形式已知,为待估参数,12(,)nXXX是总体X的一个样本，则12,nXXX的联合1(;)d,niiif xx1( ; )niif x, 设密度为 是相应于样本的一个样本值, 则12,nXXX12(,)nXXX的邻域内的概率近似为12( ,)nx xx落在点因 不随 而变，故只需考虑1dniix1(;)niif x第二十四页，共100页。若1212( ,; )max ( ,; )nnL x xxL x xx则称12( ,)nx xx为 的最大似然估计值. 替换成样为参数的最大似然估计量. 若将上式中

16、样本(yngbn)值12( ,)nx xx12(,)nXXX,则得12(,)nXXX本称称为(chn wi)似然方程dln ( )0dL为最大似然估计的必要条件为 因此，由于与在同一 处达到最大值， ( )Lln( )L第二十五页，共100页。求最大似然估计量的一般步骤为： （1）求似然函数( )L（2）一般地，求出ln( )L及似然方程 （3）解似然方程得到最大似然估计值 12( ,)nx xx（4）最后得到最大似然估计量 12(,)nXXXdln ( )0dL第二十六页，共100页。.,), 1(21的最大似然估计量的最大似然估计量求求个样本个样本的一的一是来自是来自设设pXXXXpBXn

17、,2121一个样本值一个样本值的的为相应于样本为相应于样本设设nnXXXxxx解1 , 0,)1(1 xppxXPXxx的分布律为的分布律为似然函数(hnsh)iixnixpppL 11)1()(,)1(11 niiniixnxpp例4第二十七页，共100页。),1ln(ln)(ln11pxnpxpLniinii , 01)(lndd11 pxnpxpLpniinii令令的最大似然估计值的最大似然估计值解得解得 p.11xxnpnii 的最大似然估计量为的最大似然估计量为p.11XXnpnii 这一估计量与矩估计量是相同(xin tn)的.第二十八页，共100页。.,),(22122的的最最大

18、大似似然然估估计计量量和和求求的的一一个个样样本本值值是是来来自自为为未未知知参参数数设设总总体体 XxxxNXn解的概率密度为的概率密度为X,),;()(222221 xexpX 的似然函数(hnsh)为,21),(222)(12 ixnieL例5第二十九页，共100页。,)(21ln2)2ln(2),(ln12222 niixnnL 0),(ln0),(ln222 LL令令,0112 niinx ,0)()(21212222 niixn 第三十页，共100页。解得解得由由0112 niinx ,11xxnnii 解得解得由由0)()(21212222 niixn ,)(1212xxnnii

19、 为为的最大似然估计量分别的最大似然估计量分别和和故故2 ,X .)(1212XXnnii 它们(t men)与相应的矩估计量相同.第三十一页，共100页。.,21的的最最大大似似然然估估计计量量求求的的一一个个样样本本值值是是来来自自总总体体未未知知其其中中上上服服从从均均匀匀分分布布在在设设总总体体baXxxxbabaXn解),min()(nxxxx211 记记),max()(nnxxxx21 的概率密度为的概率密度为X 其它,),;(01bxaabbaxp例6第三十二页，共100页。,)()(bxxabxxxann 121等价于因为的函数的似然函数为的函数的似然函数为作为作为ba, 其它

20、,)(),()()(011nnxbxaabbaL有的任意于是对于满足条件baxbxan,)()( 1,)()(),()()(nnnxxabbaL111 第三十三页，共100页。,nnnxxxbxabaL )(,),()()()()(11取到最大值时在即似然函数的最大似然估计值的最大似然估计值ba,min)(inixxa 11,max)(ininxxb 1的最大似然估计量的最大似然估计量ba,min1iniXa .max1iniXb 说明：用求导方法求参数(cnsh)的最大似然估计有时行不通，这时要用极大似然原则来求 .第三十四页，共100页。小结小结(xioji)两种求点估计的方法(fngf)

21、: 矩估计(gj)法最大似然估计法在统计问题中往往先使用最大似然估计法, 在最大似然估计法使用不方便时, 再用矩估计法.);();,()( niinxpxxxLL121似然函数似然函数第三十五页，共100页。费希尔资料费希尔资料(zlio)Ronald Aylmer FisherBorn: 17 Feb 1890 in London, EnglandDied: 29 July 1962 in Adelaide, Australia第三十六页，共100页。第三节第三节 估计量的评价估计量的评价(pngji)(pngji)标标准准一、无偏性二、有效性三、相合(xin h)性第三十七页，共100页。

22、问题问题(wnt)的提出的提出 从前一节可以看到, 对于同一个参数, 用不同的估计方法求出的估计量可能(knng)不相同,那么那一个估计量好？好坏的标准是什么?下面(xi mian)介绍几个常用标准.第三十八页，共100页。一、无偏一、无偏(w pin)性（无性（无偏偏(w pin)估计）估计）的的一一个个样样本本，为为总总体体若若XXXXn,21 ,的的分分布布中中的的待待估估参参数数是是包包含含在在总总体体 X )(的的取取值值范范围围是是 无偏(w pin)估计的实际意义: 无系统误差.无偏性是对估计量的一个常见(chn jin)而重要的要求 . ,)(的无偏估计量是则称有且对于任意存在

23、的数学期望若估计量定义,)()(,. EEXXXn2126. ,)(的无偏估计量是则称有且对于任意存在的数学期望若估计量定义,)()(,. EEXXXn2126第三十九页，共100页。.1 , ,)1()(121的的无无偏偏估估计计阶阶总总体体矩矩是是阶阶样样本本矩矩总总体体服服从从什什么么分分布布论论的的一一个个样样本本，试试证证明明不不是是又又设设存存在在阶阶矩矩的的设设总总体体knikiknkkkXnAkXXXXkXEkX 证同分布，同分布，与与因为因为XXXXn,21)()(kkiXEXE 故有故有., 2 , 1,nik nikikXEnAE1)(1)(即即.k 例1. 的无偏估计的

24、无偏估计阶总体矩阶总体矩是是阶样本矩阶样本矩故故kkkAk 第四十页，共100页。特别(tbi)地:.)(1估估计计量量的的无无偏偏的的数数学学期期望望总总是是总总体体 XEXX 不论总体(zngt) X 服从什么分布,只要它的数学期望(qwng)存在,第四十一页，共100页。. 0, , ,1/ 的的无无偏偏估估计计都都是是和和的的样样本本，试试证证是是来来自自总总体体又又设设其其中中参参数数其其它它度度概概率率密密的的指指数数分分布布服服从从参参数数为为设设总总体体 ),min(, 00,1);(21)1(21nnxXXXnnXXXXXXxexpX证)(XE因为因为,)( XE. 的无偏估

25、计量的无偏估计量是是所以所以 X例2第四十二页，共100页。min,0( ; )0,nxnexpx其其它它(1) (),E Xn故故知知(1)(),E nX. 的无偏估计量也是所以)(1nX 由以上两例可知,同一个参数可以(ky)有不同的无偏估计量.(1)12 min(,) nXXXX而而具有概率密度第四十三页，共100页。 无偏(w pin)性虽然是评价估计量的一个重要标准，而且在许多场合是合理的、必要的。然而，有时一个参数的无偏(w pin)估计可能不存在或者不合理。 于是，人们又在无偏性的基础上增加了对方差的要求。若估计量的方差越小。表明该估计量的取值（即估计值）围绕着待估参数(cnsh

26、)的波动就越小，也就是更为理想的估计量。为此，引入最小方差无偏计。第四十四页，共100页。设二、有效性（最小方差无偏二、有效性（最小方差无偏(w pin)估估计）计） 由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离(pinl)程度, 所以无偏估计以方差小者为好.11122212(,)(,)nnXXXXXX与都是 的无偏估计量，若有 ，则称 比 有效.12()()DD12第四十五页，共100页。 .X ,有效较的无偏估计量时试证当)(11nXn 证明(zhngmng),)( 2 XD由于由于,)( 2nXD 故有故有,)()(221nXD 又因为,)()(21 nXD 故有 ,1时时当当 n),()(

27、)(XDnXD 1 .X 有效较的无偏估计量故)(1nX例3 (续例2)第四十六页，共100页。说明说明(shumng).),()()(,MVUEDD缩写为量的最小方差无偏估计是则称都有的任意无偏估计量使得对于的一个无偏估计量如果存在000 最小方差(fn ch)无偏估计是一种最优估计.定义(dngy)第四十七页，共100页。 有时候我们不仅要求估计(gj)量有较小的方差，还希望当样本容量n充分大时，估计(gj)量能在某种意义下收敛于被估计(gj)参数，这就是所谓相合性（或一致性）概念。 定义 设 是未知参数 估计序列(xli)，如果 依概率收敛于 ，即对任有 12(,)nnnXXXn01|l

28、im nnP三、相合(xin h)性（相合(xin h)估计）0|lim nnP或则 称是 的相合估计量（或一致估计）。n第四十八页，共100页。定理 设 是 的一个估计量，若n则 是 的相合估计（或一致估计）。n nP0221nE证明(zhngmng)：由于且lim()nnElim()0nnD221()()nnDE22)()(1 nnnEEE令 且由定理的假设，得 n即 是 的相合估计nlim0nnP第四十九页，共100页。小结小结(xioji)估计量的评选(pngxun)的三个标准 无偏(w pin)估计最小方差无偏估计相合估计 相合性是对估计量的一个基本要求, 不具备相合性的估计量是不予

29、以考虑的. 由最大似然估计法得到的估计量, 在一定条件下也具有相合性.估计量的相合性只有当样本容量相当大时,才能显示出优越性, 这在实际中往往难以做到,因此,在工程中往往使用无偏性和有效性这两个标准.第五十页，共100页。第四节第四节 区间区间(q jin)(q jin)估计估计一、区间(q jin)估计基本概念二、正态总体均值与方差 的区间(q jin)估计第五十一页，共100页。引言(ynyn) 前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大(b d). 区间估计正好弥补了点

30、估计的这个缺陷 .第五十二页，共100页。一、区间一、区间(q jin)估计基本概念估计基本概念1. 置信区间的定义(dngy),11),(),(,)10(,);(212122211121 PXXXXXXXXXxFXnnn满满足足和和确确定定的的两两个个统统计计量量若若由由样样本本对对于于给给定定值值数数含含有有一一个个未未知知参参的的分分布布函函数数设设总总体体.1 ,1 ,1 ,2121为置信度为置信度的置信下限和置信上限的置信下限和置信上限的双侧置信区间的双侧置信区间分别称为置信度为分别称为置信度为和和间间的置信区的置信区的置信度为的置信度为是是则称随机区间则称随机区间 12P1 第五十

31、三页，共100页。关于定义(dngy)的说明. , , , , 21是是随随机机的的而而区区间间没没有有随随机机性性但但它它是是一一个个常常数数虽虽然然未未知知被被估估计计的的参参数数. , , ,2121 11的的概概率率落落入入随随机机区区间间以以而而不不能能说说参参数数的的真真值值的的概概率率包包含含着着参参数数以以随随机机区区间间121 P 因因此此定定 中中以以下下表表 式式的的本本 是是: : 义达质第五十四页，共100页。例如(lr) , 1000 0.01, 次次反复抽样反复抽样若若 .10 1000 个个真真值值的的约约为为个个区区间间中中不不包包含含则则得得到到的的 第五十

32、五页，共100页。这里(zhl)有两个要求:由定义(dngy)可见， 对参数 作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造统计量)1112(,)nXXX2212(,)nXXX12() 一旦有了样本，就把 估计在区间 内.12 , 第五十六页，共100页。即要求估计尽量可靠. 内，就是说，概率 要尽可能大.1. 要求 以很大的可能被包含在区间12 , 12P2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则.21可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件(tiojin)下尽可能提高精度.第五十七页，共100页。2. 求置信区间的一般(ybn)步骤(

33、共3步). )( ,);,(:, )1(2121 包包括括数数且且不不依依赖赖于于任任何何未未知知参参的的分分布布已已知知并并且且其其中中仅仅包包含含待待估估参参数数的的函函数数寻寻求求一一个个样样本本ZXXXZZXXXnn .1);,(,)2(21 bXXXZaPban使使决决定定出出两两个个常常数数对对于于给给定定的的置置信信度度 ,1 . , ,),(, ),( , );,( )(11的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为就是就是那么那么都是统计量都是统计量其中其中不等式不等式得到等价的得到等价的若能从若能从 13212122211221nnnXXXXXXbXXXZa第五十八页

34、，共100页。.,1,区区间间估估计计精精度度降降低低可可信信程程度度增增大大长长度度增增大大置置信信区区间间增增大大置置信信度度固固定定样样本本容容量量 n.,1区区间间估估计计精精度度提提高高可可信信程程度度不不变变长长度度减减小小置置信信区区间间增增大大样样本本容容量量固固定定置置信信度度n 第五十九页，共100页。12n22n1, X ,X ,X N( ,), X,S. 设给定置信度为并设为总体的样本分别是样本均值和样本方差二、正态总体均值与方差的区间二、正态总体均值与方差的区间(q jin)(q jin)估计估计 1 的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为 .unX 2/

35、,)1(2为为已已知知 的置信区间的置信区间均值均值 1.),(2 NI 单个总体的情况第六十页，共100页。 , 的无偏估计的无偏估计是是因为因为 X),1 , 0(/ NnXU 且且 ,)1 , 0(/数的数的是不依赖于任何未知参是不依赖于任何未知参NnX 推导(tudo)过程如下:第六十一页，共100页。 ,/ 12unXP, / 122unXunXP即即 分位点的定义知分位点的定义知由标准正态分布的上由标准正态分布的上 第六十二页，共100页。., / 221unXunX的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为于是得于是得这样(zhyng)的置信区间常写成.2 /unX其置信区

36、间的长度(chngd)为. 22/un 第六十三页，共100页。 包糖机某日开工(ki gng)包了12包糖,称得重量(单位:克)分别为506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485. 假设重量(zhngling)服从正态分布,解,12,10 n ,92.502 x计算得计算得,10. 0)1(时时当当 0502 ./uu查表得0.05). 0.10 ( 1 10, 和和分别取分别取置信区间置信区间的的试求糖包的平均重量试求糖包的平均重量且标准差为且标准差为附表2-1,95. 021 ,645. 1例1第六十四页，共100页。 2/unx645.

37、 1121092.502 ,67.507 2/unx645. 1121092.502 ,17.498 90% 的置信区间为的置信区间为的置信度为的置信度为即即 .,.6750717498,05. 0)2(时时当当 ,975. 021 第六十五页，共100页。 02502./uu 95% 的置信区间为的置信区间为的置信度为的置信度为同理可得同理可得 .,.5850826497.,1 ;,1 ,置置信信区区间间也也较较小小较较小小时时当当置置信信度度置置信信区区间间也也较较大大较较大大时时当当置置信信度度从从此此例例可可以以看看出出 附表2-2,96. 1查表得第六十六页，共100页。 ,)2(2

38、为未知为未知 , , 2直接使用此区间不能中含有未知参数由于区间 /unX 1 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为 /2(1) .nSXtnn推导过程(guchng)如下:考虑 是 的无偏估计，可用 替换2 nS22nnSS第六十七页，共100页。/2/2 (1)(1)1,nnSSP XtnXtnnn 即即 1 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为于是得于是得 /2(1) .nSXtnn (1), /nXt nSn又又知知/ 2/ 2(1)(1)1, /nXPtntnSn故故第六十八页，共100页。 有一大批糖果(tnggu),现从中随机地取16袋, 称得重量(克)如下: 49650

39、9502506496493505514512497510504503499508506设袋装糖果的重量(zhngling)服从正态分布, 试求总体均值解,151 0.05, n 503.75,6.2022,nxs得得 . 0.95 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为 附表3-1 : )1( 分布表可知分布表可知查查 nt )15(025. 0t,1315. 2例2第六十九页，共100页。 5%9 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为得得 1315. 2162022. 675.503.,.15074500即即就是说估计袋装糖果(tnggu)重量的均值在500.4克与507.1克之间,

40、这个估计的可信程度为95%. ).( 61. 621315. 2162022. 6 克克其误差不大于其误差不大于 , 的近似值的近似值为为若依此区间内任一值作若依此区间内任一值作 这个(zh ge)误差的可信度为95%.第七十页，共100页。 . 95% , ),(2的置信区间的置信区间的的试求糖包重量试求糖包重量 N解 ,12, n未知未知此时此时 ,92.502 0.05, x ,.*3512 ns : )1( 分布表可知分布表可知查查 nt )11(025. 0t/212.35 (1)2.2017.85,12nstnn于于是是 5%9 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为得得 .,.

41、7751007495,201. 2附表3-2例3(续例1)如果只假设糖包的重量(zhngling)服从正态分布第七十一页，共100页。推导(tudo)过程如下:222(1)(1),nnSn又知 1 2的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为方差方差 2222/21/2(1)(1),. (1)(1)nnnSnSnn . ,未知的情况未知的情况只介绍只介绍根据实际需要根据实际需要 2的的置置信信区区间间方方差差 II.因为 是 的无偏估计2 nS2第七十二页，共100页。 1 2的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为于是得方差于是得方差 2221/2/22(1) (1)(1)1, nnSPnn

42、故故22222/21/2(1)(1) 1, (1)(1)nnnSnSPnn 即即2222/21/2(1)(1),. (1)(1)nnnSnSnn第七十三页，共100页。 1 的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为标准差标准差 22/21/211,.(1)(1)nnnSnSnn进一步可得:注意: 在密度(md)函数不对称时, , 2分布分布分布和分布和如如F 习惯(xgun)上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图).第七十四页，共100页。解,151 0.975,21 0.025,2 n : )1( 2分布表可知分布表可知查查 n 6.2022,ns 得得代入公式(gngsh)得标准差

43、的置信区间.,.609584附表4-1 (续例2) 求例2中总体标准差 的置信度为0.95的置信区间. )15(2025. 0 )15(2975. 0 ,488.27,262. 6附表4-2例4第七十五页，共100页。2、两个总体、两个总体(zngt) 的情况的情况),(),(222211 NN两两总总体体相相互互独独立立的的修修正正样样本本方方差差分分别别是是第第一一、二二个个总总体体总总体体的的样样本本均均值值分分别别是是第第一一、二二个个的的样样本本个个总总体体为为第第二二的的样样本本第第一一个个总总体体为为并并设设给给定定置置信信度度为为.,),(,),(,12*22*12222121

44、12121SSYXNYYYNXXXnn 讨论两个总体均值差和方差(fn ch)比的估计问题.第七十六页，共100页。 ,)1(2221均为已知均为已知和和 1 21的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为 .nnuYX 2221212/ , , , 21的无偏估计的无偏估计分别是分别是因为因为 YX推导(tudo)过程如下: , 21的无偏估计的无偏估计是是所以所以 YX 21的置信区间的置信区间两个总体均值差两个总体均值差 I.第七十七页，共100页。 , 的独立性及的独立性及由由YX,1211 nNX ,2222 nNY , 22212121 nnNYX 可知可知 ,1, 0 22

45、212121NnnYX 或或第七十八页，共100页。 1 21的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为于是得于是得 .nnuYX 2221212/ ,)2(2221均为未知均为未知和和 ),50(21则有则有即可即可实用上实用上都很大都很大和和只要只要 nn 1 21的的近近似似置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为 .nSnSuYX 2221212*/第七十九页，共100页。 , ,)3(222221为未知为未知但但 1 21的的置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为 .11)2(21212/ nnSnntYXw .,)()(*2212222112211wwwSSnnSn

46、SnS 其中第八十页，共100页。例6机床厂某日从两台机床加工(ji gng)的零件中,分别抽取若干个样品,测得零件尺寸分别如下(单位:cm): 第一台机器 6.2, 5.7, 6.5, 6.0, 6.3, 5.8 5.7, 6.0, 6.0, 5.8, 6.0 第二台机器 5.6, 5.9, 5.6, 5.7, 5.8 6.0, 5.5, 5.7, 5.5 假设两台机器加工(ji gng)的零件尺寸均服从正态分布,且方差相等,试求两机床加工(ji gng)的零件平均尺寸之差的区间估计)05. 0( 第八十一页，共100页。解解 用用 X 表示第一台机床加工表示第一台机床加工(ji gng)的

47、零的零件尺寸件尺寸,用用 Y表示第二台机床加工表示第二台机床加工(ji gng)的零件尺寸的零件尺寸,由题设由题设,111n, 92n,05. 01009. 2)18(025. 0t64. 0) 1(2112*111xnxSnnii24. 0) 1(2212*221ynySnnii2) 1() 1(212*222*11nnSnSnS经计算(j sun)，得2211. 0291124. 064. 00 . 6x7 . 5y第八十二页，共100页。0912. 011)18(21025. 0nnStyx5088. 011)18(21025. 0nnStyx置信下限置信上限故所求 的置信度为95%的置

48、信区间为 0.0912,0.5088.21第八十三页，共100页。 . , 21为未知的情况为未知的情况仅讨论总体均值仅讨论总体均值 1 2221的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为 .),(,),(/*/* 111111212122212122221nnFSSnnFSS推导过程(guchng)如下: nSn ),()(*111221211 由于 nSn),()(*112222222 2221的置信区间的置信区间两个总体方差比两个总体方差比 II.第八十四页，共100页。 Sn Sn 22,)()(*相互独立与且由假设知2222121111 根据(gnj)F分布的定义, 知 nnF

49、SS),(*112122222121 SS 22222121*即 nSnnSn)()()()(*1111222222121211 ),1, 1(21 nnF第八十五页，共100页。, ),(),(/*/ 11111212222221212121nnFSSnnFP ,),(),(/*/* 11111112121222122212122221nnFSSnnFSSP 1 2221的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为于是得于是得 .),(,),(/*/* 111111212122212122221nnFSSnnFSS第八十六页，共100页。解,181 n,132 n例7研究由机器A和机器B

50、生产的钢管内径, 随机抽取机器A生产的管子18只, 测得样本方差为均未知, 求方差比 .900 的置的置的置信度为的置信度为区间.设两样本相互独);(. *221340mms ).(. *222290mms 抽取机器B生产的管子13只,测得样本方差为立,且设由机器A和机器B生产的钢管内径分别服从正态分布),(),(222211 NN)2 , 1(,2 iii 2221 信,10. 0 ),(.*221340mms ),(.*222290mms 第八十七页，共100页。,59. 2)12,17()1, 1(05. 0212/ FnnF )12,17()12,17(95. 02/1FF ,38.

51、21)17,12(105. 0 F .900 2221的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为于是得于是得 38. 229. 034. 0,59. 2129. 034. 0 .79. 2,45. 0 第八十八页，共100页。解, 91 n, 62 n,02. 0 例8的置甲、乙两台机床加工同一种零件, 在机床甲加工的零件中抽取9个样品, 在机床乙加工的零件信区间. 假定测量值都服从正态分布, 方差分别为在置信度,. *245021 s,. *357022 s由所给数据算得0.98下, 试求这两台机床加工精度之比.,2221 21 中抽取6个样品,并分别测得它们的长度(单位:mm), 3

52、 .10)5, 8()1, 1(99. 0212/1 FnnF 第八十九页，共100页。)5, 8()5, 8(01. 02/FF ,63. 61)8, 5(199. 0 F .980 21的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为于是得于是得 ),(,),(/*/* 111111212122212122221nnFSSnnFSS .,. 3570636245031035702450 .,.13322580 第九十页，共100页。三、小结三、小结(xioji) 点估计不能反映(fnyng)估计的精度, 故而本节引入了区间估计.求置信区间的一般(ybn)步骤(分三步). 1)()(,212

53、1P ，有，有意的意的，即对于任，即对于任置信度置信度率率数具有预先给定的高概数具有预先给定的高概它覆盖未知参它覆盖未知参间间置信区间是一个随机区置信区间是一个随机区第九十一页，共100页。 . 1的置信区间的置信区间单个总体均值单个总体均值 ,)1(2为已知为已知 .unX 2/ ,)2(2为未知为未知 .)(/* 12ntnSXn . 22的置信区间的置信区间单个总体方差单个总体方差 nSnnSnnn.)()(,)()(/*/* 11112212222正态总体均值(jn zh)与方差的区间估计第九十二页，共100页。 . 321的置信区间的置信区间两个总体均值差两个总体均值差 ,2221均

54、均为为已已知知和和 .nnuYX 2221212/ ,2221均均为为未未知知和和 .nSnSuYX 2221212*/但n充分(chngfn)大时近似置信区间第九十三页，共100页。 . 42221的置信区间的置信区间两个总体方差比两个总体方差比 , 21为未知为未知总体均值总体均值 nnFSSnnFSS.),(,),(/*/* 111111212122212122221 , ,222221为未知为未知但但 .11)2(21212/ nnSnntYXw 第九十四页，共100页。附表附表2-12-1标准(biozhn)正态分布表z0.000.010.020.030.040.050.060.07

55、0.080.090.01.00.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850

56、.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360

57、.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720.71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800

58、.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645第九十五页，共100页。z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.01.92.03.00.94520.95540.9641

59、0.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99930.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.9901

60、0.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.96980.95150.96080.96860.97500.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.9979