工程力学-平面任意力系

工程力学—平面任意力系第1页，共64页，2023年，2月20日，星期一力线平移定理定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一个力偶合成一个力。4.1平面任意力系向作用面内一点简化ABMABF′F′F″FABF＝＝F’=F’’=F第2页，共64页，2023年，2月20日，星期一①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力+力偶②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d

③力的平移定理是力系简化的理论基础。说明：第3页，共64页，2023年，2月20日，星期一OxyijOOxyF1F2FnF1′F2′Fn′MnM2M1MOFR′4.2平面任意力系向一点简化·主矢与主矩第4页，共64页，2023年，2月20日，星期一4.2平面任意力系向一点简化·主矢与主矩平面力偶系力偶，MO

(主矩，作用在该平面上)平面任意力系平面汇交力系+平面力偶系向一点简化其中平面汇交力系的合力为平面力偶系的合成结果为平面汇交力系力，(主矢，作用在简化中心)第5页，共64页，2023年，2月20日，星期一平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系的主矢。主矢与简化中心的位置无关。4.2平面任意力系向一点简化·主矢与主矩第6页，共64页，2023年，2月20日，星期一

原力系各力对简化中心力矩的代数和称为原力系对简化中心的主矩。一般来说，主矩与简化中心的位置有关。4.2平面任意力系向一点简化·主矢与主矩平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O。这个力偶的矩等于该力系对于点O的主矩。主矢与简化中心的位置无关，主矩与简化中心的位置有关。第7页，共64页，2023年，2月20日，星期一AAA一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约束称为固定端或插入端约束。补充内容：平面固定端约束MAFAyFAxFAMA说明

①认为Fi这群力在同一平面内;②将Fi向A点简化得一力和一力偶;③FA方向不定，可用正交分力FAx,FAy表示;④FAx,FAy

,

MA为固定端约束反力;⑤

FAx,FAy限制物体平动，MA限制物体转动。第8页，共64页，2023年，2月20日，星期一4.3平面任意力系简化结果分析四种情况：(1)F'R＝0，MO≠0;(2)F'R≠

0，MO＝0;(3)F'R≠

0，MO≠0;(4)F'R＝0，MO＝0(1)平面任意力系简化为一个力偶的情形原力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简化中心的主矩。此时主矩与简化中心的位置无关。

F'R＝0，MO≠0第9页，共64页，2023年，2月20日，星期一4.3平面任意力系简化结果分析(2)平面任意力系简化为一个合力的情形·合力矩定理如果主矩等于零，主矢不等于零，则此时平面力系简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。(3)如果主矢和主矩均不等于零，此时还可进一步简化为一合力。如图OO′FR′dFR″FRFRMOFR′OO′dOO′第10页，共64页，2023年，2月20日，星期一结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点之矩的代数和。这就是平面任意力系的合力矩定理。4.3平面任意力系简化结果分析FRdOO′从图中可以看出所以由主矩的定义知：第11页，共64页，2023年，2月20日，星期一634ABC

[例]图示力系，已知：P1=100N,P2=50N,P3=200N,图中距离单位cm。求：1、力系主矢及对A点之矩？2、力系简化最后结果。解：1、建立坐标系xy2、X=∑Fx=P3=200NY=∑Fy=P1+P2=100+50=150N∴主矢∴=36.9°第12页，共64页，2023年，2月20日，星期一ABCxy2、简化最终结果LA

=mAh主矢主矩最终结果合力大小：方向:=36.9°位置图示：方向：=36.9°在A点左还是右？第13页，共64页，2023年，2月20日，星期一1、均布荷载2、三角形荷载3、梯形荷载补充：平行分布线荷载的简化结果l/2l/2qQQqq2q1可以看作一个三角形荷载和一个均布荷载的叠加第14页，共64页，2023年，2月20日，星期一简化中心：A点主矢三角形分布载荷的简化问题主矩简化最终结果yxmAdxl利用合力矩定理第15页，共64页，2023年，2月20日，星期一分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷载。若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力，则称此力系为平行分布线荷载，简称线荷载。补充：平行分布线荷载的简化qQxyxxCdx第16页，共64页，2023年，2月20日，星期一结论：1、合力的大小等于线载荷所组成几何图形的面积。2、合力的方向与线载荷的方向相同。3、合力的作用线通过载荷图的形心。qQxyxxCdx第17页，共64页，2023年，2月20日，星期一4.4平面任意力系的平衡条件和平衡方程平衡条件平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。即第18页，共64页，2023年，2月20日，星期一平衡方程即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在其作用面内任意两个不平行的坐标轴上投影的代数和等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。上式称为平面任意力系的平衡方程。由于所以第19页，共64页，2023年，2月20日，星期一解：以刚架为研究对象，受力如图。解之得：例1例1求图示刚架的约束反力。APabqAPqFAyFAxMA第20页，共64页，2023年，2月20日，星期一例2例2求图示梁的支座反力。解：以梁为研究对象，受力如图。解之得：ABCPabqmABCPqmFBFAyFAx第21页，共64页，2023年，2月20日，星期一(1)二矩式其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。平衡方程的其它形式第22页，共64页，2023年，2月20日，星期一(2)三矩式其中A、B、C三点不能在同一条直线上。注意：以上格式分别有三个独立方程，只能求出三个未知数。第23页，共64页，2023年，2月20日，星期一例3例3悬臂吊车如图所示。横梁AB长l＝2.5m，重量P＝1.2kN，拉杆CB的倾角a＝30°，质量不计，载荷Q＝7.5kN。求图示位置a＝2m时拉杆的拉力和铰链A的约束反力。第24页，共64页，2023年，2月20日，星期一例3解：取横梁AB为研究对象。ABEHPQFTFAyFAxaa从(3)式解出代入(1)式解出代入(2)式解出第25页，共64页，2023年，2月20日，星期一例3CABEHPQFTFAyFAxaa如果再分别取B和C为矩心列平衡方程得有效的方程组合是：1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；2,4,5；3,4,5第26页，共64页，2023年，2月20日，星期一

力的作用线在同一平面且相互平行的力系称平面平行力系。平面平行力系作为平面任意力系的特殊情况，当它平衡时，也应满足平面任意力系的平衡方程，选如图的坐标，则∑Fx＝0自然满足。于是平面平行力系的平衡方程为：平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：其中AB连线不能与各力的作用线平行。4.5平面平行力系的平衡方程F2F1F3Fn第27页，共64页，2023年，2月20日，星期一[例4]

已知：塔式起重机P=700kN,W=200kN(最大起重量)，尺寸如图。求：①保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？②当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？

第28页，共64页，2023年，2月20日，星期一限制条件：解：⑴首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的Q：②空载时，W=0由限制条件为：解得因此保证空、满载均不倒，Q应满足如下关系：解得:第29页，共64页，2023年，2月20日，星期一⑵求当Q=180kN，满载W=200kN时，NA,NB为多少由平面平行力系的平衡方程可得：

解得：第30页，共64页，2023年，2月20日，星期一在静力学中求解物体系统的平衡问题时，若未知量的数目不超过独立平衡方程数目，则由刚体静力学理论，可把全部未知量求出，这类问题称为静定问题。若未知量的数目多于独立平衡方程数目，则全部未知量用刚体静力学理论无法求出，这类问题称为静不定问题或超静定问题。而总未知量数与总独立平衡方程数之差称为静不定次数。4.6静定和超静定问题第31页，共64页，2023年，2月20日，星期一

静不定问题将在其它力学课程（材力,结力,弹力）中用位移协调条件来求解。静定（未知数三个）

静不定（未知数四个）第32页，共64页，2023年，2月20日，星期一判断各图的超静定次数第33页，共64页，2023年，2月20日，星期一4.7物体系统的平衡问题由若干个物体通过约束所组成的系统称为物体系统，简称物系。外界物体作用于系统的力称该系统的外力。系统内各物体间相互作用的力称该系统的内力。当整个系统平衡时，系统内每个物体都平衡。反之，系统中每个物体都平衡，则系统必然平衡。因此，当研究物体系统的平衡时，研究对象可以是整体，也可以是局部，也可以是单个物体。第34页，共64页，2023年，2月20日，星期一例5例5求图示三铰刚架的支座反力。解：先以整体为研究对象，受力如图。可解得：CBqaaaAFFAxFAyqCBAFFBxFBy第35页，共64页，2023年，2月20日，星期一例5再以AC为研究对象，受力如图。解得：FAxFAyFCxFCyAFCCBqaaaAF第36页，共64页，2023年，2月20日，星期一例6例6求图示多跨静定梁的支座反力。解：先以CD为研究对象，受力如图。再以整体为研究对象，受力如图。CBq22FAD13FCxFCyFDqFFAxFAyFDFBq解得CDCBAD第37页，共64页，2023年，2月20日，星期一例7例7求图示结构固定端的约束反力。解：先以BC为研究对象，受力如图。再以AB部分为研究对象，受力如图。求得CBqFAMbaaFBMCBFCF'BFAyqFBAMAFAx第38页，共64页，2023年，2月20日，星期一例4例8组合结构如图所示，求支座反力和各杆的内力。解：先以整体为研究对象，受力如图。解之得：aaabDACEFBq123DACEFBq123FDFAxFAy第39页，共64页，2023年，2月20日，星期一F1F2F3Cxy45°例4再以铰C为研究对象，受力如图，建立如图坐标。aaabDACEFBq123第40页，共64页，2023年，2月20日，星期一例8例9结构的荷载和尺寸如图，CE＝ED，试求固定端A和铰支座B的约束反力。解：先以BD为研究对象，受力如图。再以CDB局部为研究对象，受力如图。MFByFBxBDFDxFDyMFByFBxFCxFCyFBDC30°q0FABDC30°M3aaE第41页，共64页，2023年，2月20日，星期一例8最后以整体为研究对象，受力如图。解之得：q0FABDC30°MFByFBxFAyMAFAxq0FABDC30°M3aaE第42页，共64页，2023年，2月20日，星期一例9例10图示结构，各杆在A、E、F、G处均为铰接，B处为光滑接触。在C、D两处分别作用力P1和P2，且P1＝P2＝500N，各杆自重不计，求F处的约束反力。解：先以整体为研究对象，受力如图。解得：2m2m2m2m2m2mADEFGBCP1P2P1P2ADEFGBCFAxFAyFB第43页，共64页，2023年，2月20日，星期一例9再以DF为研究对象，受力如图。解得：最后以杆BG为研究对象，受力如图。解得：P2DEFFEyFFyFFxFExFGyFBFGBFGxF'FyF'Fx2m2m2m2m2m2mADEFGBCP1P2第44页，共64页，2023年，2月20日，星期一例12例11两根铅直梁AB、CD与水平梁BC铰接，B、C、D均为光滑铰链，A为固定支座，各梁的长度均为l＝2m，受力情况如图所示。已知水平力F＝6kN，M＝4kN·m，q＝3kN/m。求固定端A及铰链C的约束反力。ABCDF2l/3l/2Mq0MBCFByFBxFCxFCy解:(1)取BC分析求得结果为负说明与假设方向相反。第45页，共64页，2023年，2月20日，星期一例12(2)取CD分析FCDF'CxF'CyFDxFDy求得结果为负说明与假设方向相反。ABCDF2l/3l/2Mq0MBCFByFBxFCxFCy第46页，共64页，2023年，2月20日，星期一例12Mq0FCxFCyFAyMAFAxBCA(3)取ABC进行分析求得结果为负说明与假设方向相反，即为顺时针方向。ABCDF2l/3l/2Mq0MBCFByFBxFCxFCy第47页，共64页，2023年，2月20日，星期一4.8平面简单桁架(补充)平面简单桁架的内力分析第48页，共64页，2023年，2月20日，星期一第49页，共64页，2023年，2月20日，星期一工程中的桁架结构第50页，共64页，2023年，2月20日，星期一

桁架是由杆件彼此在两端用铰链连接形成的几何形状不变的结构。桁架中所有杆件都在同一平面内的桁架称为平面桁架。桁架中的铰链接头称为节点。

为简化桁架计算，工程实际中采用以下几个假设：(1)桁架的杆件都是直杆；(2)杆件用光滑铰链连接；(3)桁架所受的力都作用到节点上且在桁架平面内；(4)桁架杆件的重量略去不计，或平均分配在杆件两端的节点上。这样的桁架，称为理想桁架。其中的每根杆件都只是在两端受力,所以所有的杆件都是二力杆。第51页，共64页，2023年，2月20日，星期一

桁架内每个节点都受平面汇交力系作用，为求桁架内每个杆件的内力，逐个取桁架内每个节点为研究对象，求桁架杆件内力的方法即为节点法。节点法第52页，共64页，2023年，2月20日，星期一

例12平面桁架的尺寸和支座如图，在节点D处受一集中荷载F=10kN的作用。试求桁架各杆件所受的内力。解：先以整体为研究对象，受力如图。节点法2mF2mABCD30°13425AB30°134DCFFByFAyFAx第53页，共64页，2023年，2月20日，星期一再分别以节点A、C、D为研究对象，受力如图。FAyFAxF1F2AFF'3F'2F5DF3F4F'1C节点A节点C节点D解上述5个方程得其中1，4杆受压。25AB30°134DCFFByFAyFAx第54页，共64页，2023年，2月20日，星期一三杆节点无载荷、其中两杆在一条直线上，另一杆必为零力杆。四杆节点无载荷、其中两两在一条直线上，同一直线上两杆内力等值。两杆节点无载荷、且两杆不在一条直线上时，该两杆是零力杆。特殊杆件的内力判断①②③第55页，共64页，2023年，2月20日，星期一[例13]已知Pd,求：a.b.c.d四杆的内力？解：由零杆判式研究A点：第56页，共64页，2023年，2月20日，星期一

用假想的截面（截面可以是平面，也可以是曲面）将桁架截开，取至少包含两个节点以上部分为研究对象，考虑其平衡，求出被截杆件内力，这就是截面法。截面法第57页，共64页，2023年，2月20日，星期一例15FAyFAxABCDEFGFEFGFF123FBy例14图示平面桁架，各杆长度均为1m，在节点E，G，F上分别作用荷载FE＝10kN，FG＝7kN，FF＝5kN。试求杆1、2、3的内力。解：取整体分析解得第58页，共64页，2023年，2月20日，星期一ABCDEFGFEFGFF123AFECDE解得为求1、2、3杆的内力，可作一截面m