江苏省南京市九中、十三中2024-2025年高三上学期8月阶段性学情检测数学试题（解析）

2024年高三上学期8月阶段性学情检测数学（时间：120分钟满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式求出集合，再进行逐项判断看到答案.【详解】因为，故，又，所以没有包含关系，，.所以ABC错误，D正确.故选：D.2.设复数，若为纯虚数，则实数A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】先根据复数除法化简，再根据纯虚数概念求解.【详解】因为为纯虚数，所以.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查复数除法运算以及纯虚数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.3.血压差是指血压的收缩压减去舒张压的值.已知某校学生的血压差服从正态分布.若.则随机变量的第90百分位数的估计值为（）A.42 B.38 C.36 D.34【答案】D【解析】分析】借助正态分布定义与百分位数定义计算即可得.【详解】由，则，则，故随机变量的第90百分位数的估计值为.故选：D.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据两角和公式结合切化弦得出，再应用两角差余弦计算.【详解】因为,又因为,所以,所以.故选：A.5.已知函数，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是（）A.在上是增函数 B.其图象关于直线对称C.函数是奇函数 D.在区间上的值域为【答案】D【解析】【分析】根据辅助角公式化简三角函数式，由函数图象平移变换可求得函数，结合余弦函数的图象与性质即可判断各选项.【详解】，沿轴向左平移个单位，得．对于A，当，单调递减，所以选项A错误；对于B，，则图象关于对称，所以选项B错误；对于C，是偶函数．所以选项C错误；对于D，当，则，所以D正确，综上可知，正确的为D.故选：D．【点睛】本题考查了辅助角公式化简三角函数式的应用，三角函数平移变换及余弦函数图象与性质的应用，属于基础题.6.已知数列满足，，若为数列的前项和，则（）A.624 B.625 C.626 D.650【答案】C【解析】【分析】根据给定递推公式，按奇偶分类求和即得.【详解】数列中，，，当时，，即数列的奇数项构成等差数列，其首项为1，公差为2，则，当时，，即数列的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为，则，所以.故选：C7.已知点引圆的两条切线，切点分别为为坐标原点，若为等边三角形，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由直线与圆的位置关系可得，可得点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，由此分析可得答案.【详解】根据题意，圆，即是以为圆心，半径为的圆，连接，若为等边三角形，则，在中，，易得，故点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，又由，则，即，故的取值范围是.故选：B.8.已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用同构变形得到，构造函数，，结合其单调性和求解的是a的最小值，考虑两种情况，进行求解，最终求得实数a的最小值.【详解】因为，所以，即，构造函数，所以，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时因为当时，单调递减，故，两边取对数得：，令，则，令得：，令得：，所以在单调递增，在单调递减，所以故a的最小值是．故选：C【点睛】同构法针对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.加斯帕尔・蒙日是18-19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（）A.椭圆的离心率为B.若为正方形，则的边长为C.椭圆的蒙日圆方程为D.长方形的面积的最大值为14【答案】ACD【解析】【分析】根据椭圆方程可求得离心率，知A正确；根据蒙日圆方程定义可知C正确；结合长方形的对角线长和基本不等式可求得B错误D正确.【详解】对于A，由椭圆的方程知，则，椭圆的离心率，A正确；对于C，由A知，椭圆对应的蒙日圆方程为，C正确；对于B，由C可知，正方形是圆的内接正方形，正方形对角线长为圆的直径，正方形的边长为，B错误；对于D，设长方形的长和宽分别为长方形的对角线长为椭圆对应蒙日圆的直径，长方形的面积（当且仅当时取等号），即长方形的面积的最大值为14，D正确．故选：ACD．10.现有甲、乙两个盒子，甲盒装有6个白球3个红球，乙盒装有5个白球5个红球，则下列说法正确的是（）A.甲盒中一次取出3个球，至少取到一个红球的概率是B.乙盒有放回地取3次球，每次取一个，取到2个白球和1个红球的概率是C.甲盒不放回地取2次球，每次取一个，第二次取到红球的概率是D.甲盒不放回地多次取球，每次取一个，则在第一、二次都取到白球的条件下，第三次也取到白球的概率是【答案】BC【解析】【分析】A选项利用超几何分布求概率公式即可计算；B根据二项分布求概率公式计算即可；C选项、D选项利用全概率公式与条件概率公式即可求解.【详解】对于A，记“甲盒中取3球至少一个红球”，则，故A错误；对于B，记“乙盒有放回的取3次球，取到2个白球”，则，故B正确；对于C，记“甲盒不放回第i次取到红球”，则，故C正确.对于D，，故D不正确.故选：BC.11.如图所示，在棱长为1的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（）A.B.平面C.A到直线MN的距离为D.过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】由可得判断AB，利用，，求出距离可判断C，由对称性得过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小的圆是以所在弦为直径的圆，圆心为中点，求出圆面积断D．【详解】正方体中，，而M，N分别为棱，的中点，则，所以，A正确，B错误；设与分别交于点，则，，由M，N分别为棱，的中点，知是中点，，C正确；正方体外接球球心是正方体对角线交点，由对称性知过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积最小的圆是以所在的弦为直径的截面圆，即截面圆圆心为，，，，，截面圆半径为，则，面积为，D正确．故选：ACD．【点睛】关键点点睛：本题考查正方体中的平行与垂直，考查球的截面圆问题．特殊的几何图形如正方体、正四面体等几何体中有许多直线、平面间的平行与垂直关系，我们必须掌握，并能应用，在判断D时，利用正方体的对称性是解题的关键．这样可得到面积最小的截面圆的直径是所在的弦，从而求得半径长．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知奇函数的定义域R，若为偶函数，且，则______．【答案】【解析】【分析】根据函数的奇偶性、对称性求得正确答案.【详解】由于是定义在上的奇函数，所以，由于为偶函数，所以关于直线对称，所以.故答案为：13.在边长为2的菱形中，分别为的中点，，则__________.【答案】【解析】【分析】根据数量积定义结合余弦定理求出，再由余弦定理求得，然后建立平面直角坐标系，利用坐标计算可得.【详解】记与交于点O，，由题知，①，在中，由余弦定理有②，联立①②解得，所以，因为，所以.所以，以O为原点，所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则，所以，所以.故答案为：14.如图，一点从正方形的顶点处出发在各顶点间移动，每次移动要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步；要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步．设移动步后回到点的概率为，到达点的概率为，则________，________．【答案】①.②.【解析】【分析】根据相互独立事件及互斥事件的概率公式求出，，再由、，即可得到是以为首项、公比的等比数列，从而求出的通项公式.【详解】依题意，，又，，所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以.故答案为：；【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出、，再结合等比数列的定义求出的通项公式.四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝7，sinC＝.（1）若cosB＝，求b的值；（2）若a＋b＝11，求△ABC的面积．【答案】（1）b＝5；（2）6.【解析】【分析】（1）由正弦定理计算；（2）由余弦定理及求得，再由面积公式计算面积．【详解】（1）在△ABC中，因为cosB＝，且B∈，所以sinB＝，根据正弦定理＝，及c＝7，sinC＝，解得b＝5.（2）在△ABC中，因为sinC＝，所以cosC＝±.当cosC＝时，根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，及a＋b＝11，c＝7，得49＝121－2ab－，所以ab＝30，所以解得或.所以△ABC的面积S△ABC＝absinC＝6.当cosC＝－时，根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，及a＋b＝11，c＝7，得ab＝45，此时方程组无解．综上，△ABC的面积为6.16.记递增的等差数列的前项和为，已知，且.（1）求和；（2）设.求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前项和；（2）利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】设的公差为，因为，所以，又，所以，解得，所以，．【小问2详解】，所以．17.如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，E是PD的中点．（1）证明：直线平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）取PA的中点为F，连接EF，BF，证得，进而根据线面平行的判定定理即可得出结论；（2）建立空间直角坐标系，空间向量表示直线BM与底面ABCD所成角，进而利用二面角的向量方法求解即可.【小问1详解】取PA的中点F，连接EF，BF，如图．是PD的中点，，．由得，又，，，四边形BCEF是平行四边形，，又平面PAB，平面PAB，平面PAB．小问2详解】由已知得，以A为坐标原点，方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A0,0,0，B1,0,0，C1,1,0，，，设，则，．因为BM与底面ABCD所成的角为，是底面ABCD的法向量，，即．①又M在棱PC上，设，则，，．②由①②解得（舍去）或所以，从而．设是平面ABM的法向量，则即所以可取．于是．因此二面角的余弦值为．18.已知双曲线的离心率为，右顶点为.为双曲线右支上两点，且点在第一象限，以为直径的圆经过点.（1）求的方程；（2）证明：直线恒过定点；（3）若直线与轴分别交于点，且为中点，求的值.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据离心率以及顶点即可求解，（2）联立直线与双曲线方程，得韦达定理，由垂直得斜率关系，即可代入化简求解，（3）根据中点坐标可得，即可根据三角形面积之比求解.【小问1详解】右顶点，解得.【小问2详解】设Ax1,联立，得则，即..以为直径的圆经过点即，化简得当时，直线经过点，不符条件，舍去..直线必过定点.【小问3详解】由（2）知.,为中点，，代入得.由得.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.19.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若的极大值为，求的取值范围；（3）若，证明：当时，.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，计算导数得到答案；（2）分情况讨论单调性，即可得到的取值范围；（3）将命题转化为证明，然后利用导数证明即可.【小问1详解】我们有.当时，.所以曲线y=fx在点处的切线斜率为，从而切线方程