2022-2023学年江苏省苏州市常熟市高一（下）期中数学试卷及答案解析

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年江苏省苏州市常熟市高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若复数z满足z=4−3i，则A.3 B.−3 C.3i 2.已知向量a=(0,1)，b=(A.3a B.34b 3.定义：|a×b|=|a|⋅|b|⋅sinθ，其中A.−8 B.8 C.−8或8 4.在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若AA.23 B.45 C.565.在△ABC中，若sinCA.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形6.已知sin(α−π3)A.13 B.−13 C.77.在△ABC中，内角为A，B，C，且0<B≤π3.若对于任意实数A.(−∞,−1]∪[18.若AB=4，AC=3CB，平面内一点PA.23 B.12 C.13二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列关于平面向量的说法中正确的是(

)A.已知a，b均为非零向量，若a//b，则存在唯一的实数λ，使得a=λb

B.已知非零向量a=(1,2)，b=(1,1)，且a与a+λ10.欧拉公式exi=cosA.e2π3i对应的点位于第二象限 B.eπ2i为纯虚数

C.e11.将函数f(x)=sin(2xA.y=f(x)在[π3,π2]上是减函数

B.由f(x1)=f(12.奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA⋅OA+SB⋅OB+SCA.O为△ABC的垂心

B.∠AOB=π−C

C.|O三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若i是虚数单位，z=i+2i2+314.已知空间向量a，b满足|a|=2，|b|=3，且a，b的夹角为π315.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD=35m，∠ADB=135°，16.如图，△ABC中，AB=8，AC=7，BC=5，G为△ABC重心，P为线段BG上一点，则PA⋅

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

(1)已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，|z|=2，且z+z−=−218.(本小题12.0分)

已知平面直角坐标系内三点A、B、C在一条直线上，满足OA=(−3,m+1)，OB=(n,3)，OC=(7,4)，且19.(本小题12.0分)

已知向量m=(sinx,−3)，n=(1,cosx)，且函数f(x)=m⋅n20.(本小题12.0分)

筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理.如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m.筒车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为y(单位：m)(在水面下则y为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t(单位：min)之间的关系为y=Asin(ωt+φ)+b(A21.(本小题12.0分)

在①cosBcosC=−b2a+c，②sinAsinB−sinC=b+ca+c，③2S=−3BA22.(本小题12.0分)

对于函数y=f(x)，x∈(0,+∞)，任意a，b，c∈R且a≥0，b≥0，c≥0，都有f(a)，f(b)，f(c)是一个三角形的三边长，则称函数y=f(x)为(答案和解析1.【答案】B

【解析】解：复数z满足z=4−3i，则z的虚部是−3．

故选：B2.【答案】B

【解析】解：向量a=(0,1)，b=(1,3)，则a在b上的投影为：a⋅b|b|=32，

∴3.【答案】B

【解析】解：由题意可得2×5cosθ=−6，解得cosθ=−35，再由0≤θ≤π可得

sinθ4.【答案】C

【解析】解：由题可知AE=23(AB+AD)，

∵点F在BE上，

∴AF=λAB+(15.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查三角形形状的判断，涉及两角和与差的三角函数公式，属基础题．

由两角和与差的三角函数公式结合三角形的知识可得cosA=0或sinA=sinB.进而可作出判断．

【解答】

解：∵sinC+sin(B−A)=sin2A，

∴sin(6.【答案】D

【解析】【分析】利用两角和与差的正弦公式，诱导公式化简已知等式可得cos(α−【解答】解：因为sin(α−π3)+3cosα

7.【答案】A

【解析】解：在△ABC中，0<B≤π3，

设m=2sin(B+π4)，则sin2B=m2−1，

因为0<B≤π3，

所以π4<B+π4≤7π12，

所以1<m≤2，

所以(x+2+sin2B)2+[28.【答案】C

【解析】解：由向量关系AB=4，AC=3CB，

可得PC是∠APB角平分线，∴PA=3PB，

构造阿波罗尼斯圆，A(−2,0)，B(2,0)，

设P(x,y)，则：9.【答案】AD【解析】【分析】本题考查平面向量共线定理、向量的线性运算、向量数量积的性质以及计算，涉及向量夹角的夹角计算，属于基础题．

根据题意，依次根据相关知识分析选项是否正确，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，符合向量共线定理，正确；

对于B，当λ=0时，a与a+λb共线，a与a+λb的夹角不是锐角，B错误；

对于C，若c=(1,0)，a=(0,−1)，b

10.【答案】BC【解析】解：e2π3i=cos2π3+isin2π3=−12+32i，对应的点位于第四象限，所以A不正确；

eπ2i=cos11.【答案】AC【解析】解：f(x)=sin(2x−π6)，

对于A，当x∈[π3,π2]时，2x−π6∈[π2,5π6]，

因为y=sinx在[π2,5π6]上单调递减，

所以f(x)=sin(2x−π6)在[π3,π2]上是减函数，故A正确；

对于B，当x1=π6，x2=π2时，f(x1)=f(x2)=12，但x1−x212.【答案】AB【解析】解：如图，

A：∵OA⋅OB=OB⋅OC，∴(OA−OC)⋅OB=0，∴CA⋅OB=0，∴CA⊥OB，同理AB⊥OC，

∴O为△ABC外心，∴A正确，

B：∵在四边形ODCE中，∠OEC=∠ODC=90°，∴∠DOE+∠DCE=180°，

∴∠DOE=18013.【答案】2【解析】解：化简原式，

可得z=i+2i2+3i3+⋅⋅⋅+814.【答案】65【解析】解：(2a−b)⊥(λa+2b)，

则(2a−b)⋅(λa+2b)=0，即2λ15.【答案】35【解析】解：如图所示：

△BCD中，CD=35m，∠BDC=15°，∠BCD=∠ACB+∠DCA=120°+15°=135°，

所以∠CBD=30°，由正弦定理得BDsin135∘=35sin30∘，解得BD=352(16.【答案】20

[−【解析】解：延长BG交AC于F，

∵G为△ABC重心，∴F为AC的中点，则BF=12(BA+BC)，

设BP=kBF，

P为线段BG上一点，∴0≤k≤23，

∵G为△ABC的重心，∴BG：BF=2：3，

PA=BA−BP=BA−kBF=BA−k2(BA+BC)=(1−k2)BA−k2BC，

PC=BC−BP17.【答案】解：(1)设z=a+bi(a,b∈R,a<0,b>0)，由题意得a2【解析】(1)设z=a+bi(a,b∈R,a<018.【答案】解：(1)因为三点A，B，C在一条直线上，所以AB//BC，

又AB=(n+3,2−m)，BC=(7−n,1)，

所以n+3=(7−n)(2−m)，①

因为OA⊥OB，所以−3n+【解析】本题考查了平面向量的坐标表示以及三角形重心的性质和平面向量的夹角公式问题，是综合题．

(1)由题意，AB//BC，OA⊥19.【答案】解：(1)由条件可得：f(x)=sinx−3cosx=2sin(x−π3)；

∵f(x)=2sin(x−【解析】( 1 )先根据已知条件求出函数解析式，再根据条件以及角的范围即可求出结论；

(2)20.【答案】解：(1)由题知T=2=2πω，得ω=π，

由题意得A+b=92−A+b=−32，解得A=3，b=32，

t=0时，y=3sinφ+32=0，sinφ=−12，∵|φ|<π2，

∴φ=−π6；

(2【解析】本题考查三角函数模型的选择及应用，训练了利用三角函数求最值，考查运算求解能力，是拔高题．

(1)直接由题意求出A，ω，φ，b的值；

(2)方法一、直接由周期求解；方法二、求出函数解析式，由函数最值为1，可得πt−π6=π2+2kπ，即t=23+2k21.【答案】解：(1)若选①cosBcosC=−b2a+c，

由正弦定理得cosBcosC=−sinB2sinA+sinC，

整理得2sinAcosB=−sinBcosC−sinCcosB=−sin(B+C)=−sinA，

因为sinA>0，

所以cosB=−12，

由B为三角形内角得B=2π3；

若选②sinAsinB−si【解析】(1)若选①cosBcosC=−b2a+c，结合正弦定理及和