2023届安徽省芜湖市中小学校数学高二下期末达标检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．集合，则等于（）A． B． C． D．2．王老师在用几何画板同时画出指数函数（）与其反函数的图象，当改变的取值时，发现两函数图象时而无交点，并且在某处只有一个交点，则通过所学的导数知识，我们可以求出当函数只有一个交点时，的值为（）A． B． C． D．3．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直分别为直角三角形的斜边，直角边，.若，，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）（）A． B．C． D．4．定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则（）．A． B．C． D．5．函数的单调递减区间为（）A． B． C． D．6．在公差为的等差数列中，“”是“是递增数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．设是函数的导函数，则的值为（）A． B． C． D．8．在的展开式中，含的项的系数是（）A．-832 B．-672 C．-512 D．-1929．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝12A．66 B．33 C．610．过点，且与直线平行的直线的方程为（）A． B． C． D．11．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是()A．1 B．2 C． D．12．正方体中，若外接圆半径为，则该正方体外接球的表面积为()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，以长方体的顶底为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________14．已知点是抛物线上一点，是抛物线上异于的两点，在轴上的射影分别为，若直线与直线的斜率之差为，是圆上一动点，则的面积的最大值为__________．15．的展开式中的系数为__________．16．设双曲线的左、右焦点分别为，右顶点为A，若A为线段的一个三等分点，则该双曲线离心率的值为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设1，其中pR，n，（r＝0，1，2，…，n）与x无关．（1）若＝10，求p的值；（2）试用关于n的代数式表示：；（3）设，，试比较与的大小．18．（12分）已知函数．（1）若在上的最大值是最小值的2倍，解不等式；（2）若存在实数使得成立，求实数的取值范围．19．（12分）某园林基地培育了一种新观赏植物，经过了一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为)进行统计，按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分组做出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在[50,60),[90,100]的数据).1）求样本容量和频率分布直方图中的2）在选取的样本中,从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取3株,设随机变量表示所抽取的3株高度在[80,90)内的株数,求随机变量的分布列及数学期望.20．（12分）已知函数，.（1）若函数恰有一个极值点，求实数a的取值范围；（2）当，且时，证明：.（常数是自然对数的底数）.21．（12分）在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的两点．（1）如果直线过抛物线的焦点，求的值；（2）如果，证明直线必过一定点，并求出该定点．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（t为参数，且t＞0），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）将曲线M的参数方程化为普通方程，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求曲线M与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】试题分析：集合，,，，故选B.考点：指数函数、对数函数的性质及集合的运算.2、B【解析】

当指数函数与对数函数只有一个公共点时，则在该点的公切线的斜率相等，列出关于的方程.【详解】设切点为，则，解得：故选B.【点睛】本题考查导数的运算及导数的几何意义，考查数形结合思想的应用，要注意根据指数函数与对数函数图象的凹凸性，得到在其公共点处公切线的斜率相等.3、D【解析】

首先计算出图形的总面积以及阴影部分的面积，再根据几何概型的概率计算公式计算可得.【详解】解：因为直角三角形的斜边为，，，所以，以为直径的圆面积为，以为直径的圆面积为，以为直径的圆面积为.所以图形总面积，，所以.故选：【点睛】本题考查面积型几何概型的概率计算问题，属于基础题.4、A【解析】由对任意x1，x2[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，得f(x)在[0，＋∞)上单独递减，所以，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行5、D【解析】

先求出函数的定义域，确定内层函数的单调性，再根据复合函数的单调性得出答案．【详解】由题可得，即，所以函数的定义域为，又函数在上单调递减，根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为，故选D．【点睛】本题考查对数函数的单调性和应用、复合函数的单调性、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．6、A【解析】试题分析：若，则，，所以，是递增数列；若是递增数列，则，，推不出，则“”是“是递增数列”的充分不必要条件，故选A.考点：充分条件、必要条件的判定.7、C【解析】分析：求导，代值即可.详解：，则.故选：C.点睛：对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．8、A【解析】

求出展开式中的系数减2倍的系数加的系数即可.【详解】含的项的系数即求展开式中的系数减2倍的系数加的系数即含的项的系数是．故选A.【点睛】本题考查二项式定理，属于中档题．9、C【解析】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，F(a,0,0)，AG＝(a，a,0)，AC＝(0,2a,2a)，BG＝(a，－a，0)，BC＝(0,0,2a)，设平面AGC的法向量为n1＝(x1，y1,1)，由AG⋅n1=0AC⋅nsinθ＝BG⋅n1|BG10、A【解析】

求出直线的斜率，根据两直线平行斜率的性质，可以求出所求直线的斜率，写出点斜式方程，最后化为一般方程.【详解】因为的斜率为2，所以所求直线的方程的斜率也为2，因此所求直线方程为，故本题选A.【点睛】本题考查了求过一点与已知直线平行的直线的方程.本题也可以这样求解：与直线平行的直线可设为，过代入方程中，，所以直线方程为，一般来说，与直线平行的直线可设为；与直线垂直的直线可设为.11、C【解析】

试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C．考点：平面向量数量积的运算．12、C【解析】

设正方体的棱长为，则是边长为的正三角形，求得其外接圆的半径，求得的值，进而求得球的半径，即可求解球的表面积，得到答案．【详解】如图所示，设正方体的棱长为，则是边长为的正三角形，设其外接圆的半径为，则，即，由，得，所以正方体的外接球的半径为，所以正方体的外接球的表面积为，故选C．【点睛】本题主要考查了求得表面积与体积的计算问题，同时考查了组合体及球的性质的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，利用球的性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据的坐标，求的坐标，确定长方体的各边长度，再求的坐标.【详解】点的坐标是，，，，，故答案为:.【点睛】本题考查向量坐标的求法，意在考查基本概念和基础知识，属于简单题型.14、10【解析】分析：由题意知，设的斜率为k，则PA的斜率为k-1，分别表述出直线PA，PB，与抛物线联立即可求出A和B的横坐标，即求出，要使面积最大，则D到AB的距离要最大，即高要过圆心，从而即可求出答案.详解：由题意知，则，设的斜率为k，则PA的斜率为k-1，且设，则PB：，联立消去y得：，由韦达定理可得，即，同理可得故，要使面积最大，则D到AB的距离要最大，即高要过圆心，则高为5..故答案为：10.点睛：对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果.15、-10【解析】分析：利用二项式展开式通项即可得出答案.详解：，当时，.故答案为：-10.点睛：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．16、3.【解析】分析：由题根据A为线段的一个三等分点，建立等式关系即可.详解：由题可知：故双曲线离心率的值为3.点睛：考查双曲线的离心率求法，根据题意建立正确的等式关系为解题关键，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1).(2).(3).【解析】分析：（1）先根据二项式展开式通项公式得，解得p的值；（2）先由得,再得,等式两边对求导，得；最后令得结果，（3）先求，化简不等式为比较与的大小关系，先计算归纳得大小关系，利用数学归纳法给予证明.详解：（1）由题意知，所以.（2）当时，，两边同乘以得：，等式两边对求导，得：令得：，即（3），猜测：当时，，，，此时不等式成立；②假设时，不等式成立，即：，则时，所以当时，不等式也成立；根据①②可知，，均有.点睛：有关组合式的求值证明，常采用构造法逆用二项式定理.对二项展开式两边分别求导也是一个常用的方法，另外也可应用组合数性质进行转化：，.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（1）根据在上的最大值是最小值的2倍求出a的值，再解不等式.(2)先分离参数得，再求右边式子的最小值，得到a的取值范围.详解：（1）∵，∴，，∴，解得，不等式，即，解得或，故不等式的解集为．（2）由，得，令，问题转化为，又故，则，所以实数的取值范围为．点睛：（1）本题主要考查不等式的解法和求绝对值不等式的最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)本题易错，得到，问题转化为，不是转化为,因为它是存在性问题.19、(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1）由茎叶图及频率分布直方图能求出样本容量n和频率分布直方图中的x，y；（2）由题意可知，高度在[80,90)内的株数为5，高度在[90,100]内的株数为2，共7株.抽取的3株中高度在[80,90)内的株数的可能取值为1,2,3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望.详解：(1)由题意可知，样本容量，.(2)由题意可知，高度在[80,90)内的株数为5，高度在[90,100]内的株数为2，共7株.抽取的3株中高度在[80,90)内的株数的可能取值为1,2,3，则,,.123故.点睛：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想.20、（1）（2）证明见解析【解析】

1，等价于方程在恰有一个变号零点．即在恰有一个变号零点．令，利用

函数图象即可求解．

2要证明：只需证明，即证明要证明，即证明利用导数即可证明．【详解】Ⅰ，，，函数恰有一个极值点，方程在恰有一个变号零点．在恰有一个变号零点．令，则．可得时，，函数单调递增，时，，函数单调递减．函数草图如下，可得，．实数a的取值范围为：2要证明：证明．证明，即证明．令则，时，，函数递增，时，，递减．，即原不等式成立．要证明，即证明．，故只需证明即可．令，则．时，，函数递减，时，，函数递增．，又，故原不等式成立．综上，，【点睛】本题考查了函数的极值、单调性，考查了函数不等式的证明、分析法证明不等式，属于中档题．21、（Ⅰ）-3（Ⅱ）过定点，证明过程详见解析.【解析】

Ⅰ根据抛物线的方程得到