2023届甘肃省示范名校高二数学第二学期期末联考试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．以下说法错误的是（）A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B．“”是“”的充分不必要条件C．若命题存在，使得，则:对任意，都有D．若且为假命题，则均为假命题2．已知三棱锥的体积为，，，，，且平面平面PBC，那么三棱锥外接球的体积为（）A． B． C． D．3．某家具厂的原材料费支出x（单位：万元）与销售量y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为，则为（）x24568y2535605575A． B． C． D．54．已知命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．把18个人平均分成两组，每组任意指定正副组长各1人，则甲被指定为正组长的概率为（）A． B． C． D．6．设命题：，，则为（）A．， B．，C．， D．，7．已知，是第四象限角，则（）A． B． C． D．78．函数的图象在点处的切线方程是，若，则（）A． B． C． D．9．已知集合，，则中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．010．展开式中x2的系数为（）A．15 B．60 C．120 D．24011．下列几种推理中是演绎推理的序号为（）A．由，，，…猜想B．半径为的圆的面积，单位圆的面积C．猜想数列，，，…的通项为D．由平面直角坐标系中，圆的方程为推测空间直角坐标系中球的方程为12．已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和，若第行中的三个连续的数之比是2∶3∶4，则的值是_________.14．设函数，，对于任意的，不等式恒成立，则正实数的取值范围________15．命题“，”的否定为______.16．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5=0，则=________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）知函数，，与在交点处的切线相互垂直.(1)求的解析式；(2)已知,若函数有两个零点,求的取值范围.18．（12分）设函数（）.(Ⅰ)当时，求不等式的解集；(Ⅱ)求证:，并求等号成立的条件.19．（12分）在平面四边形中，、分、所成的比为，即，则有：.（1）拓展到空间，写出空间四边形类似的命题，并加以证明；（2）在长方体中，，，，、分别为、的中点，利用上述（1）的结论求线段的长度；（3）在所有棱长均为平行六面体中，（为锐角定值），、分、所成的比为，求的长度.（用，，表示）20．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.（1）求直线与平面所成角的正弦值.（2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.21．（12分）（1）当时，求证：；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.22．（10分）已知函数，当时，函数有极大值8.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据逆否命题定义、命题否定的定义分别判断出正确；解方程得到解集和的包含关系，结合充要条件的判定可知正确；根据复合命题的真假性可知错误，由此可得结果.【详解】选项：根据逆否命题的定义可知：原命题的逆否命题为“若，则”，可知正确；选项：由，解得，因此“”是“”的充分不必要，可知正确；选项：根据命题的否定可知对任意，都有，可知正确；选项：由且为假命题，则至少有一个为假命题，因此不正确.本题正确选项：【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.2、D【解析】试题分析：取中点，连接，由知，则，又平面平面，所以平面，设，则，又，则，，，，显然是其外接球球心，因此．故选D．考点：棱锥与外接球，体积．3、C【解析】

由给定的表格可知，，代入，可得．【详解】解：由给定的表格可知，，代入，可得．故选：．【点睛】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．4、C【解析】

利用二次函数与二次不等式的关系，可得函数的判别式，从而得到.【详解】由题意知，二次函数的图象恒在轴上方，所以，解得：，故选C.【点睛】本题考查利用全称命题为真命题，求参数的取值范围，注意利用函数思想求解不等式.5、B【解析】

把18个人平均分成2组，再从每组里任意指定正、副组长各1人，即从9人中选一个正组长，甲被选定为正组长的概率，与组里每个人被选中的概率相等．【详解】由题意知，把18个人平均分成2组，再从每组里任意指定正、副组长各1人，即从9个人中选一个正组长，∴甲被选定为正组长的概率是．故选B．【点睛】本题考查了等可能事件的概率应用问题，是基础题目．6、D【解析】分析：直接利用特称命题的否定解答.详解：由特称命题的否定得为：，，故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)特称命题,特称命题的否定.7、A【解析】

通过和差公式变形，然后可直接得到答案.【详解】根据题意，是第四象限角，故，而，故答案为A.【点睛】本题主要考查和差公式的运用，难度不大.8、D【解析】分析：先求出和，再求即得.详解：由题得因为函数的图象在点处的切线方程是，所以所以故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查求导和导数的几何意义，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是9、B【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，又圆与直线相交于两点，，则中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.10、B【解析】

∵展开式的通项为，令6-r=2得r=4，∴展开式中x2项为，所以其系数为60,故选B11、B【解析】

根据演绎推理、归纳推理和类比推理的概念可得答案.【详解】A.是由特殊到一般，是归纳推理.B.是由一般到特殊，是演绎推理.C.是由特殊到一般，是归纳推理.D.是由一类事物的特征，得到另一类事物的特征，是类比推理.故选：B【点睛】本题考查对推理类型的判断，属于基础题.12、B【解析】

对任意的，恒成立对任意的，恒成立，对任意的，恒成立，参变分离得到恒成立，再根据对勾函数的性质求出在上的最小值即可．【详解】解：对任意的，，即恒成立对任意的，恒成立，对任意的，恒成立，恒成立，又由对勾函数的性质可知在上单调递增，，，即．故选：．【点睛】本题考查了导数的应用，恒成立问题的基本处理方法，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先根据题意，设第行中从第项开始，连续的三个连续的数之比是2∶3∶4，得到，求解，即可得出结果.【详解】根据题意，可得第行的数分别为：，设第行中从第项开始，连续的三个连续的数之比是2∶3∶4，则有，即，即，解得:.故答案为：.【点睛】本题主要考查杨辉三角形的应用，以及组合数的性质及运算，熟记组合数的运算公式即可，属于常考题型.14、【解析】

先分析的单调性，然后判断的正负，再利用恒成立的条件确定的范围.【详解】，令，则，所以在单调递减，在单调递增，则；，令，则，所以在单调递增，在单调递减，则；当，所以不成立，故；因为恒成立，所以恒成立，所以，即，解得，即.【点睛】恒成立问题解题思路：当恒成立时，则；存在性问题解题思路：当存在满足时，则有.15、，【解析】

直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【详解】解：因为全称命题的否定为特称命题，故命题“，”的否定为：“，”故答案为：，【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的关系，属于基础题．16、－11【解析】通过8a2＋a5＝0，设公比为q，将该式转化为8a2＋a2q3＝0，解得q＝－2，所以＝＝＝－11.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)．(2)或．【解析】分析：（1）分别求出与在交点处切线的斜率，从而得到答案；（2）对求导，分类讨论即可.详解：(1)，，又，，与在交点处的切线相互垂直，,.又在上,，故.(2)由题知.①,即时,令,得;令,得或，在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增,故存在使.又，，，在区间上有一个零点,在区间上有一个零点,在区间上有一个零点,共个零点,不符合题意,舍去.②时,令,得，令,得或，在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增，又,,有两个零点,符合题意.③,即时,令,得,令,得或，在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增，，在区间上存在一个零点,若要有两个零点,必有,解得.④,即时,令,得，令,得或，在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增，,在区间上存在一个零点，又，∴在区间∴上不存在零点,即只有一个零点,不符合题意.综上所述,或.点睛：函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．18、(Ⅰ)(Ⅱ)见证明【解析】

(Ⅰ)把代入不等式中，利用零点进行分类讨论，求解出不等式的解集；(Ⅱ)证法一：对函数解析式进行变形为，，显然当时，函数有最小值，最小值为，利用基本不等式，可以证明出，并能求出等号成立的条件；证法二：利用零点法把函数解析式写成分段函数形式，求出函数的单调性，最后求出函数的最小值，以及此时的的值.【详解】解:(Ⅰ)当时，原不等式等价于，当时，，解得当时，，解得当时，，无实数解原不等式的解集为(Ⅱ)证明:法一:，当且仅当时取等号又，当且仅当且时，即时取等号，，等号成立的条件是法二:在上单调递减，在上单调递增，等号成立的条件是【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法以及证明绝对值不等式，利用零点法，分类讨论是解题的关键.19、（1）命题同题干，证明见解析；（2）；（3）【解析】

（1）由条件可得，利用向量的线性运算证明即可；（2）由（1）的结论可得，两边同时平方计算可得结果；（3）由（1）的结论可得，两边同时平方计算可得结果.【详解】（1）在空间四边形中，、分、所成的比为，即，则有：.证明：；（2）由（1）的结论可得，，；（3）如图：与所成的角为，又由（1）的结论可得，，.【点睛】本题考查空间向量的线性运算，数量积的运算及模的运算，考查学生计算能力，是中档题.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）取AD中点为O，连接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），进一步求出向量的坐标，再求出平面PCD的法向量，设PB与平面PCD的夹角为θ，由求得直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅱ）假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由可得M（0，1﹣λ，λ），，由BM∥平面PCD，可得，由此列式求得当时，M点即为所求．详解：(1)取AD的中点O，连接PO，CO.因为PA＝PD，所以PO⊥AD.又因为PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO.因为AC＝CD，所以CO⊥AD.以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），则，，设为平面PCD的法向量，则由，得，则．设PB与平面PCD的夹角为θ，则=；(2)假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，则有，可得M（0，1﹣λ，λ），∴，∵BM∥平面PCD，为平面PCD的法向量，∴，即，解得．综上，存在点M，即当时，M点即为所求．点睛：点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“